1、 第 1 页（共 19 页） 2020 高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（11） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|（x1） （x+1）0，By|y2x，xR，则 AB（ ） A （1，0 B （1，1） C （0，1） D 2 （5 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3 ，则 z 的共轭复数是（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 3 （5 分） 左手掷一粒骰子， 右手掷一枚硬币， 则事件 “骰子向上为 6 点且硬币向上为正面” 的概率为（ ）
2、 A1 6 B 1 12 C1 3 D1 2 4 （5 分） 已知点 （1， 2） 在双曲线 2 2 2 2 =1 的渐近线上， 则该双曲线的离心率为 （ ） A3 2 B5 C 5 2 D 6 2 5 （5 分）已知 p：（0， 2） ，sin，q：x0N，x0 22x010，则下列选项中是 假命题的为（ ） Apq Bp（q） Cpq Dp（q） 6 （5 分）下列计算正确的有（ ） tan（ 53 6 ）= 3 3 ；sin（ 11 3 ）= 3 2 ； cos（1305）= 2 2 ；sin（ 17 6 ）= 1 2 A B C D 7 （5 分） 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州 （
3、现四川省安岳县）人， 秦九韶在所著的 数 书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，其算法如下： 多项式函数 f（x）anxn+an1xn 1+a 1x+a0写为 f（x）（anxn 1+a n1xn 2+a 1） +a0 （ （anxn 2+a n1xn 3+a 2） +a1） x+a0 （ （ （anx+an1） x+an2） x+a1） x+a0， 即可用如图所示的程序框图来求某多项式的值若输入 a01，a14，a26，a34， a41 及 x0，运行程序可以输出 16，则 x0的值为（ ） 第 2 页（共 19 页） A3 B1 或3 C1 D2 或2 8 （5 分
4、）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三 棱锥的外接球的体积为（ ） A1122 3 B4411 3 C4411 D1122 9 （5 分）函数 yx2ex的大致图象为（ ） A B C D 10 （5 分）ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 a= 3，bcosAsinB， 则 A（ ） A 12 B 6 C 4 D 3 第 3 页（共 19 页） 11 （5 分）抛物线 y8x2的焦点坐标是（ ） A （0，2） B （2，0） C （0， 1 32） D （ 1 32，0） 12 （5 分）若 为第二象限角，下列结论错误的是（ ）
5、 Asincos Bsintan Ccos+tan0 Dsin+cos0 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 = (2，1)， = (4，)，若 ，则|2 + | = 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 2 + 1 2( 2) ，若 zx+ty（t0）的最大值为 11， 则实数 t 15 （5 分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子” ， 古称“角黍” ，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱 国主义诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个
6、边长为 1 的正三角形构成的， 将它沿虚线折起来， 可以得到如图所示粽子形状的六面体， 则该六面体的体积为 ； 若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 16 （5 分）若 x（0， 2） ，sin（x+ 6）= 3 5，则 sin（2x+ 12） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn和通项 an满足 2Sn+an1（nN*） （）求数列an的通项公式； （）已知数列bn中，b13a1，bn+1bn+1（nN*） ，求数列an+bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，三棱柱
