1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年内蒙古高考数学（理科）模拟试卷（年内蒙古高考数学（理科）模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 Ax|x210，By|yex，则 AB（ ） A （0，+） B （，1 C1，+） D （，11，+） 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若 1 1; =a+bi， （a，bR） ，则 a+b（ ） A1 B2 C 2 2 D2 3 （5 分）某校统计了 1000 名学生的数学期末考试成绩，已知这 1000 名学生的成绩均在 50 分到 150 分之间，其频率分布
2、直方图如图所示，则这 1000 名学生中成绩在 130 分以上的 人数为（ ） A10 B20 C40 D60 4 （5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，则“a10”是“S20210”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5（5 分） 已知双曲线 C： 2 16 2 48 =1 的左、 右焦点分别为 F1， F2， P 为 C 上一点， 1 = ， O 为坐标原点，若|PF1|10，则|OQ|（ ） A10 B1 或 9 C1 D9 6 （5 分）设 alog318，blog424，c= 2 3 4，则 a、b、c 的大小关系是（ ）
3、Aabc Bacb Cbca Dcba 7 （5 分）若 x，y 满足约束条件0 2 + 6 3 6，则 zx+2y 的最大值为（ ） 第 2 页（共 20 页） A10 B8 C5 D3 8 （5 分）关于函数 f（x）sin|x|+|cosx|有下述四个结论： f（x）是偶函数； f（x）在区间( 2 ，0)上是单调递增函数； f（x）在 R上的最大值为 2； f（x）在区间2，2上有 4 个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 9 （5 分）若 ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2，则( ) ( )的最大值为（ ） A10 B12 C53 D62 10 （5
4、 分）已知动点 M 在以 F1，F2为焦点的椭圆2+ 2 4 = 1上，动点 N 在以 M 为圆心， 半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为（ ） A2 B4 C8 D16 11（5 分）九章算术 中， 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 在 如图所示的阳马 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDCDAD，点 E 是 PC 的 中点，则 PD 与 BE 所成角的余弦值（ ） A 3 3 B 3 6 C 6 3 D 6 6 12 （5 分）曲线 f（x）ex 2x 2+x 在0，1上单调递增，则 k 的取值范围为（ ） Ae+1，+） B1，e+1 C
5、（，1 D （，e+1 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知非零向量 ， 满足| | = 2| |，且( ) ，则与 的夹角为 14（5分） 在ABC中， 内角A， B， C所对的边分别是a， b， c， 若 = 4 5 ， = 12 13， b1， 则 a 第 3 页（共 20 页） 15 （5 分） “2020 武汉加油、中国加油” ，为了抗击新冠肺炎疫情，全国医护人员从四面八 方驰援湖北我市医护人员积极响应号召，现拟从 A 医院呼吸科中的 5 名年轻医生中选 派 2 人支援湖北省黄石市，已知男医生 2 名，女医
6、生 3 人，则选出的 2 名医生中至少有 1 名男医生的概率是 16 （5 分）长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表 面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分） 如图， 四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为直角梯形， ABAD， ADC45， ADBC，AD2AB2，ADP 为等边三角形，平面 PAD底面 ABCD，E 为 AD 的中 点 （1）求证：平面 PBC平面 PCE； （2） 点 F 在线段 CD 上， 且 = 3 2， 求平面 PAD 与平面 PBF
