2020年上海市高考数学模拟试卷（5）.docx

1、 第 1 页（共 15 页） 2020 年上海市高考数学模拟试卷（年上海市高考数学模拟试卷（5） 一填空题（共一填空题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）如复数 = 1+ 1 + (1 )（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 m 的值为 2 （3 分）若函数 yf（x）是函数 yax（a0 且 a1）的反函数，且 f（4）2，f（x） 3 （3 分）一个腰长为 2 的等腰直角三角形绕着斜边上的高所在直线旋转 180形成的封闭 曲面所围成的图形的体积为 4 （3 分）已知 = 1 5，且 (0， 2)，则 sinxcosx 5 （3 分）已知定

2、义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）x23x则关于 x 的方程 f（x）x+3 的解集为 6 （3 分）抛物线 y24x 的焦点 F 关于直线 y2x 的对称点坐标为 7 （3 分）二项式( + 2 ) 6的展开式中常数项的值等于 8 （3 分）从集合 A1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任取两个数，欲使取到的一个 数大于 k，另一个数小于 k（其中 kA）的概率为2 5，则 k 9 （3 分）已知数列an，a11，:1+ = (1 3) ，nN*，则 (1 + 2+ 3+ + 2;1) = 10 （3 分）中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创

3、造算筹记 数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位 的数按横式的数码摆出如 138 可用算筹表示19 这 9 个数字的纵式与横式 表示数码如图所示，则 16 3 42 221 log381 的运算结果可用算筹表示为 11 （3 分）已知函数 f（x）k + 2的定义域和值域都是a，b，则实数 k 的取值范围 是 12 （3 分）设 f 为（0，+）0，+）的函数，对于任意正实数 x，f（x）3f（3x） ， 第 2 页（共 15 页） 当 1x3 时，f（x）2727|x2|，则使得() = 2 3成立的最大实数 x 为 二选择题（共二选择题（共 4 小题，满分小题

4、，满分 12 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 （3 分）在ABC 中， “ABC 是钝角三角形”是“cosC2sinAsinB”的（ ） A必要不充分 B充要 C充分不必要 D既不充分也不必要 14 （3 分）已知 l，m，n 为三条不同直线， 为三个不同平面，则下列判断正确的 是（ ） A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 l，m，m，则 ml D若 m，n，lm，ln，则 l 15 （3 分）函数 = ( 4 2)（1x4）的图象如图所示，A 为图象与 x 轴的交点，过 点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B，C 两点，则（ + ） =（ ） A8 B4 C4

5、D8 16 （3 分）已知函数 f（x）|lnx|，() = 0 ，0 1， |2 4| 2，1 若关于 x 的方程 f（x） +mg（x）恰有三个不相等的实数解，则 m 的取值范围是（ ） A0，ln2 B （2ln2，0） C （2ln2，0 D0，2+ln2） 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17如图，已知边长为 2 的正三角形 ABE 所在的平面与菱形 ABCD 所在的平面垂直，且 DAB60，点 F 是 BC 的中点 （1）求证：BDEF； （2）求二面角 EDFB 的余弦值 第 3 页（共 15 页） 18已知向量 =（2 4，cos 2） ， =（cos 4，1） ，

6、且 f（x）= （）求函数 f（x）的最小正周期； （）求函数 f（x）在区间，上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值 19已知函数 f（x）|x+1| （1）解关于 x 的不等式 f（x）x2+10； （2）若函数 g（x）f（x1）+f（x+m） ，当且仅当 0x1 时，g（x）取得最小值， 求 x（1，2）时，函数 g（x）的值域 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率 = 3 2 ，椭圆 C 的上、下顶点分别为 A1， A2， 左、 右顶点分别为 B1， B2， 左、 右焦点分别为 F1， F2 原点到直线 A2B2的距离为25 5 （1）求椭圆 C 的方程； （2

