1、 第 1 页（共 14 页） 2020 年上海市高考数学模拟试卷（年上海市高考数学模拟试卷（6） 一填空题（共一填空题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）复数 1+ 3+4的共轭复数为 2 （3 分）设 a0 且 a1，若函数 f（x）ax 1+2 的反函数的图象经过定点 P，则点 P 的 坐标是 3（3分） 由x0， yx3， y1所围成的平面图形绕y轴旋转一周， 所得几何体体积是 4 （3 分）已知 tan（ 4 +）1，则2+ 3 = 5 （3 分）设定义在 R 上的奇函数 yf（x） ，当 x0 时，f（x）2x4，则不等式 f（x
2、） 0 的解集是 6 （3 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 有一定点 A （1， 1） ， 若 OA 的垂直平分线过抛物线 C： y22px（p0）的焦点，则抛物线 C 的方程为 7 （3 分）在（x2+ 1 ） 6 的展开式中，含 x3项的系数为 （用数字填写答案） 8 （3 分） 小明有 4 枚完全相同的硬币， 每个硬币都分正反两面 他把 4 枚硬币叠成一摞 （如 图） ，则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是 9 （3 分）已知数列an的前 n 项和 Snn2+n（nn*） ，则 = 10 （3 分）已知两个正数 a，b，可按规律 cab+a+b 推广为一个新数 c，在
3、 a，b，c 三个 数种取连个较大的数，按上述规则扩充到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个 新数称为一次操作 （1）正数 1，2 经过两次扩充后所得的数为 （2）若 pq0，经过五次操作后扩充得到的数为（q+1）m（p+1）n1（m，n 为正整 数） ，则 m+n 11 （3 分）对于函数 f（x） ，若存在区间 Ma，b，使得y|yf（x） ，xMM，则称函 数 f（x）具有性质 P，给出下列 3 个函数： f（x）sinx； f（x）x33x； 第 2 页（共 14 页） f（x）lgx+3 其中具有性质 P 的函数是 （填入所有满足条件函数的序号） 12 （3 分）如果几个函数的定
4、义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同 域函数” 试写出 = 1 2 的一个“同域函数”的解析式为 二选择题（共二选择题（共 4 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 （3 分）tan20 是 tan0 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 14 （3 分）已知直线 l 与平面 相交但不垂直，m 为空间内一条直线，则下列结论可能成 立的是（ ） Aml，m Bml，m Cml，m Dml，m 15 （3 分）已知 ， 是单位向量， =0若向量 满足| |1，则| |的最大值为 （ ） A2 1 B2 C
5、2 + 1 D2 + 2 16 （3 分） 已知函数() = + 1 2 ， 0， 1 2) 21， 1 2，2) ， 若存在 x1， x2， 当 0x1x22 时， f （x1） f（x2） ，则 x1f（x2）f（x2）的取值范围为（ ） A(0， 232 4 ) B 9 16 ， 232 4 ) C23 2 4 ， 1 2) D 9 16， 1 2) 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，E 为 PB 的中点，ADAE，且 PA AB= 2，ADAE1 （）证明：PA平面 ABCD； （）求二面角 BECD 的正弦值 第
6、3 页（共 14 页） 18 已知向量 = （3sinx， cosx 2 2 ） ， = （cosx， cosx+ 2 2 ）（0） ， 若 f （x） = ， 且 f （x）的图象上两相邻对称轴间的距离为 2 （）求 f（x）的单调递减区间； （）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 c= 3，f（C）= 1 2，b 2a，求 a，b 的值 19设函数() = | 2| + | | 2若函数 f（x）的定义域为 R，试求实数 a 的最大 值 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)经过点(22，2)，且离心率为 2 2 ，F1，F2是椭圆 E 的左，右焦点
