1、 第 1 页(共 19 页) 2020 年广西省高考数学(文科)模拟试卷(年广西省高考数学(文科)模拟试卷(3) 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)设集合 Ax|x2|2,Bx|x23x+20则 ARB( ) A (0,12,4) B (1,2) C D (,0)(4,+) 2 (5 分)已知复数 z= 2 (1)3,则在复平面内对应点所在象限为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 (5 分)同时抛掷两个质地均匀的骰子,向上的点数之和小于 5 的概率为( ) A1 9 B1 6 C 1 18 D
2、5 12 4 (5 分)已知一组样本数据点(x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) , (x6,y6) ,用最小二乘 法得到其线性回归方程为 = 2 + 4,若数据 x1,x2,x3,x6的平均数为 1,则 y1+y2+y3+y6等于( ) A10 B12 C13 D14 5 (5 分)若函数 f(x)sinx+acosx 的图象关于直线 = 4对称,则 a 的值为( ) A1 B1 C3 D3 6 (5 分)已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 S2= 5 2,S4= 65 8 ,则其公比为( ) A1 2 B3 4 C3 2 D2 7 (5 分) 设变量 x, y
3、满足约束条件 + 1, 2 2, + 1 0, 则 z (x3) 2+y2 的最小值为 ( ) A2 B45 5 C4 D16 5 8 (5 分)曲线 ylnx 上的点到直线 yx+2 的最短距离是( ) A2 B32 2 C 2 2 D1 9 (5 分)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 是棱 DC 的中点,则异面直线 BM 与 第 2 页(共 19 页) A1C 所成角的正弦值为( ) A210 15 B 15 15 C 65 65 D 8 65 65 10 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为( ) A5 B6 C8 D13 11 (5 分)已知函数 f(x)=
4、 (1 3) + 2(0) ( 3)2+ 2( 0) ,在(,+)上是减函数,则实 数 a 的取值范围为( ) A (2,3) B1,3) C (1,3) D1,3 12 (5 分)如图,FI,F2是双曲线: 2 2 2 3 = 1(0)的左、右焦点,点 P 是双曲线上 位于第一象限内的一点, 且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于点 A, APF1的内切圆与边 PF1 切于点 Q,且|PQ|4,则双曲线 C 的离心率为( ) 第 3 页(共 19 页) A2 B 7 2 C23 3 D 19 4 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1
5、3 (5 分)已知向量 =(1,x) , =(2x,4) 若 ,则|x|的值为 14(5 分) 已知等差数列an的前 n 项和是 Sn, 如果 a2a5+a80, S927, 则 S10 15 (5 分)过抛物线 C:y22x 的焦点 F,且斜率为3的直线交抛物线 C 于点 M(M 在 x 轴的上方) , l为抛物线C的准线, 点N在l上且MNl, 则M到直线NF的距离为 16 (5 分)在四面体 ABCD 中,若 ADDCACCB1,则当四面体 ABCD 的体积最大 时,其外接球的表面积为 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 12 分)分) 17
6、(12 分)某班主任利用周末时间对该班级 2019 年最后一次月考的语文作文分数进行统 计, 发现分数都位于 2055 之间, 现将所有分数情况分为20, 25) , 25, 30) , 30, 35) , 35,40) ,40,45) ,45,50) ,50,55共七组其频率分布直方图如图所示,已知 m 2n (1)求频率分布直方图中 m,n 的值: (2)求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数 (每组数据用该组区间中点值 作为代表) 18 (12 分)ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,ABC 的外接圆半径为 R,面 积为 S,已知 A 为锐角,且(b2+c22R2