7、A1B1C1ABC 中，BB1平面 ABC，ABBC，AB2，BC1， BB13，D 是 CC1的中点，E 是 AB 的中点 （）证明：DE平面 C1BA1； （）F 是线段 CC1上一点，且 CF2FC1，求 A1到平面 ABF 的距离 第 4 页（共 19 页） 19 （12 分）近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365 天）内 100 天 的 PM2.5 空气质量指数（AQI）的监测数据，统计结果如表： AQI 指数 0，50 （50，100 （100，150 （150，200 （200，300 （300，+） 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
8、天数 4 13 18 30 20 15 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为 S （单位： 元） ， AQI 指数为 x 当 x 在区间0， 100内时，对企业没有造成经济损失；当 x 在区间（100，300内时，对企业造成的经济 损失与 x 成直线模型（当 AQI 指数为 150 时，造成的经济损失为 1100 元，当 AQI 指数为 200 时，造成的经济损失为 1400 元） ；当 AQI 指数大于 300 时，造成的经济损失为 2000 元 （1）试写出 S（x）的表达式； （2） 试估计在本年内随机抽取 1 天， 该天经济损失 S 大于 1100 且不超过 1700 元的概率； （
9、3）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，这 30 天中有 8 天为严重污染，完成 2 2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关？ P （K2k0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 20 （12 分）已知椭圆的 2 2 + 2 2 = 1的离心率为 3 2 ，F 是其右焦点，直线
10、 ykx 与椭圆交 第 5 页（共 19 页） 于 A，B 两点， |AF|+|BF|8 （1）求椭圆的标准方程； （2）设 Q（3，0） ，若AQB 为锐角，求实数 k 的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）ex+e x+（2b）x，g（x）ax2+b（a，bR） ，若 yg（x） 在 x1 处的切线为 y2x+1+f（0） （）求实数 a，b 的值； （）若不等式 f（x）kg（x）2k+2 对任意 xR 恒成立，求 k 的取值范围； （）设1，2， (0， 2)，其中 n2，nN*，证明：f（sin1） f（cosn）+f （sin2） f（cosn1）+f（sinn1） f（
11、cos2）+f（sinn） f（cos1）6n 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 = 6 = 6（ 为参数） ，以坐 标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ( + 3) = 2 （1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 与 x 轴的交点为 P，经过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，若 | + | = 43，求直线 m 的倾斜角 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知
12、函数 f（x）|xa2|+|x2a+3|，g（x）x2+ax+3 （1）当 a1 时，解关于 x 的不等式 f（x）6； （2）若对任意 x1R，都存在 x2R，使得不等式 f（x1）g（x2）成立，求实数 a 的取 值范围 第 6 页（共 19 页） 2020 高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（11） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|（x1） （x+1）0，By|y2x，xR，则 AB（ ） A （1，0 B （1，1）
13、 C （0，1） D 【解答】解：集合 Ax|（x1） （x+1）0（1，1， By|y2x，xRy|y0（0，+） ， AB（0，1） 故选：C 2 （5 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3 ，则 z 的共轭复数是（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 【解答】解： = 2+3 = (2+3)() 2 = 3 2， = 3 + 2 故选：B 3 （5 分） 左手掷一粒骰子， 右手掷一枚硬币， 则事件 “骰子向上为 6 点且硬币向上为正面” 的概率为（ ） A1 6 B 1 12 C1 3 D1 2 【解答】解：骰子向上为 6 点的概率为1 6， 硬币向上为正面的概率为1 2