7、）P 是椭圆上异于 A1，A2的任一点，直线 PA1，PA2，分别交 x 轴于点 N，M，若直线 OT 与以 MN 为直径的圆 G 相切， 切点为 T 证明： 线段 OT 的长为定值， 并求出该定值 21若 Sn是公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和，且 S1，S2，S4成等比数列 （1）求等比数列 S1，S2，S4的公比； （2）若 S24，求an的通项公式； （3）设= 3 +1，Tn 是数列bn的前 n 项和，求使得 20对所有 nN *都成立的最 小正整数 m 第 4 页（共 15 页） 2020 年上海市高考数学模拟试卷（年上海市高考数学模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答

8、案与试题解析 一填空题（共一填空题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）如复数 = 1+ 1 + (1 )（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 m 的值为 0 【解答】解：z= 1+ 1 +m（1i）= (1+)2 12 +m（1i）m+（1m）i 为纯虚数， = 0 1 0， 解得 m0 则实数 m 的值为：0 故答案为：0 2 （3 分）若函数 yf（x）是函数 yax（a0 且 a1）的反函数，且 f（4）2，f（x） log2x 【解答】解：函数 yf（x）是函数 yax（a0 且 a1）的反函数， f（x）logax，又 f（4）2，

9、 2loga4， 解得 a2 f（x）log2x 故答案为：log2x 3 （3 分）一个腰长为 2 的等腰直角三角形绕着斜边上的高所在直线旋转 180形成的封闭 曲面所围成的图形的体积为 22 3 【解答】解：由题意可知旋转所得到的图形为圆锥， 由等腰三角形的高为2，斜边长为 22， 因此圆锥的底面半径为2，高为2， 圆锥的体积为 V= 1 3 （2）2 2 = 22 3 ， 故答案为：22 3 4 （3 分）已知 = 1 5，且 (0， 2)，则 sinxcosx 12 25 【解答】解： = 1 5，且 (0， 2)， 第 5 页（共 15 页） 两边平方可得：12sinxcosx= 1

10、 25， 解得：sinxcosx= 1 2（1 1 25）= 12 25 故答案为：12 25 5 （3 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）x23x则关于 x 的方程 f（x）x+3 的解集为 2+7，1，3 【解答】解：若 x0，则x0， 定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）x23x 当 x0 时，f（x）x2+3xf（x） 则当 x0 时，f（x）x23x 若 x0，由 f（x）x+3 得 x23xx+3， 则 x24x30，则 x= 416+43 2 = 427 2 =27， x0，x2+7， 若 x0，由 f（x）x+3 得x23x

11、x+3， 则 x2+4x+30，则 x1 或 x3， 综上方程 f（x）x+3 的解集为2+7，1，3； 故答案为：2+7，1，3 6 （3 分）抛物线 y24x 的焦点 F 关于直线 y2x 的对称点坐标为 （ 3 5， 4 5） 【解答】解：抛物线 y24x 是焦点在 x 轴正半轴的标准方程，p2， 焦点坐标为： （1，0） ， 设（1，0）关于 y2x 的对称点坐标是（a，b） ， 2 = 2 +1 2 1 2 = 1 ，解得 = 3 5 = 4 5 故答案为： （ 3 5， 4 5） 7 （3 分）二项式( + 2 ) 6的展开式中常数项的值等于 160 【解答】解：展开式的通项为:1

12、= 6 6;(2 ) = 26 6;2 令 62r0 可得 r3 常数项为236 3 =160 第 6 页（共 15 页） 故答案为：160 8 （3 分）从集合 A1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任取两个数，欲使取到的一个 数大于 k，另一个数小于 k（其中 kA）的概率为2 5，则 k 4 或 7 【解答】解：从集合 A1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任取两个数， 欲使取到的一个数大于 k，另一个数小于 k（其中 kA）的概率为2 5， (10;)(;1) 10 2 = 2 5， 解得 k4 或 k7 故答案为：4 或 7 9（3 分） 已知数列an， a11， :1+

13、 = (1 3) ， nN*， 则 (1 + 2+ 3+ + 2;1) = 9 8 【解答】解：:1+ = (1 3) ，nN， a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a2n2+a2n1） ， 1+ 1 32 + 1 34 + + 1 322， 1+ 1 9(1 1 322) 11 9 ， 1+ 1 8 1 8321， = 9 8 1 8321， (1 + 2+ 3+ + 2;1) = （ 9 8 1 8321）= 9 8， 故答案为：9 8 10 （3 分）中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造算筹记 数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万