7、)tanA4S (1)求 A; (2)若 a1,求 S 的最大值 19 (12 分)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,A1B1A1C1,D 是 B1C1的中点,A1A A1B12 (1)求证:AB1平面 A1CD; (2)若异面直线 AB1和 BC 所成角为 60,求四棱锥 A1CDB1B 的体积 第 4 页(共 19 页) 20 (12 分)已知函数 fk(x)xlnxa(x+ (1) ) (1)当 a1 时,求 f1(x)在 x1 处的切线方程; (2)对于任意 x1,+) ,f1(x)0 恒成立,求 a 的取值范围; (3)试讨论函数 F(x)f0(x)x 的极值点的个数 21 (
8、12 分)如图,定义:以椭圆中心为圆心,长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆” 过椭 圆第一象限内一点 P 作 x 轴的垂线交其“辅圆”于点 Q,当点 Q 在点 P 的上方时,称点 Q 为点 P 的“上辅点” 已知椭圆 E: 2 2 + 2 2 = 1(ab0)上的点(1, 3 2 )的上辅 点为(1,3) (1)求椭圆 E 的方程; (2)若OPQ 的面积等于1 2,求上辅点 Q 的坐标; (3)过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T,判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系,并 证明你的结论 四解答题(共四解答题(共 1 小题,满分小题,满分 10 分,每小题分,每小题 10 分)分) 2
9、2 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 = 1 + = ( 为参数) 以坐 标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 1,直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) (1)求:曲线 C1的普通方程; 第 5 页(共 19 页) 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标; (2)设点 M 的极坐标为(6, 3),点 N 是曲线 C1 上的点,求MON 面积的最大值 五解答题(共五解答题(共 1 小题)小题) 23已知函数 f(x)2|x|+|x3| ()解关于 x 的不等式 f(x)4; ()若对于任意的 xR,不等式 f(x)t22t 恒
10、成立,求实数 t 的取值范围 第 6 页(共 19 页) 2020 年广西省高考数学(文科)模拟试卷(年广西省高考数学(文科)模拟试卷(3) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)设集合 Ax|x2|2,Bx|x23x+20则 ARB( ) A (0,12,4) B (1,2) C D (,0)(4,+) 【解答】解:Ax|0x4,Bx|1x2, RBx|x1 或 x2,ARB(0,12,4) 故选:A 2 (5 分)已知复数 z= 2 (1)3,则在复平面内对应点所在象限为( ) A
11、第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解:z= 2 (1)3 = 2 (1)2(1) = 2 (1)2 = 1 1 = 1+ (1)(1+) = 1 2 1 2i; = 1 2 + 1 2i; 在复平面内对应点所在象限为第二象限; 故选:B 3 (5 分)同时抛掷两个质地均匀的骰子,向上的点数之和小于 5 的概率为( ) A1 9 B1 6 C 1 18 D 5 12 【解答】解:同时抛掷两个质地均匀的骰子, 基本事件总数 n6636, 向上的点数之和小于 5 包含的基本事件有: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (3,1) ,共
12、6 个, 向上的点数之和小于 5 的概率为 p= 6 36 = 1 6 故选:B 4 (5 分)已知一组样本数据点(x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) , (x6,y6) ,用最小二乘 法得到其线性回归方程为 = 2 + 4,若数据 x1,x2,x3,x6的平均数为 1,则 y1+y2+y3+y6等于( ) 第 7 页(共 19 页) A10 B12 C13 D14 【解答】解:设样本数据点(x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) , (x6,y6)的样本中心点 为(,) , 则 =1,代入线性回归方程 = 2 + 4中,得 = 21+42, 则 y1+y2+y