14、， 故所求事件的概率为1 6 1 2 = 1 12 故选：B 4 （5 分） 已知点 （1， 2） 在双曲线 2 2 2 2 =1 的渐近线上， 则该双曲线的离心率为 （ ） A3 2 B5 C 5 2 D 6 2 【解答】解：点（1，2）在双曲线 2 2 2 2 =1 的渐近线上， 可得 =2，所以 a24b24c24a2，4c25a2，所以双曲线的离心率为：e= 5 2 故选：C 第 7 页（共 19 页） 5 （5 分）已知 p：（0， 2） ，sin，q：x0N，x0 22x010，则下列选项中是 假命题的为（ ） Apq Bp（q） Cpq Dp（q） 【解答】解：命题 p：由三角函
15、数的定义，角 终边与单位圆交于点 P， 过 P 作 PMx 轴，垂足是 M，单位圆交 x 轴于点 A，则 sinMP，弧长 PA 即为角 ； 显然 MP弧长 PA； p：（0， 2） ，sin 是真命题； 命题 q：解方程 x022x010，则 x12，因此 q：x0N，x022x010，是假 命题 则下列选项中是假命题的为 pq而 A，B，D 都是真命题 故选：C 6 （5 分）下列计算正确的有（ ） tan（ 53 6 ）= 3 3 ；sin（ 11 3 ）= 3 2 ； cos（1305）= 2 2 ；sin（ 17 6 ）= 1 2 A B C D 【解答】 解： ( 53 6 ) =
16、 53 6 = (8 + 5 6) = 5 6 = 3 3 ， 即正确； ( 11 3 ) = 11 3 = (4 3) = 3 = 3 2 ，即错误； cos （1305） cos1305cos （7180+45） cos45= 2 2 ， 即正确； ( 17 6 ) = 17 6 = (3 6) = 1 2，即错误； 所以计算正确的有， 故选：C 第 8 页（共 19 页） 7 （5 分） 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州 （现四川省安岳县）人， 秦九韶在所著的 数 书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，其算法如下： 多项式函数 f（x）anxn+an1xn 1+a
17、 1x+a0写为 f（x）（anxn 1+a n1xn 2+a 1） +a0 （ （anxn 2+a n1xn 3+a 2） +a1） x+a0 （ （ （anx+an1） x+an2） x+a1） x+a0， 即可用如图所示的程序框图来求某多项式的值若输入 a01，a14，a26，a34， a41 及 x0，运行程序可以输出 16，则 x0的值为（ ） A3 B1 或3 C1 D2 或2 【解答】解：由题意可知，该流程图的目的是计算：S（ （ （a4x0+a3）x0+a2）x0+a1）x0+a 的值 其中 a01，a14，a26，a34，a41，则 S（ （ （x+4）x+6）x+4）x+1
18、， 结合选项： 若 x1，则 S（ （ （1+4）1+6）1+4）1+116，x1 满足题意，则选项 AD 错误； 若 x3，则 S（ （ （ （3）+4）（3）+6）（3）+4）（3）+116，x 3 满足题意，则选项 C 错误； 故选：B 8 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三 棱锥的外接球的体积为（ ） 第 9 页（共 19 页） A1122 3 B4411 3 C4411 D1122 【解答】解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 ABCD，F 为 BD 的中点， 外接球球心 O 在过 CD 的中点 E 且垂直于平面 BCD 的直线
19、l 上， 又点 O 到 A，B，D 的距离相等， O 又在过左边正方体一对棱的中点 M，N 所在直线上， 在OEN 中，由 = ，即 2 3 = 2 ，得 OE3， 三棱锥 ABCD 外接球的球半径 R= 2+ 2=32+ (2)2= 11， V= 4411 3 故选：B 9 （5 分）函数 yx2ex的大致图象为（ ） A B C D 【解答】解：任意 xR，yx2ex0，排除 C 第 10 页（共 19 页） y2xex+x2ex（x2+2x）ex， 在区间（，2） ， （0，+）上，y0，y 单调递增， 在区间（2，0）上，y0，y 单调递减， 故选：A 10 （5 分）ABC 中，内角
20、 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 a= 3，bcosAsinB， 则 A（ ） A 12 B 6 C 4 D 3 【解答】解：a= 3，bcosAsinB， 3bcosAasinB， 由正弦定理可得 sinAsinB= 3sinBcosA， B 是三角形内角，sinB0， tanA= 3， 由 A 是三角形内角，可得：A= 3 故选：D 11 （5 分）抛物线 y8x2的焦点坐标是（ ） A （0，2） B （2，0） C （0， 1 32） D （ 1 32，0） 【解答】 解： 抛物线 y8x2的标准方程为： x2= 1 8y， 所以抛物线的焦点坐标 （0， 1 32） 故选：