14、位 的数按横式的数码摆出如 138 可用算筹表示19 这 9 个数字的纵式与横式 表示数码如图所示，则 16 3 42 221 log381 的运算结果可用算筹表示为 第 7 页（共 15 页） 【解答】解：16 3 42 221 log381672， 从题中所给表示数码知 672 可用算筹表示 故答案为： 11 （3 分）已知函数 f（x）k + 2的定义域和值域都是a，b，则实数 k 的取值范围是 （ 5 4，1 【解答】解：由 x+20，得 x2 而函数 f（x）k + 2是减函数， 由函数 f（x）k + 2的定义域和值域都是a，b， 可得 + 2 = + 2 = ， 即 = + 2

15、= + 2， 2 2 + 2= + 2 2 2 + 2= + 2， 两式作差可得 a+b2k1， 于是 a，b 可以看作是方程 x2（2k1）x+k22k10 在2，k的两个不同根 由根的分布可知， = (2 1) 2 42+ 8 + 40 2 21 2 (2)2+ 2(2 1) + 2 2 1 0 2+ (2 1) + 2 2 1 0 ， 解得： 5 4 1 实数 k 的取值范围是（ 5 4，1 故答案为： （ 5 4，1 12 （3 分）设 f 为（0，+）0，+）的函数，对于任意正实数 x，f（x）3f（3x） ， 当 1x3 时，f（x）2727|x2|，则使得() = 2 3成立的最

16、大实数 x 为 63 【解答】解：因为 f（x）对于所有的正实数 x 均有 f（x）3f（3x） ， f（x）= 1 3f（ 3） ， （nN *） 第 8 页（共 15 页） 当 1x3 时，f（x）2727|x2|= 81 27，(3 2) 27 27，(1 2) f（x）= 1 3 (81 27 3)，2 3 3 1 3 (27 3 27)，1 3 2 由() = 2 3，即 23 3 = 81 27 3 ， （2 3 3） 可得：023n81，满足条件的 n 有：1，2，3 当 n3 时，可得 x 的最大值为 63 由() = 2 3，即 23 3 = 27 + 27 3 ， （1 3

17、 2） 可得：2723n81，满足条件的 n 有：3 当 n3 时，可得 x 的最大值为 45 使得() = 2 3成立的最大实数 x 为 63 故答案为：63 二选择题（共二选择题（共 4 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 （3 分）在ABC 中， “ABC 是钝角三角形”是“cosC2sinAsinB”的（ ） A必要不充分 B充要 C充分不必要 D既不充分也不必要 【解答】解：在ABC 中，已知“ABC 是钝角三角形” ， 假设 C 为钝角，则 cosC0，2sinAsinB0，显然“cosC2sinAsinB”不成立； 在ABC 中，又由 cosC2

18、sinAsinB， 可知cos（A+B）2sinAsinB，即 cos（AB）0， 此时有 = 2，即 A 为钝角或 B 为钝角，从而ABC 为钝角三角形 “ABC 是钝角三角形”推不出“cosC2sinAsinB” ； “cosC2sinAsinB”“ABC 是钝角三角形” “ABC 是钝角三角形”是“cosC2sinAsinB”的必要不充分条件 故选：A 14 （3 分）已知 l，m，n 为三条不同直线， 为三个不同平面，则下列判断正确的 是（ ） A若 m，n，则 mn 第 9 页（共 15 页） B若 m，n，则 mn C若 l，m，m，则 ml D若 m，n，lm，ln，则 l 【解

19、答】解： （A）若 m，n，则 m 与 n 可能平行，可能相交，也可能异面，故 A 错误； （B）在正方体 ABCDABCD中，设平面 ABCD 为平面 ，平面 CDDC为 平面 ，直线 BB为直线 m，直线 AB 为直线 n， 则 m，n，但直线 AB 与 BB不垂直，故 B 错误 （C）设过 m 的平面 与 交于 a，过 m 的平面 与 交于 b， m，m，a， ma， 同理可得：mb ab，b，a， a， l，a，al， lm 故 C 正确 （D）在正方体 ABCDABCD中，设平面 ABCD 为平面 ，平面 ABBA为 平面 ，平面 CDDC为平面 ， 则 AB，CD，BCAB，BCC