7、（1）求椭圆 E 的方程； （2）若点 A，B 是椭圆 E 上关于 y 轴对称两点（A，B 不是长轴的端点） ，点 P 是椭圆 E 上异于 A，B 的一点，且直线 PA，PB 分别交 y 轴于点 M，N，求证：直线 MF1与直线 NF2的交点 G 在定圆上 21已知数列an的前 n 项和 Snn（n6） ，数列bn满足 b23，bn+13bn（nN*） （）求数列an，bn的通项的公式 （）记数列anbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn2014 时 n 的最大值 第 4 页（共 14 页） 2020 年上海市高考数学模拟试卷（年上海市高考数学模拟试卷（6） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析
8、 一填空题（共一填空题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）复数 1+ 3+4的共轭复数为 7 25 + 1 25 【解答】解： 1+ 3+4 = (1+)(34) (3+4)(34) = 7 25 1 25 ， = 7 25 + 1 25 故答案为： 7 25 + 1 25 2 （3 分）设 a0 且 a1，若函数 f（x）ax 1+2 的反函数的图象经过定点 P，则点 P 的 坐标是 （3，1） 【解答】解：函数 f（x）ax 1+2 经过定点（1，3） ， 函数 f（x）的反函数的图象经过定点 P（3，1） ， 故答案为： （3，1）
9、3（3分） 由x0， yx3， y1所围成的平面图形绕y轴旋转一周， 所得几何体体积是 3 5 【解答】解：旋转体所得到的体积公式得： = 1 0 ( 3 )2 解得 V= 3 5 故答案为：3 5 4 （3 分）已知 tan（ 4 +）1，则2+ 3 = 1 3 【解答】解：tan（ 4 +）= 1+ 1 =1， tan0， 2+ 3 = 2+1 3 = 1 3 故答案为：1 3 5 （3 分）设定义在 R 上的奇函数 yf（x） ，当 x0 时，f（x）2x4，则不等式 f（x） 0 的解集是 （，20，2 【解答】解：当 x0，则x0，此时 f（x）2 x4， f（x）是奇函数， 第 5
10、 页（共 14 页） f（0）0，f（x）2 x4f（x） ， 即 f（x）2 x+4，x0， 当 x0 时，由 f（x）2x40，得 0x2， 当 x0 时，f（x）0 成立， 当 x0 时，由 f（x）2 x+40，得 2x4，即x2，则 x2， 综上 0x2 或 x2， 即不等式的解集为（，20，2， 故答案为： （，20，2， 6 （3 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 有一定点 A （1， 1） ， 若 OA 的垂直平分线过抛物线 C： y22px（p0）的焦点，则抛物线 C 的方程为 y24x 【解答】解：点 A（1，1） ， 依题意我们容易求得直线的方程为 x+y10， 把焦
11、点坐标（ 2，0）代入可求得焦参数 p2， 从而得到抛物线 C 的方程为：y24x 故答案为：y24x 7 （3 分）在（x2+ 1 ） 6 的展开式中，含 x3项的系数为 20 （用数字填写答案） 【解答】解：由于（x2+ 1 ） 6 的展开式的通项公式为 Tr+1= 6 x123r， 令 123r3，解得 r3，故展开式中 x3的系数是6 3 =20， 故答案为：20 8 （3 分） 小明有 4 枚完全相同的硬币， 每个硬币都分正反两面 他把 4 枚硬币叠成一摞 （如 图） ，则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是 7 8 【解答】解：小明有 4 枚完全相同的硬币，他把 4 枚