21、C 12 （5 分）若 为第二象限角，下列结论错误的是（ ） Asincos Bsintan Ccos+tan0 Dsin+cos0 【解答】解：因为 为第二象限角， 所以 sin0，cos0，tan0，A，B，C 都对，D 错误 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 = (2，1)， = (4，)，若 ，则|2 + | = 10 【解答】解：根据题意，向量 = (2，1)， = (4，)， 第 11 页（共 19 页） 若 ，则 = 8+y0，解可得 y8； 则 2 + =（0，10） ， 故|2 +
22、 |10； 故答案为：10 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 2 + 1 2( 2) ，若 zx+ty（t0）的最大值为 11， 则实数 t 4 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 zx+ty 得 y= 1 x+ ， 平移直线 y= 1 x+ ， 由图象知当直线 y= 1 x+ 经过点 A 时，直线的截距最大此时 z 最大为 11， 由 = 2 = 2( 2)得 A（3，2） ， 则 3+2t11，得 2t8，t4， 故答案为：4 15 （5 分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子” ， 古称“角黍” ，是端午节大家都会品尝的食品，传
23、说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱 国主义诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的， 将它沿虚线折起来， 可以得到如图所示粽子形状的六面体， 则该六面体的体积为 2 6 ； 若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 86 729 第 12 页（共 19 页） 【解答】解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为 1， 如图，在棱长为 1 的正四面体 SABC 中， 取 BC 中点 D，连结 SD、AD， 作 SO平面 ABC，垂足 O 在 AD 上， 则 ADSD=12 (1 2) 2 = 3 2 ，OD= 1 3 = 3 6 ，SO= 2 2=
24、6 3 ， 该六面体的体积： V2VSABC2 1 3 1 2 1 3 2 6 3 = 2 6 当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为 O，且该球与 SD 相切， 过球心 O 作 OESD，则 OE 就是球半径， SOODSDOE，球半径 ROE= = 6 3 3 6 3 2 = 6 9 ， 该球体积的最大值为：V球= 4 3 ( 6 9 )3= 86 729 故答案为： 2 6 ，86 729 16 （5 分）若 x（0， 2） ，sin（x+ 6）= 3 5，则 sin（2x+ 12） 172 50 【解答】解：x（0， 2） ，x+ 6（ 6， 2 3 ） ， 又 sin（x+
25、 6）= 3 5 3 2 ，cos（x+ 6）= 4 5， 第 13 页（共 19 页） sin2（x+ 6）2sin（x+ 6）cos（x+ 6）= 24 25， cos2（x+ 6）2 2( + 6) 1 =2 ( 4 5) 2 1 = 7 25 sin（2x+ 12）sin2（x+ 6） 4 sin2（x+ 6）cos 4 cos2（x+ 6）sin 4 = 24 25 2 2 7 25 2 2 = 172 50 故答案为：172 50 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn和通项
26、 an满足 2Sn+an1（nN*） （）求数列an的通项公式； （）已知数列bn中，b13a1，bn+1bn+1（nN*） ，求数列an+bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （）当 n1 时，有 2S1+a112a1+a1，解得 a1= 1 3； 因为 2Sn+an1（nN*）， 所以当 n2 且 nN*时有 2Sn1+an11， 由得：2（SnSn1）+anan12an+anan10，即 3anan1，an= 1 3an1 数列an是首项为1 3，公比为 1 3的等比数列 所以 an（1 3） n （）数列bn中，b13a1，bn+1bn+1（nN*） ，b11，bn+1bn1， 数列
27、bn是首项为 1，公差为 1 的等差数列 bnn 又由（1）知：an（1 3） n，所以 an+bn（1 3） n+n所以数列an+bn的前 n 项和 Tn 1 3 + (1 3) 2 + (1 3) 3 + +（1 3） n+（1+2+3+n）= 1 31( 1 3) 11 3 + (+1) 2 = 1 21 ( 1 3) + (+1) 2 18 （12 分）如图，三棱柱 A1B1C1ABC 中，BB1平面 ABC，ABBC，AB2，BC1， BB13，D 是 CC1的中点，E 是 AB 的中点 （）证明：DE平面 C1BA1； 第 14 页（共 19 页） （）F 是线段 CC1上一点，且