20、D，但 BC平面 ABCD，故 D 错误 故选：C 第 10 页（共 15 页） 15 （3 分）函数 = ( 4 2)（1x4）的图象如图所示，A 为图象与 x 轴的交点，过 点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B，C 两点，则（ + ） =（ ） A8 B4 C4 D8 【解答】解：由题意可知 B、C 两点的中点为点 A（2，0） ，设 B（x1，y1） ，C（x2，y2） ， 则 x1+x24，y1+y20 （ + ） =（ （x1，y1）+（x2，y2） ） （2，0）（x1+x2，y1+y2） （2，0）（4， 0） （2，0）8 故选：D 16 （3 分）已知函数 f（x）|ln

21、x|，() = 0 ，0 1， |2 4| 2，1 若关于 x 的方程 f（x） +mg（x）恰有三个不相等的实数解，则 m 的取值范围是（ ） A0，ln2 B （2ln2，0） C （2ln2，0 D0，2+ln2） 【解答】解：设 h（x）f（x）+m， 作出函数 f（x）和 g（x）的图象如图 则 h（x）是 f（x）的图象沿着 x1 上下平移得到， 由图象知 B 点的纵坐标为 h（1）f（1）+mln1+mm， A 点的纵坐标为 g（2）2， 第 11 页（共 15 页） 当 x2 时，h（2）ln2+m，g（1）0， 要使方程 f（x）+mg（x）恰有三个不相等的实数解， 则等价为

22、 h（x）与 g（x）的图象有三个不同的交点， 则满足(1) (1) (2)(2) ， 即 0 + 2 2得 0 2 2， 即2ln2m0， 即实数 m 的取值范围是（2ln2，0， 故选：C 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17如图，已知边长为 2 的正三角形 ABE 所在的平面与菱形 ABCD 所在的平面垂直，且 DAB60，点 F 是 BC 的中点 （1）求证：BDEF； （2）求二面角 EDFB 的余弦值 【解答】解： （1）证明：取 AB 的中点 O，连结 EO，OF，AC，由题意知 EOAB 又因为平面 ABCD平面 ABE，所以 EO平面 ABCD 因为 BD平面 A

23、BCD，所以 EOBD， 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 BDAC， 又因为 OFAC，所以 BDOF，所以 BD平面 EOF 第 12 页（共 15 页） 又 EF平面 EOF，所以 BDEF （2）解：连结 DO，由题意知 EOAB，DOAB 又因为平面 ABCD平面 ABE，所以 DO平面 ABE， 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 则 O（0，0，0） ，E（3，0，0） ，D（0，0，3） ，F（0，3 2， 3 2 ） ，B（0，1，0） ， =（3，0，3） ， =（0，3 2 ， 3 2 ） 设平面 DEF 的一个法向量为 =（x，y，z） ， 则 =

24、 3 2 3 2 = 0 = 3 3 = 0 ，令 x1，所以 =（1， 3 3 ，1） 又由（1）可知 EO平面 ABCD，所以平面 DFB 的一个法向量为 =（1，0，0） ， 设二面角 EDFB 的平面角为 ， 则 cos= | |= 21 7 18已知向量 =（2 4，cos 2） ， =（cos 4，1） ，且 f（x）= （）求函数 f（x）的最小正周期； （）求函数 f（x）在区间，上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值 【解答】解： （） () = = 2 4 4 + 2（1 分） = 2 + 2 （2 分） = 2( 2 2 2 + 2 2 2)（3 分） = 2( 2 4

25、 + 2 4) = 2( 2 + 4)（5 分） 第 13 页（共 15 页） f（x）的最小正周期 = 2 1 2 = 4（6 分） （）x， 2 + 4 4 ， 3 4 ，（7 分） 当 2 + 4 = 4，即 x 时，() = 2( 4) = 2 2 2 = 1；（9 分） 当 2 + 4 = 2，即 = 2时，() = 2 2 = 2（11 分） 当 x 时，函数 f（x）取得最小值1；当 = 2时，函数 f（x）取得最大值 2 （12 分） 19已知函数 f（x）|x+1| （1）解关于 x 的不等式 f（x）x2+10； （2）若函数 g（x）f（x1）+f（x+m） ，当且仅当