13、3+y66 =12 故选:B 5 (5 分)若函数 f(x)sinx+acosx 的图象关于直线 = 4对称,则 a 的值为( ) A1 B1 C3 D3 【解答】解:f(x)sinx+acosx= 2+ 1(sinx 1 2:1 +cosx 2:1) , 设 cos= 1 2+1,sin= 2+1,则 tana, 即 f(x)= 2+ 1sin(x+) , f(x)的图象关于直线 = 4对称, 4 +k+ 2,kZ, 则 k+ 4,kZ, atantan(k+ 4)tan 4 =1, 故选:A 6 (5 分)已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 S2= 5 2,S4= 65 8 ,
14、则其公比为( ) A1 2 B3 4 C3 2 D2 【解答】解:依题意,显然公比 q1, S2= 1(12) 1 = 5 2, S4= 1(14) 1 = 65 8 , 两式相除得 1+q2= 13 4 ,解得 q= 3 2或 q= 3 2, 因为数列an是正项等比数列,所以 q0, 所以 q= 3 2 故选:C 第 8 页(共 19 页) 7 (5 分) 设变量 x, y 满足约束条件 + 1, 2 2, + 1 0, 则 z (x3) 2+y2 的最小值为 ( ) A2 B45 5 C4 D16 5 【解答】解:画出变量 x,y 满足约束条件 + 1, 2 2, + 1 0, 的可行域,
15、 可发现 z(x3)2+y2的最小值是(3,0)到 2xy20 距离的平方 取得最小值:( 62 4+1) 2 = 16 5 故选:D 8 (5 分)曲线 ylnx 上的点到直线 yx+2 的最短距离是( ) A2 B32 2 C 2 2 D1 【解答】解:设(m,lnm)处的切线与 yx+2 平行 因为= 1 ,故 1 = 1,所以 m1 所以切点为(1,0) 所以最小距离为 d= |10+2| 2 = 32 2 故选:B 9 (5 分)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 是棱 DC 的中点,则异面直线 BM 与 第 9 页(共 19 页) A1C 所成角的正弦值为( ) A21
16、0 15 B 15 15 C 65 65 D 8 65 65 【解答】解:在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 是棱 DC 的中点, 以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1为 z 轴,建立空间直角坐标系, 在正方体 ABCDA1B1C1D1中设棱长为 2, 则 B(2,2,0) ,M(0,1,0) ,A1(2,0,2) ,C(0,2,0) , =(2,1,0) ,1 =(2,2,2) , cos ,1 = 1 | |1 | = 2 512 = 15 15 , 则异面直线 BM 与 A1C 所成角的正弦值为1 ( 15 15 )2= 210 15 故选:A 10 (5 分
17、)执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为( ) 第 10 页(共 19 页) A5 B6 C8 D13 【解答】解:模拟程序的运行,可得: i0,S1,P0 满足条件 i4,执行循环体,i1,t1,S1,P1 满足条件 i4,执行循环体,i2,t1,S2,P1 满足条件 i4,执行循环体,i3,t2,S3,P2 满足条件 i4,执行循环体,i4,t3,S5,P3 此时,不满足条件 i4,退出循环,输出 S 的值为 5 故选:A 11 (5 分)已知函数 f(x)= (1 3) + 2(0) ( 3)2+ 2( 0) ,在(,+)上是减函数,则实 数 a 的取值范围为( ) A (2,3) B
18、1,3) C (1,3) D1,3 【解答】解:f(x)在(,+)上是减函数, 1 30 30 2 2 ,解得 1a3, a 的取值范围为1,3) 故选:B 12 (5 分)如图,FI,F2是双曲线: 2 2 2 3 = 1(0)的左、右焦点,点 P 是双曲线上 位于第一象限内的一点, 且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于点 A, APF1的内切圆与边 PF1 切于点 Q,且|PQ|4,则双曲线 C 的离心率为( ) 第 11 页(共 19 页) A2 B 7 2 C23 3 D 19 4 【解答】解:PQPF1F1QPF1F1MPF1NF2PF1(PF2+PQ) = 1 2 (1 2) =