28、 CF2FC1，求 A1到平面 ABF 的距离 【解答】 （）证明：取 AA1的中点 G，连接 EG，DG， D 是棱 CC1的中点，G 是棱 AA1的中点， DGA1C1，EGBA1， DG平面 C1BA1，C1A1平面 C1BA1，EG平面 C1BA1，BA1平面 C1BA1， DG平面 AB1C1，BA1平面 AB1C1， 又EGDGG， 平面 DEG平面 BA1C1， DE平面 DEF DE平面 BA1C1； （）解：连接 AF，BF，A1F， 由已知 BB1平面 ABC， ABBC，可得 BC平面 AA1B，则 F 到底面 AA1B 的距离为 BC 1 又 AB2，AA1BB13，1
29、= 1 2 2 3 = 3 由 CF2FC1，得 CF2，则 BF= 5，= 1 2 2 5 = 5 设 A1到平面 ABF 的距离为 h，则由1= 1， 得1 3 3 1 = 1 3 5 ，则 h= 35 5 故 A1到平面 ABF 的距离35 5 第 15 页（共 19 页） 19 （12 分）近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365 天）内 100 天 的 PM2.5 空气质量指数（AQI）的监测数据，统计结果如表： AQI 指数 0，50 （50，100 （100，150 （150，200 （200，300 （300，+） 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污
30、染 严重污染 天数 4 13 18 30 20 15 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为 S （单位： 元） ， AQI 指数为 x 当 x 在区间0， 100内时，对企业没有造成经济损失；当 x 在区间（100，300内时，对企业造成的经济 损失与 x 成直线模型（当 AQI 指数为 150 时，造成的经济损失为 1100 元，当 AQI 指数为 200 时，造成的经济损失为 1400 元） ；当 AQI 指数大于 300 时，造成的经济损失为 2000 元 （1）试写出 S（x）的表达式； （2） 试估计在本年内随机抽取 1 天， 该天经济损失 S 大于 1100 且不超过 1700
31、元的概率； （3）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，这 30 天中有 8 天为严重污染，完成 2 2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关？ P （K2k0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）依题意，可得函数解析式为() =
32、0， 0，100 6 + 200， (100，300 2000， (300，+ ). ； （2）设“在本年内随机抽取 1 天，该天经济损失 S 大于 1100 元且不超过 1700 元”为事 件 A， 由 1100S1700，得 150x250，由统计结果，知 P（A）0.4， 即在本年内随机抽取 1 天，该天经济损失 S 大于 1100 元且不超过 1700 元的概率为 0.4 （3）根据题中数据可得如下 22 列联表： 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 计算 K2的观测值 = 100(638227)2 85153070
33、= 4.5753.841， 所以有 95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关 20 （12 分）已知椭圆的 2 2 + 2 2 = 1的离心率为 3 2 ，F 是其右焦点，直线 ykx 与椭圆交 于 A，B 两点， |AF|+|BF|8 （1）求椭圆的标准方程； （2）设 Q（3，0） ，若AQB 为锐角，求实数 k 的取值范围 【解答】解： （1）设 F为椭圆的左焦点，连接 FB，由椭圆的对称性可知，|AF|FB|， 所以|AF|+|BF|AF|+|AF|2a8，所以 a4， 又 e= = 3 2 ，a2b2+c2，解得 b2， 所以椭圆的标准方程为： 2 16 + 2 4 = 1
34、（2）设点 A（x，y） ，B（x，y） ，则 =（x3，y） ， =（x3，y） ， 联立直线与椭圆的方程整理得： （1+4k2）x2160， 所以 x+x0，xx= 16 1+42，yyk 2xx=162 1+42， 因为AQB 为锐角，所以 0， 第 17 页（共 19 页） 所以 =（x3） （x3）+yyxx3（x+x）+9+yy9 16(1+2) 1+42 0，整理得： 20k27， 解得：k 35 10 ，或 k 35 10 21 （12 分）已知函数 f（x）ex+e x+（2b）x，g（x）ax2+b（a，bR） ，若 yg（x） 在 x1 处的切线为 y2x+1+f（0）