26、0x1 时，g（x）取得最小值， 求 x（1，2）时，函数 g（x）的值域 【解答】解： （1）|x+1|x2+10|x+1|x21， 1 + 12 1 12，* 1#/DEL/# 12 1#/DEL/# ， 所以，不等式的解集为x|1x2； （2）g（x）|x|+|x+m+1|x|+|x+m+1|x+x+m+1|m+1|， 当且仅当（x） （x+m+1）0 时取等号，1+m+10， 得 m2， g（x）|x|+|x1|， 故当 x（1，2）时，() = 2 + 1 10 10 1 2 112 ， 所以 g（x）在 x（1，2）时的值域为1，3） 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0

27、)的离心率 = 3 2 ，椭圆 C 的上、下顶点分别为 A1， A2， 左、 右顶点分别为 B1， B2， 左、 右焦点分别为 F1， F2 原点到直线 A2B2的距离为25 5 （1）求椭圆 C 的方程； （2）P 是椭圆上异于 A1，A2的任一点，直线 PA1，PA2，分别交 x 轴于点 N，M，若直线 OT 与以 MN 为直径的圆 G 相切， 切点为 T 证明： 线段 OT 的长为定值， 并求出该定值 第 14 页（共 15 页） 【解答】解： （1）因为椭圆 C 的离心率 e= 3 2 ，故设 a2m，c= 3m，则 bm 直线 A2B2方程为 bxayab0，即 mx2my2m20

28、所以 22 2:42 = 25 5 ，解得 m1 所以 a2，b1，椭圆方程为 2 4 +y21（5 分） 证明： （2）由（1）可知 A1（0，1）A2（0，1） ，设 P（x0，y0） ， 直线 PA1：y1= 01 0 x，令 y0，得 xN= 0 01，（6 分） 直线 PA2：y+1= 0+1 0 x，令 y0，得 xM= 0 0+1，（7 分） 解法一：设圆 G 的圆心为（1 2（ 0 0:1 0 0;1） ，0） ，（9 分） 则 r21 2（ 0 0:1 0 0;1） 0 01 2=1 4（ 0 0:1 + 0 0;1） 2（11 分） OG2= 1 4（ 0 0:1 0 0;

29、1） 2 OT2OG2r2= 1 4（ 0 0:1 0 0;1） 21 4（ 0 0:1 + 0 0;1） 2= 02 102（13 分） 而0 2 4 +y021，所以 x024（1y02） ，所以 OT24，（15 分） 所以 OT2，即线段 OT 的长度为定值 2（16 分） 解法二：OMON|（ 0 01） 0 0:1|= 02 102， 而0 2 4 +y021，所以 x024（1y02） ，所以 OMON4 由切割线定理得 OT2OMON4 所以 OT2，即线段 OT 的长度为定值 2（16 分） 21若 Sn是公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和，且 S1，S2，S4成等比

30、数列 （1）求等比数列 S1，S2，S4的公比； （2）若 S24，求an的通项公式； 第 15 页（共 15 页） （3）设= 3 +1，Tn 是数列bn的前 n 项和，求使得 20对所有 nN *都成立的最 小正整数 m 【解答】解： （1）数列an为等差数列，S1a1，S22a1+d，S44a1+6d， S1，S2，S4成等比数列， S1S4S22， 1(41+ 6) = (21+ )2，21 = 2 公差 d 不等于 0，d2a1 = 2 1 = 41 1 = 4； （2）S24，2a1+d4，又 d2a1， a11，d2，an2n1 （3）= 3 (21)(2+1) = 3 2( 1 21 1 2+1) = 3 2(1 1 3) + ( 1 3 1 5) + + ( 1 21 1 2+1) = 3 2(1 1 2+1) 3 2 要使 20对所有 nN *恒成立， 20 3 2，m30， mN*， m 的最小值为 30