1、高三数学参考答案 第1页（共7页）海淀区20222023学年第二学期期中练习 高三数学参考答案 一、选择题 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D C D B A B B 二、填空题（11）(,2)(1,)+（12）2（13）2（答案不唯一，,6 2）（14）1；(,02,)+（15）三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）解：（）由直三棱柱111ABCA BC可知1BCCC，又因为ACBC，且1ACCCC=,所以BC 平面11CC A A.由1C D 平面11CC A A，所以1BCC D.在矩形11
2、CC A A中，111,2ADDACC=，所以12,2DCDC=.可得22211CCC DCD=+，所以1C DCD.又因为BCCDC=，所以1C D 平面BCD.（）由题意可知，1,CA CB CC两两垂直，如图建立空间直角坐标系Cxyz，高三数学参考答案 第2页（共7页）则(0,0,0)C，(1,0,1)D，(0,1,0)B，1(0,0,2)C，(1,1,1)BD=，1(0,1,2)BC=,(1,0,1)CD=.设平面1BC D的一个法向量为(,)x y z=n，则 10,0,BDBC=nn 即0,20.xyzyz+=+=令1z=，则2y=，1x=，得(1,2,1)=n.设直线 CD 与平
3、面1BC D所成角为，则3sin|cos,|3=CDCDCDnnn，所以直线 CD 与平面1BC D所成角的正弦值为33.（17）（本小题 14 分）解：（）由sin23 sinbAaB及正弦定理，得sinsin23sinsinBAAB.由倍角公式得2sinsincos3sinsinBAAAB.在ABC中，sin0,sin0AB，得3cos2A.因为(0,)2A，所以6A.（）记ABC的面积为ABCS.选条件：由（）知6A，又由题知3 3ABCS，可得1sin2ABCSbcA 得12 3bc.又由条件，即3 34bc，解得3 3,4bc.由余弦定理，得 xyzDBB1C1A1CA高三数学参考答
4、案 第3页（共7页）2222cos3271623 3427abcbcA，所以7.a 选条件：又由条件，即21cos7C=以及(0,)C，可得2 7sin7C=.所以sinsin()sincoscossinBACACAC=+=+12132 73 21272714=+=由（）知6A，又由题知3 3ABCS，可得1sin2ABCSbcA.得12 3bc.由正弦定理得:sin:sin:sin7:3 21:4 7a b cABC=.可设7,3 21,4 7ak bk ck=.由12 3bc=，得17k=.得7.a=（18）（本小题 14 分）解：（）设该户网购生鲜蔬菜次数超过 20 次为事件 C，在 A
5、 组 10 户中超过 20 次的有 3 户，由 样本频率估计总体概率，则3()10P C=.（）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取 1 户的网购生鲜蔬菜次数超过 20 次概率为310，二单元参与网购家庭随机抽取 1 户的网购生鲜蔬菜次数超过 20 次概率为710.X的取值范围为0,1,2.3721(0)(1)(1)1010100P X=，373729(1)(1)(1)1010101050P X=+=，3721(2)1010100P X=.212921()012110050100E X=+=.高三数学参考答案 第4页（共7页）（）12()()DD=.19.（本小题 14 分）解：
6、（）依题意可得：2222,44 6.bab=+=解得5,1.ab=椭圆 E 的方程为2215xy+=.（）依题意,可设直线l方程为(0)ykxm km=+，1122(,),(,)M x yN xy.联立方程221,5.xyykxm+=+得222(51)10550kxkmxm+=.22222(10)4(51)(55)10020200kmkmkm=+=+，即2251km.1221051kmxxk+=+，21225551mx xk=+.在直线l方程ykxm=+中，令0y=，得mxk=，得(,0)mPk.依题意得11(,)Mx y，得直线M N方程为211121()yyyxxyxx=+.令0 x=，得
7、122112Qx yx yyxx+=+.所以OPQ的面积为1221121122OPQPQx yx ymSxykxx+=+.122112211212()()2()x yx yx kxmx kxmkx xm xx+=+=+222225510102515151mkmkkkkk=+.即1102210OPQmkSkkm=，解得14k=，经检验符合题意.所以k的值为14.高三数学参考答案 第5页（共7页）（20）（本小题 15 分）解：（）当1a=时，()exf xx=.则(0)1f=.求导得()e1xfx=，得(0)0f=.所以曲线()yf x=在(0,(0)f处的切线方程为1y=.（）求导得()e1a