12、硬币叠成一摞， 基本事件总数 n2416， 所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对，包含的基本事件的个数 m24214， 所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率： 第 6 页（共 14 页） p= = 242 24 = 7 8 故答案为：7 8 9 （3 分）已知数列an的前 n 项和 Snn2+n（nn*） ，则 = 2 【解答】解：由 Snn2+n（nn*） ， 当 n1，a1S11+12， 当 n2 时，anSnSn1n2+n（n1）2+（n1）2n， 当 n1 时，a1212，成立， an2n（nn*） ， = 22 (+1) =2 1 1+1 =2， =2， 故答案为：2
13、10 （3 分）已知两个正数 a，b，可按规律 cab+a+b 推广为一个新数 c，在 a，b，c 三个 数种取连个较大的数，按上述规则扩充到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个 新数称为一次操作 （1）正数 1，2 经过两次扩充后所得的数为 17 （2）若 pq0，经过五次操作后扩充得到的数为（q+1）m（p+1）n1（m，n 为正整 数） ，则 m+n 13 【解答】解： （1）a1，b2，按规则操作三次， 第一次：cab+a+b12+1+25 第二次，531 所以有：c25+2+517 （2）pq0 第一次得：c1pq+p+q（q+1） （p+1）1 因为 cpq，所以第二次得：c2
14、（c1+1） （p+1）1（pq+p+q）p+p+（pq+p+q） （p+1）2（q+1）1 所得新数大于任意旧数，所以第三次可得 c3（c2+1） （c1+1）1（p+1）3（q+1）2 1 第四次可得：c4（c3+1） （c21）1（p+1）5（q+1）31 故经过 5 次扩充，所得数为： （q+1）8（p+1）51 m8，n5 第 7 页（共 14 页） 故答案为：17；13 11 （3 分）对于函数 f（x） ，若存在区间 Ma，b，使得y|yf（x） ，xMM，则称函 数 f（x）具有性质 P，给出下列 3 个函数： f（x）sinx； f（x）x33x； f（x）lgx+3 其中具
15、有性质 P 的函数是 （填入所有满足条件函数的序号） 【解答】解：对于函数 f（x）sinx，若正弦函数存在等值区间a，b， 则在区间a，b上有 sinaa，sinbb， 由正弦函数的值域知道a，b1，1， 但在区间1，1上仅有 sin00， 所以函数 f（x）sinx 不具有性质 P； 对于函数 f（x）x33x，f（x）3x233（x1） （x+1） 当 x（1，1）时，f（x）0 所以函数 f（x）x33x 的增区间是（，1） ， （1，+） ，减区间是（1，1） 取 M2，2，此时 f（2）2，f（1）2，f（1）2，f（2）2 所以函数 f（x）x33x 在 M2，2上的值域也为2，
16、2， 则具有性质 P； 对于 f（x）lgx+3，若存在“稳定区间”a，b，由于函数是定义域内的增函数， 故有 + 3 = + 3 = ， 即方程 lgx+3x 有两个解， 这与 ylgx+3 和 yx 的图象相切相矛盾 故不具有性质 P 故答案为： 12 （3 分）如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同 域函数” 试写出 = 1 2 的一个 “同域函数” 的解析式为 y2x3， x1， 2或 y2x3，x1，2或 y3x 12，x1，2或 = 2 1， 1，2 【解答】 解： 因为 = 1 2 ， 所以 x1 且 x2， 所以函数的定义域为1， 2 下面求函数
17、 y 的值域，不妨先求函数 y2的值域，令() = 2= 1 2( 1)(2 )， 令 g（x）（x1） （2x） ，x1，2，所以 g（x）0，1 4， 从而得出 f（x）0，1，所以 y1，1，即函数的值域为1，1 第 8 页（共 14 页） 只要满足定义域为1，2，且值域为1，1的函数均符合题意，例如 y2x3，x1， 2或 y2x3，x1，2或 y3x 12，x1，2 故答案为：y2x3，x1，2或 y2x3，x1，2或 y3x 12，x1，2或 = 2 1， 1，2（符合题意即可） 二选择题（共二选择题（共 4 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 （