19、 ,a4,b= 3,c= 19, 所以双曲线的离心率为: = 19 4 故选:D 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)已知向量 =(1,x) , =(2x,4) 若 ,则|x|的值为 2 【解答】解: , 42x20,解得| = 2 故答案为:2 14 (5 分) 已知等差数列an的前 n 项和是 Sn, 如果 a2a5+a80, S927, 则 S10 40 【解答】解:等差数列an的前 n 项和是 Sn,a2a5+a80,S927, (1+ )(1+ 4) + 1+ 7 = 0 91+ 98 2 = 27 , 解得
20、a15,d2, S1010(5)+ 109 2 2 =40 故答案为:40 15 (5 分)过抛物线 C:y22x 的焦点 F,且斜率为3的直线交抛物线 C 于点 M(M 在 x 轴的上方) , l为抛物线C的准线, 点N在l上且MNl, 则M到直线NF的距离为 3 【解答】 解: 抛物线 C: y22x 的焦点 F (1 2, 0) , 且斜率为3的直线方程为 = 3( 1 2), 所以 2= 2 = 3( 1 2) ,整理得 12x220x+30,解得 = 3 2 或 1 6, 第 12 页(共 19 页) 当 x= 1 6时,解得 y= 3 3 , 设点 M(3 2 ,3) ,l 为抛物
21、线 C 的准线,点 N 在 l 上且 MNl, 所以 N( 1 2 ,3) ,所以 NF 的直线方程 = 3( 1 2), 所以当 M(3 2 ,3)到直线 = 3( 1 2)的距离 d= |33 2+3 3 2| 43 = 3 故答案为:3 16 (5 分)在四面体 ABCD 中,若 ADDCACCB1,则当四面体 ABCD 的体积最大 时,其外接球的表面积为 7 3 【解答】解:因为 ADDCAC1,所以底面 ACD 面积为定值, 因此当 CB平面 ACD 时,四面体 ABCD 的体积最大 设ACD外接圆圆心为O1, 则四面体ABCD的外接球的球心O满足OO1BC, 且1= 1 2, 因此
22、外接球的半径 R 满足2= (1 2) 2 + ( 3 3 )2= 7 12 从而外接球的表面积为42= 7 3 故答案为:7 3 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 12 分)分) 17 (12 分)某班主任利用周末时间对该班级 2019 年最后一次月考的语文作文分数进行统 计, 发现分数都位于 2055 之间, 现将所有分数情况分为20, 25) , 25, 30) , 30, 35) , 35,40) ,40,45) ,45,50) ,50,55共七组其频率分布直方图如图所示,已知 m 2n (1)求频率分布直方图中 m,n 的值: (2)求该
23、班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数 (每组数据用该组区间中点值 作为代表) 第 13 页(共 19 页) 【解答】解: (1)由频率分布直方图得: = 2 (0.01 + 0.03 + 0.06 + + 0.03+ + 0.01) 5 = 1, 解得 m0.04,n0.02 (2)该班级这次月考语文作文分数的平均数为: (22.50.01+27.50.03+32.50.06+37.50.04+42.50.03+47.50.02+52.50.01)5 36.25 (0.01+0.03+0.06)50.5, 该班级这次月考语文作文分数的中位数为 35 18 (12 分)ABC 中,角 A,B
24、,C 的对边分别为 a,b,c,ABC 的外接圆半径为 R,面 积为 S,已知 A 为锐角,且(b2+c22R2)tanA4S (1)求 A; (2)若 a1,求 S 的最大值 【解答】解: (1)(b2+c22R2)tanA4S, (2+ 2 22) = 4 1 2 , 即 b2+c22R22bccosA,b2+c22bccosA2R2, 由余弦定理得 a22R2, 由正弦定理得(2RsinA)22R2,得 = 2 2 , A 为锐角, = 4; (2) = 4,由余弦定理得 2 + 2 2 2 2 = 1,2+ 2= 2 + 1, b2+c22bc,取等号的条件是 bc, 2+2 2 ,
25、= 1 2 = 2 4 1 4 (2 + 1), S 的最大值为1 4 (2 + 1) 19 (12 分)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,A1B1A1C1,D 是 B1C1的中点,A1A A1B12 (1)求证:AB1平面 A1CD; (2)若异面直线 AB1和 BC 所成角为 60,求四棱锥 A1CDB1B 的体积 第 14 页(共 19 页) 【解答】 (1)证明:如图,连 AC1交 A1C 于点 E,连 DE 因为直三棱柱 ABCA1B1C1中,四边形 AA1C1C 是矩形,故点 E 是 AC1中点, 又 D 是 B1C1的中点,故 DEAB1, 又 AB1平面 A1CD,DE平