8、xfxa=.当0a 时，()0fx 恒成立，此时()f x在R上单调递减.当0a 时，令()0fx=，解得ln=axa.()f x与()fx的变化情况如下：x ln(,)aa lnaa ln(,)aa+()fx 0+()f x 极小值 由上表可知，()f x的减区间为ln(,)aa，增区间为ln(,)aa+.综上，当0a 时，()f x的减区间为(,)+，无增区间；当0a 时，()f x的减区间为ln(,)aa，增区间为ln(,)aa+.（）将()f x在区间 1,1上的最大值记为max()f x，最小值记为min()f x.由题意，若 1,1x ，使得|()|3f x 成立，即max()3f
9、 x或min()3f x.当 1,1x 时，()e1axf xxx=.所以若 1,1x ，使得|()|3f x 成立，只需max()3f x.由（）可知()f x在区间 1,1上单调或先减后增，故max()f x为(1)f 与(1)f中的较大者，所以只需当(1)3f 或(1)3f即可满足题意.即(1)e13af=+或(1)e13af=.解得ln2a或ln4a.综上所述，a的取值范围是(,ln2ln4,)+.高三数学参考答案 第6页（共7页）（21）（本小题 15 分）解：解：（）（）不满足.令3ij=，16ija a=不是数列na中的项.（）满足.对于任意()ijb b ij,，(21)(21
10、)2(21)1ijbbijijij=+.由于21 1ijij+，故令21kijij=+即可.（）（1）对于有穷数列na记其非零项中，绝对值最大的一项为pa，绝对值最小的一项为qa.故令ijp=时，存在一项2|kijpaaaa=.又pa是数列na非零项中绝对值最大的，所以2|ppaa，即0|1pa.再令ijq=时，存在一项2|kijqaaaa=.又qa是数列na非零项中绝对值最小的，所以2|qqaa，即|1qa.又1|1qpaa,所以数列所有非零项的绝对值均为 1.又数列na的各项均不相等，所以其至多有0,1,1共 3 项.所以3m.（2）构造数列:0,1,1na.其任意两项乘积均为0,1,1之
11、一，满足性质.其连续三项满足0(1)10 =，满足性质.又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时3m=.（3）由（1）（2），m的最大值为 3.（）（1）首先证明：当120,1aa 时，数列满足2120,0,ttaa且2|,1,2,3,ttaat+=.（*）因为对于任意数列的连续三项12,nnna aa+，总有12121()()02nnnnnnaaaaaa+=.即21nnnaaa+=或2112nnnaaa+=.不论是哪种情形，均有 当10nnaa+时，21102nnnnaaaa+，即2|nnaa+.当10nnaa+时，21102nnnnaaaa+，亦有2|nnaa+.又1201aa ，故性质
12、（*）得证.（2）考虑123,a a a三项，有312aaa=或31212aaa=.若312aaa=,则1321aaa=+，此时令1ij=，有211aa，由性质（*）知不存在k使得0ka，且211kaaa=.高三数学参考答案 第7页（共7页）故只有31212aaa=，此时1321322aaa=+.因为534323311155()22242aaaaaaa=,所以令1ij=时，21594aa.由性质（*）知，只有211aa=或213aa=.当213aa=时，12132,2()2 24aaaa=，此时令2,1ij=，2144 2a a=，但42312 252aaa=，即421|aa a，由性质（*）
13、知不存在k使得21kaa a=.所以211aa=，即11a=，从而22a=.（3）经验证，数列na：1222,2,nnnnan=是奇数，是偶数满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列.假设sa是第一个不满足上述通项公式的项，4s.当21,2stt=+时，只能为11212122(2)3 2ttttttaaa+=.令21,3itj=，则2tijaa=.但21212tttaa+，由性质（*），不存在k使得ijka aa=.当2,2st t=时，只能为1122222111223 2222tttttttaaa=.则2222122122211115119()222224216ttttttttttaaaaaaaa+=.令22,3itj=，则2tijaa=，但2222tttaa+，由性质（*），不存在k使得ijka aa=.故不存在不满足上述通项公式的项.综上，数列na的通项公式为1222,2,nnnnan=是奇数,是偶数.