7、所成的锐二面角的余弦值 18 （12 分）已知an是公差为 1 的等差数列，数列bn满足 b11，2= 1 2，anbn+1+bn+1 nbn （1）求数列bn的通项公式； （2）设 cnbnbn+1，求数列cn的前 n 项和 Sn 19 （12 分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国” ，提升全民文化修养，引领学生“读 经典，用经典” ，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目工作人员在前期的数据 采集中，在某高中学校随机抽取了 120 名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例 为 3：2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是 7：5，女生中喜欢阅读中国 古典文学和不喜欢的比例是
8、5：3 （1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有 95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与 性别有关系？ 第 4 页（共 20 页） 男生 女生 总计 喜欢阅读中国古典文 学 不喜欢阅读中国古典 文学 总计 （2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的的学生进行中国古典文学 阅读交流实验人员已经从所调查的 120 人中筛选出 4 名男生和 3 名女生共 7 人作为代 表，这 7 个代表中有 2 名男生代表和 2 名女生代表喜欢中国古典文学现从这 7 名代表 中任选 3 名男生代表和 2 名女生代表参加座谈会，记 为参加会议的 5 人中喜欢古典文 学的人数，求 的分布列及数学期望 E
9、（） 附表及公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+)， = + + + P（K2k0） 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）上一点 P（2，m） ，F 为焦点，PFO 面积为 1 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 P 引圆：2+ ( 3)2= 2(02)的两条切线 PA、PB，切线 PA、PB 与抛物线 C 的另一个交点分别为 A、B，求直线 AB 斜率的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）x2ex （）求 f（x）的单调区间； （
10、）过点 P（1，0）存在几条直线与曲线 yf（x）相切，并说明理由； （）若 f（x）k（x1）对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = + 2 = （t 为参数） ，以坐 标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2= 12 3+2 （1）若 a2，求曲线 C 与 l 的交点坐标； （2） 过曲线C上任意一点P作与l夹角为45的直线， 交l于点A， 且|PA|的最大值10， 求a 第 5 页
11、（共 20 页） 的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）2|x+2|+|x3| （1）求不等式 f（x）8 的解集； （2） 若a0， b0， 且函数F （x） f （x） 3a2b有唯一零点x0， 证明： 9 2: + 4 : f （x0） 第 6 页（共 20 页） 2020 年内蒙古高考数学（理科）模拟试卷（年内蒙古高考数学（理科）模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 Ax|x210，By|yex，则 AB（ ） A （0，
12、+） B （，1 C1，+） D （，11，+） 【解答】解：Ax|x1 或 x1，By|y0， AB1，+） 故选：C 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若 1 1; =a+bi， （a，bR） ，则 a+b（ ） A1 B2 C 2 2 D2 【解答】解：由 1 1; = 1: (1;)(1:) = 1 2 + 1 2 = + ， 得 ab= 1 2， a+b1 故选：A 3 （5 分）某校统计了 1000 名学生的数学期末考试成绩，已知这 1000 名学生的成绩均在 50 分到 150 分之间，其频率分布直方图如图所示，则这 1000 名学生中成绩在 130 分以上的 人数为（ ） A
13、10 B20 C40 D60 【解答】解：由频率分布直方图得： 这 1000 名学生中成绩在 130 分以上的频率为： 第 7 页（共 20 页） 1（0.006+0.014+0.02+0.008）200.04， 则这 1000 名学生中成绩在 130 分以上的人数为 10000.0440 人 故选：C 4 （5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，则“a10”是“S20210”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：设等比数列an的公比为 q， 若 q1，则 S20212021a1，则“a10”“S20210” 若 q1，则 S