26、面 A1CD,故 AB1平面 A1CD (2)解:由(1)知 DEAB1,又 C1DBC,故C1DE 或其补角为异面直线 AB1和 BC 所成角 设 AC2m,则1 = 2+ 1,1 = 2+ 1, = 2, 故C1DE为等腰三角形, 故C1DE60, 故C1DE为等边三角形, 则有2+ 1 = 2, 得到 m1 故A1B1C1为等腰直角三角形, 故A1DC1B1, 又B1B平面A1B1C1, A1D平面A1B1C1, 故 A1DB1B,又 B1BC1B1B1,故 A1D平面 CDB1B, 又梯形 CDB1B 的面积1= 1 2 (2 + 22) 2 = 32,1 = 2, 则四棱锥 A1CD
27、B1B 的体积 = 1 31 1 = 1 3 32 2 = 2 20 (12 分)已知函数 fk(x)xlnxa(x+ (1) ) (1)当 a1 时,求 f1(x)在 x1 处的切线方程; (2)对于任意 x1,+) ,f1(x)0 恒成立,求 a 的取值范围; (3)试讨论函数 F(x)f0(x)x 的极值点的个数 第 15 页(共 19 页) 【解答】解: (1)当 a1 时,f1(x)xlnx(x 1 ) , f1(x)lnx+11 1 2 =lnx 1 2, f1(1)1,又 f1(1)0 f1(x)在 x1 处的切线方程为:y(x1) ,即 x+y10 (2)对于任意 x1,+)
28、,f1(x)xlnxa(x 1 )0 恒成立, lnxa+ 2 0 在 x1,+)上恒成立, 令 g(x)lnxa+ 2,x1,+) g(x)= 1 2 3 = 22 3 当 2a1 时,g(x)0 在 x1,+)上恒成立, g(x)在 x1,+)上单调递增g(x)g(1)0 当 2a1 时,g(x)= (+2)(2) 3 , 可得 g(x)在 x(1,2)上单调递减,g(x)g(1)0,不符合题意,舍去 综上可得:a(, 1 2 (3)F(x)f0(x)xxlnxa(x+ 1 )xxlnxa(x+1) F(x)1+lnx(a+1)+ 2 =lnxa+ 2 =G(x) G(x)= 22 3 当
29、 2a0 时,G(x)0 在 x(0,+)上恒成立, G(x)在 x(0,+)上单调递增 G(ea)= 2 0,G(2)ln2a+ 4 0 存在唯一零点 x0(ea,2) ,使得 G(x0)0 函数 F(x)f0(x)x 有唯一极值点 当 2a0 时,G(x)= (+2)(2) 3 , 可得 G(x)在 x(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增 G(x)的最小值为 G(2)ln2 a+ 1 2 (i) 当 G(2)0即 ln2 a+ 1 2 0 时,F(x)0 恒成立, 第 16 页(共 19 页) 令 (a)ln2 a+ 1 2 由() = 1 2 1 = 0,得 a= 1 2, (x
30、)在(0,1 2)上单调递增,在( 1 2,+)上单调递减,得 (a)( 1 2) =0 a= 1 2 F(x)单调递增,无极值点,即 a= 1 2时 F(x)无极值点 (ii)当 0a 1 2时,即 021 时,且 G(2)0 G(1)0,G(x)在(2,+)上有唯一的零点 x1 下面先证:lnx 1 +1 设 h(x)lnx+ 1 1h(x)= 1 1 2 = 1 2 x1 时,函数 h(x)取得极小值,h(1)0, h(x)h(1)0 lnx 1 +1 成立 G( 1;)ln 1; a+ ( 1) 2 1 +1a+ (1)2 =0 又 1; 1= 21 1 0, 1; 1 由零点存在定理
31、可知:G(x)F(x)在 1,2)上存在唯一零点,不妨设 xx1 x (0,x1) x1 (x1,1) 1 (1,+) F(x) + 0 0 + F(x) 单增 极大值 单减 极小值 单增 F(x)有两个极值点 (iii)当 a 1 2时,即21 时,且 G(2)0G(1)0,e a1 21 又 G(ea)= 2 0由函数零点存在定理可得:G(x)F(x)在上存在唯一零点, 在(0,2) , (2,ea)上各有一个唯一零点 同上(ii)可知:F(x)有两个极值点 综上可得:当 a0 时,函数 F(x)有唯一极值点 第 17 页(共 19 页) 当 a0 时,且 a 1 2函数 F(x)有两个极