18、3 分）tan20 是 tan0 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：方程 tan20，则 2k，kZ，即解集为 A|= 2 ，kZ； 方程 tan0 的解集为 B|k，kZ； BA，tan0tan20；但是 tan20 推不出 tan0； 故 tan20 是 tan0 的必要不充分条件 故选：B 14 （3 分）已知直线 l 与平面 相交但不垂直，m 为空间内一条直线，则下列结论可能成 立的是（ ） Aml，m Bml，m Cml，m Dml，m 【解答】解：若 ml，则 m 与平面 所成的夹角与 l 与平面 所成的夹角相等，即 m
19、与 平面 斜交，故 A，B 错误 若 m，设 l 与 m 所成的角为 ，则 0 2即 m 与 l 不可能垂直，故 C 错误 设过 l 和 l 在平面 内的射影的平面为 ，则当 m 且 m 时，有 ml，m，故 D 正确 故选：D 15 （3 分）已知 ， 是单位向量， =0若向量 满足| |1，则| |的最大值为 （ ） A2 1 B2 C2 + 1 D2 + 2 【解答】解：| | |1，且 = 0， 可设 = (1，0)， = (0，1)， = (，) 第 9 页（共 14 页） = ( 1， 1) | | = 1， ( 1)2+ ( 1)2= 1，即（x1）2+（y1）21 | |的最大
20、值= 12 + 12+ 1 = 2 + 1 故选：C 16 （3 分） 已知函数() = + 1 2 ， 0， 1 2) 21， 1 2，2) ， 若存在 x1， x2， 当 0x1x22 时， f （x1） f（x2） ，则 x1f（x2）f（x2）的取值范围为（ ） A(0， 232 4 ) B 9 16 ， 232 4 ) C23 2 4 ， 1 2) D 9 16， 1 2) 【解答】解：作出函数的图象： 存在 x1，x2，当 0x1x22 时，f（x1）f（x2） 0x1 1 2， x+ 1 2在0， 1 2）上的最小值为 1 2； 2x 1 在1 2，2）的最小值为 2 2 x1+
21、 1 2 2 2 ，x1 21 2 ， 21 2 x1 1 2 f（x1）x1+ 1 2，f（x1）f（x2） x1f（x2）f（x2）x1f（x1）f（x1）2 = 1 2 + 1 2 1（x1+ 1 2）x1 21 2x1 1 2， 第 10 页（共 14 页） 设 yx12 1 2x1 1 2 =（x1 1 4） 29 16， （ 21 2 x1 1 2） ， 则对应抛物线的对称轴为 x= 1 4， 当 x= 1 4时，y= 9 16， 当 x= 21 2 时，y= 232 4 ， 当 x= 1 2时，y= 1 2， 即 x1f（x2）f（x2）的取值范围为 9 16， 1 2） 故选：
22、D 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，E 为 PB 的中点，ADAE，且 PA AB= 2，ADAE1 （）证明：PA平面 ABCD； （）求二面角 BECD 的正弦值 【解答】解： （）证明：ADAE，ADAB 可得 AD平面 ABE， 即有 ADPA， 在三角形 PAB 中，PAAB，AEBP， 第 11 页（共 14 页） PAAB= 2，ADAE1，可得 PEBE1， 即有 PB2，即 PB2PA2+AB2， 即有 PAAB， 而 ABADA，可得 PA平面 ABCD； （）以 A 坐标原点，AB，AD，AP 所在直
23、线为 x，y，z 轴，建立直角坐标系， 可得 B（2，0，0） ，C（2，1，0） ，D（0，1，0） ，P（0，0，2） ，E（ 2 2 ，0， 2 2 ） ， =（0，1，0） ， =（2，0，0） ， =（ 2 2 ，1， 2 2 ） ， 设平面 BEC 的法向量为1 =（x1，y1，z1） ，平面 DEC 的法向量为2 =（x2，y2，z2） ， 可得 1 = 1= 0 1 = 2 2 1+ 1 2 2 1= 0 ，可取1 =（1，0，1） ， 2 = 22= 0 2 = 2 2 2+ 2 2 2 2= 0 ，可取2 =（0，1，2） ， 可得 cos1 ，2 = 1 2 |1 |2