14、2021a11; 2021 1; ，1q 与 1q2021的符号相同，则“a10”“S2021 0” 综上可得： “a10”“S20210” “a10”是“S20210”的充要条件 故选：C 5（5 分） 已知双曲线 C： 2 16 2 48 =1 的左、 右焦点分别为 F1， F2， P 为 C 上一点， 1 = ， O 为坐标原点，若|PF1|10，则|OQ|（ ） A10 B1 或 9 C1 D9 【解答】解：双曲线 C： 2 16 2 48 =1 可得 a4，b43，c8， ca4， 由双曲线的定义可知：|PF1|PF2|2a8， 因为|PF1|10，所以|PF2|18 或|PF2|2
15、（舍去） ， P 为 C 上一点，1 = ，所以 Q 为线段 PF1的中点， 所以|OQ|= 1 2|PF2|9 故选：D 6 （5 分）设 alog318，blog424，c= 2 3 4，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbca Dcba 【解答】解：c= 2 3 42，a= 3 1839 = 2， = 4 244162， 又 a= 3 18 = 1 + 3 6， = 424 = 1 + 4 6， 第 8 页（共 20 页） 46 = 1 64，36 = 1 63且 log64log630， 1 64 1 63， log424log318， cba 故选：D 7 （
16、5 分）若 x，y 满足约束条件0 2 + 6 3 6，则 zx+2y 的最大值为（ ） A10 B8 C5 D3 【解答】解：由约束条件0 2 + 6 3 6，作出可行域如图， 化目标函数 zx+2y 为直线方程的斜截式，y= 1 2 + 2， 由图可知，当直线 y= 1 2 + 2过 A（3，0）时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 3 故选：D 8 （5 分）关于函数 f（x）sin|x|+|cosx|有下述四个结论： f（x）是偶函数； f（x）在区间( 2 ，0)上是单调递增函数； f（x）在 R上的最大值为 2； f（x）在区间2，2上有 4 个零点 其中所有正确结论的
17、编号是（ ） A B C D 【解答】解：、f（x）sin|x|+|cos（x）|sin|x|+|cosx|f（x） ，f（x）是偶函数， 故正确； 第 9 页（共 20 页） 、当 x（ 2，0）时，sin|x|sinx，|cosx|cosx， 则 f（x）sinx（cosx）sinxcosx= 2sin（x 4） ，在（ 2，0）上不单调故错； 、f（x）中 sinx，cosx 是异名，f（x）在 R 上的最大值显然不为 2，故错； 、() = + ， 2 3 2 ， 3 2 2 + ， 2 0 ，令 f（x）0，可得 x= 7 4 ， 5 4 f（x）= + ，0 2 ， 2 3 2 +
18、 ， 3 2 2 令 f（x）0，可得 x= 5 4 ，7 4 ， f（x）在区间2，2上有 4 个零点，故正确 故选：C 9 （5 分）若 ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2，则( ) ( )的最大值为（ ） A10 B12 C53 D62 【解答】解： ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2， 则 ( ) ( ) = + 2 =2cos ， 4cos ， 2cos ， +412， 当且仅当 ，同向， ，反向， ， 反向时，取得最大值 故选：B 10 （5 分）已知动点 M 在以 F1，F2为焦点的椭圆2+ 2 4 = 1上，动点 N 在以 M 为圆心， 半径长为
19、|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为（ ） A2 B4 C8 D16 【解答】解：由椭圆的方程可得焦点在 y 轴上，a24，即 a2， 由题意可得|NF2|F2M|+|MN|F2M|+|MF1|，当 N，M，F2三点共线时取得最大值 而|F2M|+|MF1|2a4，所以|NF2|的最大值为 4， 故选：B 11（5 分）九章算术 中， 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 在 如图所示的阳马 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDCDAD，点 E 是 PC 的 第 10 页（共 20 页） 中点，则 PD 与 BE 所成角的余弦值（ ） A 3 3 B 3 6