32、值点 当 a= 1 2时,函数 F(x)无极值点 21 (12 分)如图,定义:以椭圆中心为圆心,长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆” 过椭 圆第一象限内一点 P 作 x 轴的垂线交其“辅圆”于点 Q,当点 Q 在点 P 的上方时,称点 Q 为点 P 的“上辅点” 已知椭圆 E: 2 2 + 2 2 = 1(ab0)上的点(1, 3 2 )的上辅 点为(1,3) (1)求椭圆 E 的方程; (2)若OPQ 的面积等于1 2,求上辅点 Q 的坐标; (3)过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T,判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系,并 证明你的结论 【解答】解: (1)椭圆 E: 2 2
33、+ 2 2 = 1(ab0)上的点(1, 3 2 )的上辅点为(1, 3) , 辅圆的半径为 = 1 + 3 = 2,椭圆长半轴为 aR2, 将点(1, 3 2 )代入椭圆方程 2 4 + 2 2 = 1中,解得 b1, 椭圆 E 的方程为 2 4 + 2= 1; (2) 设点 Q(x0,y0) ,则点 P (x0, y1) , 将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得, 02+ 02= 4,0 2 4 + 12= 1, 故02= 412,即 y02y1, 又= 1 2 0(0 1) = 1 2,则 x0y11, 第 18 页(共 19 页) 将 x0y11 与0 2 4 + 12= 1联立可
34、解得0= 2,则0= 2, 点 Q 的坐标为(2,2); (3)直线 PT 与椭圆 E 相切,证明如下: 设点 Q(x0,y0) ,由(2)可知,(0, 1 2 0), 与辅圆相切于点 Q 的直线方程为 0= 0 0 ( 0),则点( 4 0 ,0), 直线 PT 的方程为: 0 = 1 20 0 4 0 ( 4 0),整理得 = 0 20 + 2 0, 将 = 0 20 + 2 0与椭圆 2 4 + 2= 1联立并整理可得, 1 02 2 20 02 + 02 02 = 0, 由一元二次方程的判别式= 402 04 402 04 = 0,可知,上述方程只有一个解,故直线 PT 与椭圆 E 相
35、切 四解答题(共四解答题(共 1 小题,满分小题,满分 10 分,每小题分,每小题 10 分)分) 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 = 1 + = ( 为参数) 以坐 标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 1,直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) (1)求:曲线 C1的普通方程; 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标; (2)设点 M 的极坐标为(6, 3),点 N 是曲线 C1 上的点,求MON 面积的最大值 【解答】解: (1)因为 = 1 + = ,又 sin2+cos21,所以(x1)2+y21, 即曲线
36、C1的的普通方程为(x1)2+y21; 由 2x2+y2得曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y21,又直线 l 的直角坐标方程为 xy 0, 所以 2 + 2= 1 = 0 1= 2 2 1= 2 2 或 2= 2 2 2= 2 2 , 所以曲线 C2与直线 l 的交点的直角坐标为( 2 2 , 2 2 )和( 2 2 , 2 2 ) (2) 设 N (, ) , 又由曲线 C1的普通方程为 (x1) 2+y21 得其极坐标方程 2cos MON的 面 积 = 1 2| | = 1 2 |6( 3 )| = |6( 3 第 19 页(共 19 页) )| = |3( 3 2) + 33 2 |
37、 = |3(2 + 6) + 33 2 | 所以当 = 23 12 或 = 11 12 时,()= 3 + 33 2 五解答题(共五解答题(共 1 小题)小题) 23已知函数 f(x)2|x|+|x3| ()解关于 x 的不等式 f(x)4; ()若对于任意的 xR,不等式 f(x)t22t 恒成立,求实数 t 的取值范围 【解答】 解: () 当 x0 时, 不等式可化为2x (x3) 4, 即3x1, 解得 x 1 3,故 1 3 x0; 当 0x3 时,不等式可化为 2x(x3)4,解得 x1,故 0x1; 当 x3 时,不等式可化为 2x+(x3)4,解得 x 7 3显然与 x3 矛盾, 故此时不等式无解综上,不等式 f(x)4 的解集为( 1 3,1) ()由(1)知,f(x)= 3 + 3, 0 + 3,03 3 3, 3 作出函数 f(x)的图象,如图, 显然 f(x)f(0)3 故由不等式 f(x)t22t 恒成立可得 3t22t, 即 t22t30 解得1t3 所以 t 的取值范围为1,3