24、| = 2 23 = 3 3 ， 则二面角 BECD 的正弦值为1 1 3 = 6 3 18 已知向量 = （3sinx， cosx 2 2 ） ， = （cosx， cosx+ 2 2 ）（0） ， 若 f （x） = ， 且 f （x）的图象上两相邻对称轴间的距离为 2 （）求 f（x）的单调递减区间； （）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 c= 3，f（C）= 1 2，b 第 12 页（共 14 页） 2a，求 a，b 的值 【解答】解： （） =（3sinx，cosx 2 2 ） ， =（cosx，cosx+ 2 2 ） ， f（x）= = 3 + ( 2
25、 2 )( + 2 2 ) = 3 2 2 + 2 1 2 = 3 2 2 + 1+2 2 1 2 = (2 + 6) f（x）的图象上两相邻对称轴间的距离为 2， 2 = 2，即 T 2 = 2 = 2 = 2， 则() = (2 + 6) 由 2k 2 + 6 2 + 2，得 12 + 6，kZ f（x）的单调递减区间为 12 ， + 6，kZ； （）由 f（C）= 1 2，得(2 + 6) = 1 2， 0C，2C+ 6（ 6 ， 13 6 ） ，则2 + 6 = 5 6 ，C= 3 由余弦定理得：(3)2= 2+ 2 2 3，即 a 2+b2ab3， 又 b2a， 联立解得：a1，b2
26、 19设函数() = | 2| + | | 2若函数 f（x）的定义域为 R，试求实数 a 的最大 值 【解答】解：由题意， |x2|+|xa|2a 对 xR 恒成立， 设 g（x）|x2|+|xa|， 原命题等价于 g（x）min2a， （i）当 a2 时，g（x）mina2， 解 a22a 得，a2 与 a2 矛盾，不成立； （ii）当 a2 时，g（x）= 2 2 ，2 2 ， 2 2 + + 2， ， g（x）min2a2a，则 2 3， 第 13 页（共 14 页） 实数 a 的最大值为2 3 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)经过点(22，2)，且离心率为 2 2 ，
27、F1，F2是椭圆 E 的左，右焦点 （1）求椭圆 E 的方程； （2）若点 A，B 是椭圆 E 上关于 y 轴对称两点（A，B 不是长轴的端点） ，点 P 是椭圆 E 上异于 A，B 的一点，且直线 PA，PB 分别交 y 轴于点 M，N，求证：直线 MF1与直线 NF2的交点 G 在定圆上 【解答】解： （1）椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)经过点(22，2)，且离心率为 2 2 ， 由条件得 = 2 2 8 2 + 4 2 = 1 2= 2+ 2 ， 解得 = 4， = = 22， 椭圆 C 的方程 2 16 + 2 8 = 1（5 分） 证明： （2）设 B（x0，y0） ，P（
28、x1，y1） ，则 A（x0，y0） 直线 PA 的方程为 1= 10 1+0 ( 1)，令 x0，得 = 10+01 1+0 故(0， 10+01 1+0 )， 同理可得(0， 1001 10 )， 1 = (22， 10+01 1+0 )，2 = (22， 1001 10 )， 1 2 = (22， 10+01 1+0 ) (22， 1001 10 ) = 8 + 12020212 10 = 8 + 128(10 2 16 )028(11 2 16 ) 1202 = 8 + 8 = 0 F1MF2N，直线 F1M 与直线 F2N 交于点 G 在以 F1F2为直径的圆上 （12 分） 21已
29、知数列an的前 n 项和 Snn（n6） ，数列bn满足 b23，bn+13bn（nN*） （）求数列an，bn的通项的公式 （）记数列anbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn2014 时 n 的最大值 【解答】解： （）当 n2 时，anSnSn12n7， 又 a1S15217，an2n7 第 14 页（共 14 页） 又 bn+13bn，所以bn是公比为 3 的等比数列，= 31 （）Tn（5） 1+（3） 3+（2n7） 3n 1， 3Tn（5） 3+（3） 32+（2n7） 3n 得，2= (5) 1 + 2 3 + 2 32+ + 2 31 (2 7) 3 = 5 + 6(131) 13 (2 7) 3= 8+3n（2n7） 3n8（2n8） 3n 所以= ( 4) 3+ 4 由= ( 4) 3+ 42014得 n6， 所以 n 的最大值为 6