20、 C 6 3 D 6 6 【解答】解：阳马 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDCDAD，点 E 是 PC 的中点， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 PDCDAD2，则 P（0，0，2） ，D（0，0，0） ，B（2，2，0） ，E（0，1，1） ， =（0，0，2） ， =（2，1，1） ， cos ， = | | | = 2 26 = 6 6 ， PD 与 BE 所成角的余弦值为 6 6 故选：D 12 （5 分）曲线 f（x）ex 2x 2+x 在0，1上单调递增，则 k 的取值范围为（ ） Ae+1，+） B
21、1，e+1 C （，1 D （，e+1 【解答】解：f（x）exkx+1，x0，1 曲线 f（x）ex 2x 2+x 在0，1上单调递增， x（0，1时，f（x）exkx+10，即 k +1 ， 第 11 页（共 20 页） 令 g（x）= +1 ，x（0，1 g（x）= 1 2 ， 令 h（x）xexex1，x（0，1 h（x）xex0， 函数 h（x）在 x（0，1单调递增 h（x）h（1）0 g（x）0， 函数 g（x）在 x（0，1单调递减 g（x）g（1）e+1 ke+1 （x0 时也成立） 则 k 的取值范围为（，e+1 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分
22、 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知非零向量 ， 满足| | = 2| |，且( ) ，则与 的夹角为 3 【解答】解：由| | = 2| |，且( ) ， 所以（ ） = 2 =0， 所以 = 2； 所以 cos= | | |= 2 | |2|= 1 2， 又 0， 所以 与 的夹角为 3 故答案为： 3 14（5分） 在ABC中， 内角A， B， C所对的边分别是a， b， c， 若 = 4 5 ， = 12 13， b1， 则 a 56 39 【解答】解：因为 = 4 5 ， = 12 13，b1， 所以 sinB= 3 5，sinC= 5 13， 第 12
23、页（共 20 页） sinAsin（B+C）sinBcosC+sinCcosB= 3 5 12 13 + 5 13 4 5 = 56 65， 由正弦定理可得， = ， 所以 a= = 156 65 3 5 = 56 39 故答案为：56 39 15 （5 分） “2020 武汉加油、中国加油” ，为了抗击新冠肺炎疫情，全国医护人员从四面八 方驰援湖北我市医护人员积极响应号召，现拟从 A 医院呼吸科中的 5 名年轻医生中选 派 2 人支援湖北省黄石市，已知男医生 2 名，女医生 3 人，则选出的 2 名医生中至少有 1 名男医生的概率是 7 10 【解答】解：现拟从 A 医院呼吸科中的 5 名年
24、轻医生中选派 2 人支援湖北省黄石市， 已知男医生 2 名，女医生 3 人， 基本事件总数 n= 5 2 =10， 选出的 2 名医生中至少有 1 名男医生包含的基本事件个数 m= 2 2 + 2 131 =7， 则选出的 2 名医生中至少有 1 名男医生的概率是 p= = 7 10 故答案为： 7 10 16 （5 分）长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表 面积为 14 【解答】解：长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，可知长 方体的对角线的长就是球的直径， 所以球的半径为：1 2 32+ 22+ 12= 14 2 则球
25、 O 的表面积为：4 ( 14 2 )2 =14 故答案为：14 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分） 如图， 四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为直角梯形， ABAD， ADC45， ADBC，AD2AB2，ADP 为等边三角形，平面 PAD底面 ABCD，E 为 AD 的中 点 （1）求证：平面 PBC平面 PCE； 第 13 页（共 20 页） （2） 点 F 在线段 CD 上， 且 = 3 2， 求平面 PAD 与平面 PBF 所成的锐二面角的余弦值 【解答】解： （1）证明：PAD 为等边三角形，E
26、 为 AD 的中点，PEAD， 平面 PAD底面 ABCD，平面 PAD底面 ABCDAD， PE底面 ABCD，BC平面 ABCD，PEBC， 由题意知 ABCE 为正方形，CEBC， PEECE，BC平面 PCE， BC平面 PBC，平面 PBC平面 PCE （2）解：如图，以 E 为原点，EC 为 x 轴，ED 为 y 轴，EP 为 z 轴，建立空间直角坐标 系， 则 A（0，1，0） ，B（1，1，0） ，C（1，0，0） ，D（0，1，0） ，P（0，0，3） ， 由已知得 = 3 5 ，F（2 5 ， 3 5，0） ， =（1，1，3） ， =（2 5 ， 3 5，3） ， 设平面