35、（）求实数 a，b 的值； （）若不等式 f（x）kg（x）2k+2 对任意 xR 恒成立，求 k 的取值范围； （）设1，2， (0， 2)，其中 n2，nN*，证明：f（sin1） f（cosn）+f （sin2） f（cosn1）+f（sinn1） f（cos2）+f（sinn） f（cos1）6n 【解答】解： （）由 f（x）exe x+2b，得 f（0）2b，由 g（x）2ax， 得 g（1）2a， 根据题意可得2 = 2 (1) = + = 2 + 1 + 2 ，解得 = 1 = 2； （）由不等式 f（x）kg（x）2k+2 对任意 xR 恒成立知，ex+e xkx220 恒成
36、 立， 令 F（x）ex+e xkx22，显然 F（x）为偶函数，故当 x0 时，F（x）0 恒成立， F（x）exe x2kx，令 h（x）exex2kx（x0） ，则 h（x）ex+ex2k， 令 H（x）ex+e x2k（x0） ，则 H（x）exex，显然 H（x）为（0，+）上 的增函数， 故 H（x）H（0）0，即 H（x）在（0，+）上为增函数，H（0）22k， 当 H（0）22k0，即 k1 时，H（x）0，则 h（x）在（0，+）上单调递增， 故 h（x）h（0）0，则 F（x）在（0，+）上为增函数，故 F（x）F（0）0， 符合题意； 当 H （0） 22k0， 即 k1
37、 时， 由于(2) = 1 20， 故存在 x1 （0， ln （2k） ） ， 使得 H（x1）0， 故 h（x）在（0，x1）单调递减，在（x1，+）单调递增， 当 x（0，x1）时，h（x）h（0）0，故 F（x）在在（0，x1）单调递减，故 F（x） F（0）0，不合题意 综上，k1； 第 18 页（共 19 页） （） 证明： 由 （） 知， (1)(2) (12+ 2)(22+ 2) = 1222+ 212+ 222+ 4 212+ 222+ 4，当且仅当 x1x20 时等号同时成立， 故(1)()221+ 22+ 4， (2)(1)222+ 221+ 4， ()(1)22+ 22
38、1+ 4， 以上 n 个式子相加得， f （sin1） f （cosn） +f （sin2） f （cosn1） +f （sinn1） f （cos2） +f（sinn） f（cos1）6n 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 = 6 = 6（ 为参数） ，以坐 标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ( + 3) = 2 （1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 与 x 轴的交点为 P，经过点 P
39、的直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，若 | + | = 43，求直线 m 的倾斜角 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为 = 6 = 6（ 为参数） ，转换为直角坐标方程 为 x2+y26 直线 l 的极坐标方程为( + 3) = 2整理得 1 2 3 2 2 = 0，转换为直 角坐标方程为 3 4 = 0 （2）直线 l 与 x 轴的交点为 P，所以 P（4，0） ， 所以 = 4 + = （t 为参数） ， 把直线的参数方程代入圆的方程得到： （4+tcos）2+（tsin）26， 整理得 t2+8cost+100， 所以 t1+t28cos， 所以| + | = |8| =
40、 43， 解得 = 3 2 或 = 3 2 ， 所以 = 6或 5 6 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 第 19 页（共 19 页） 23已知函数 f（x）|xa2|+|x2a+3|，g（x）x2+ax+3 （1）当 a1 时，解关于 x 的不等式 f（x）6； （2）若对任意 x1R，都存在 x2R，使得不等式 f（x1）g（x2）成立，求实数 a 的取 值范围 【解答】解： （1）当 a1 时，不等式 f（x）6 即为|x1|+|x+1|6， 等价为 1 2 6或 11 2 6 或 1 2 6， 解得 1x3 或1x1 或3x1， 则原不等式的解集为3，3； （2）若对任意 x1R，都存在 x2R，使得不等式 f（x1）g（x2）成立， 可得 f（x1）ming（x2）min， 由 f （x） |xa2|+|x2a+3|xa2x+2a3|a22a+3， 当且仅当 （xa2） （x2a+3） 0 取得等号， 可得 f（x）的最小值为 a22a+3， g（x）x2+ax+3 的最小值为12 2 4 ， 则 a22a+3 122 4 ，即 5a28a0， 解得 a 8 5或 a0