27、 PBF 的法向量为 =（x，y，z） ， 则 = 3 = 0 = 2 5 + 3 5 3 = 0 ，令 z= 3，得 =（24 5 ，9 5，3） ， 平面 PAD 的法向量 =（1，0，0） ， |cos ， | 24 5 (24 5 )2:(9 5) 2:(3)2 |= 4183 61 平面 PAD 与平面 PBF 所成的锐二面角的余弦值为4183 61 第 14 页（共 20 页） 18 （12 分）已知an是公差为 1 的等差数列，数列bn满足 b11，2= 1 2，anbn+1+bn+1 nbn （1）求数列bn的通项公式； （2）设 cnbnbn+1，求数列cn的前 n 项和 S
28、n 【解答】解： （1）由题意，可知 a1b2+b2b1， 即1 2a1+ 1 2 =1，解得 a11 又数列an是公差为 1 的等差数列， an1+n1n anbn+1+bn+1（n+1）bn+1nbn， 数列nbn是常数数列，即 nbn1b11， bn= 1 ，nN* （2）由（1）知，cnbnbn+1= 1 (+1) = 1 1 +1， 故 Snc1+c2+cn 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 +1 1 1 +1 = +1 19 （12 分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国” ，提升全民文化修养，引领学生“读 经典，用经典” ，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目工
29、作人员在前期的数据 采集中，在某高中学校随机抽取了 120 名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例 为 3：2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是 7：5，女生中喜欢阅读中国 古典文学和不喜欢的比例是 5：3 （1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有 95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与 第 15 页（共 20 页） 性别有关系？ 男生 女生 总计 喜欢阅读中国古典文 学 不喜欢阅读中国古典 文学 总计 （2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的的学生进行中国古典文学 阅读交流实验人员已经从所调查的 120 人中筛选出 4 名男生和 3 名女生共 7 人作为代
30、表，这 7 个代表中有 2 名男生代表和 2 名女生代表喜欢中国古典文学现从这 7 名代表 中任选 3 名男生代表和 2 名女生代表参加座谈会，记 为参加会议的 5 人中喜欢古典文 学的人数，求 的分布列及数学期望 E（） 附表及公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+)， = + + + P（K2k0） 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）补充完整的 22 列联表如下所示， 男生 女生 合计 喜欢阅 读中国古 典文学 42 30 72 不喜欢 阅读中国 古典文学 30 18 48
31、合计 72 48 120 所以2= 120(42183030)2 72487248 = 0.2083.841， 所以没有 95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系 （2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为 m，女生中喜欢古典文学的人数 为 n， 第 16 页（共 20 页） 则 m+n，且 的可能取值为 2，3，4， P（2）P（m1，n1）= 2 1 2 2 2 1 1 1 4 3 3 2 = 1 3， P（3）P（m2，n1）+P（m1，n2）= 2 2 2 1 2 1 1 1 4 3 3 2 + 2 1 2 2 2 2 4 3 3 2 = 1 2， P（4）P（m2，n
32、2）= 2 2 2 1 2 2 4 3 3 2 = 1 6， 所以 的分布列为 2 3 4 P 1 3 1 2 1 6 则 E（）= 2 1 3 + 3 1 2 + 4 1 6 = 17 6 20 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）上一点 P（2，m） ，F 为焦点，PFO 面积为 1 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 P 引圆：2+ ( 3)2= 2(02)的两条切线 PA、PB，切线 PA、PB 与抛物线 C 的另一个交点分别为 A、B，求直线 AB 斜率的取值范围 【解答】解： （1）由已知得，1 2 | 2 = 1，即 2 = 1，解得 p2， 所以抛物线 C 的方
33、程为 x24y； （2）由（1）得 P（2，1） ，设直线 PA 斜率为 k1，则 PA 方程为 y1k1（x2） ，即 k1x y+12k10， 又直线 PA 与圆：2+ ( 3)2= 2(02)的相切，2|1:1| 12:1 = ， (4 2)12+ 81+ 4 2= 0， 设直线 PB 斜率为 k2，同理得(4 2)22+ 82+ 4 2= 0， k1，k2 是方程（4r2）k2+8k+4r20 的两个根 4r2（8r2）0 （02） ， 1+ 2= 8 42 = 8 24，k1k21， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 1 = 1( 2) 2= 4 得 x24k1x+8
34、k140，由韦达定理得 x1+24k1， x14k12，同理 x24k22， 第 17 页（共 20 页） 所以 kAB= 21 21 = 22 4 1 2 4 21 = 1 4（x1+x2）k1+k21= 8 24 1， 又02，4 8 24 2，kAB（5，3） ， 直线 AB 斜率的取值范围是（5，3） 21 （12 分）已知函数 f（x）x2ex （）求 f（x）的单调区间； （）过点 P（1，0）存在几条直线与曲线 yf（x）相切，并说明理由； （）若 f（x）k（x1）对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围 【解答】 （共 14 分） 解： （）f（x）（x2+2x）exx（
35、x+2）ex（1 分） f（x）0 得，x2 或 x0； f（x）0 得，2x0；（2 分） 所以 f（x）的单调增区间为（，2） ， （0，+） ；单调减区间为（2，0） （3 分） （）过（1，0）点可做 f（x）的三条切线；理由如下：（1 分） 设切点坐标为（x0，020） ，过切点的切线方程为 y020=（02+2x0）0（xx0）（2 分） 切线过（1，0）点，代入得020=（02+2x0）0（1x0） ， 化简得 x0（x0+2） （x02）0=0，（3 分） 方程有三个解，x00，x0= 2，x0= 2，即三个切点横坐标，（4 分） 所以过（1，0）点可做 f（x）的三条切线 （
36、）设 g（x）x2exk（x1） ，（1 分） 方法 1 1k0 时，x2exk（x1）成立；（1 分） 2k0 时，若 x，f（0）0k（01）不成立， 所以 k0 不合题意（2 分） 3k0 时，x1 时，h（x）0 显然成立，只需考虑 x1 时情况； 转化为 2 ;1 k 对任意 x（1，+）恒成立（3 分） 第 18 页（共 20 页） 令 h（x）= 2 1（x1） ， h（x）= (2+2)(1)2 (1)2 = (+2)(2) (1)2 ，（3 分） 当 1x2时，h（x）0，hx）单调减； 当 x2时，h（x）0，h（x）单调增； 所以 h（x）minh（2）= 2 2 21
37、=（2+22） 2 k，（4 分） 所以 k（2+22） 2 综上，k 的取值范围是0， （2+22） 2 （7 分） 方法 2：不用讨论 k，只讨论 x 1x1，成立；（1 分） 2x1 转化为 2 ;1 k 对任意 x（1，+）恒成立（2 分） 令 h（x）= 2 1（x1） ， h（x）= (2+2)(1)2 (1)2 = (+2)(2) (1)2 ，（3 分） 当 1x2时，h（x）0，h（x）单调减； 当 x2时，h（x）0，h（x）单调增； 所以 h（x）minh（2）= 2 2 21 =（2+22） 2 k，（4 分） 所以 k（2+22） 2 3当 x1 时转化为 2 ;1 k
38、 对任意 x（，1）恒成立（5 分） 同 2，令 h（x）= 2 1（x1） ， h（x）= (+2)(2) (1)2 ，列下表 x （， 2） 2 （2，0） 0 （0，1） h（x） 0 + 0 h（x） 减 极小值 增 极大值 减 当 x1 时，易得 h（x）= 2 1 0， h（0）0，所以 hmaxh（0）0k；即 k0，（6 分） 综上，k 的取值范围是0， （2+22） 2 （7 分） 第 19 页（共 20 页） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
39、 = + 2 = （t 为参数） ，以坐 标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2= 12 3+2 （1）若 a2，求曲线 C 与 l 的交点坐标； （2） 过曲线C上任意一点P作与l夹角为45的直线， 交l于点A， 且|PA|的最大值10， 求a 的值 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程为2= 12 3+2，整理得 3 2+2sin212，转换 为直角坐标方程为 2 4 + 2 3 = 1 当 a2 时，直线 l 的参数方程为 = + 2 = （t 为参数） ，整理得 = 2 + 2 = ，转换为 直角坐标方程为 x+2y+20 所以 2 4 + 2 3 = 1 + 2 + 2 = 0 ，解得 = 2 = 0 或 = 1 = 3 2 ， 所以交点坐标为（2，0）和（1， 3 2） （2）曲线的直角坐标方程为 x+2ya0， 故曲线 C 上任意一点 P（2，3）到直线的距离 d= |2+23| 5 = |4(+ 6)| 5 ， 则|PA|= 45 = 2 =
