1、2023年中考数学高频考点突破-动点问题（圆与三角形）一、综合题1如图，在ABC中，ACB=90，AB=10，AC=8，CD是边AB的中线动点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B运动过点P作PQAC于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使点C、N始终在PQ的异侧，且PN= 23 PQ，设矩形PQMN与ACD重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间为t（s）(t0)。 （1）当点P在边CD上时，用含t的代数式表示PQ的长。（2）当点N落在边AD上时，求t的值。（3）求S与t之间的函数关系式（4）连结DQ，当直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分时、直接写出t的值。2
2、在 ABC 中， AB=AC ，点D是射线 AC 上的动点，连接 BD ，以 BD 为腰作等腰 DBE ，使 DB=DE ，且 DE 在 DB 上方， CAB=EDB ，连接 CE ： （1）如图1，若 CAB=EDB=90 ，过点D作 DF/AB 交 BC 于点F，则 BCE= 度； （2）如图2，若 CAB=EDB90 ，判断 BCE 与 CAB 的大小关系？并说明理由！ （3）如图3，若 ABC 为等边三角形， AB=4cm ，当 BCE 是直角三角形时，直接写出 CE 的长度 3如图1，ABC中，CDAB于D，且BD：AD：CD2：3：4，（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）已知SA
3、BC40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止设点M运动的时间为t（秒），若DMN的边与BC平行，求t的值；若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由4如图，在Rt ABC中，B90，AC60cm，A60，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动.同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是ts（0t15）.过
4、点D作DFBC于点F，连接DE，EF. （1）求证：AEDF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； （3）当t为何值时， DEF为直角三角形？请说明理由. 5如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，BC=6cm，过点C作直线MNBC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线MN上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，分别连接AD，AE，设运动时间为t(t0)秒（1）CE= ；CD= ，BD= (用含有t的式子表示)（2）当点D在线段BC上，且ADAE时，ABD是否与ACE全等？说明理由；此时CE+CD
5、= （3）当点D在线段CB的延长线上，且ADAE时，CE与CD有何数量关系？说明理由6如图，在ABC中，ACB90，AC4，BC3，点D为边AB的中点点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度先沿CB方向运动到点B，再沿BA方向向终点A运动，以DP、DQ为邻边构造PEQD，设点P运动的时间为t秒（1）设点Q到边AC的距离为h，直接用含t的代数式表示h； （2）当点E落在AC边上时，求t的值； （3）当点Q在边AB上时，设PEQD的面积为S（S0），求S与t之间的函数关系式； （4）连接CD，直接写出CD将PEQD分成的两部分图形
6、面积相等时t的值 7如图，在四边形ABCD中，ADBC4，ABCD，BD6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿CBC作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动（1）试证明：ADBC （2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有DEG与BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，DEG与BFG全等 8如图，已知 ABC 和 ADE 均为等腰三角形，ACBC，DEAE，将这两个三角形放置在一起 （1）问题发现：如图，当 ACBAED60 时，点
7、B、D、E在同一直线上，连接CE，则 CEB ，线段BD、CE之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图，当 ACBAED90 时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断 CEB 的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图， ACBAED90 ， AC25 ，AE2，连接CE、BD，在 AED 绕点A旋转的过程中，当 DEBD 时，请直接写出EC的长9如图所示，已知ABC中，B=C，AB=4厘米，BC=3厘米，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以每秒1厘米的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0
8、t3）.（1）用含t的式子表示PC的长度是 ； （2）若点P，Q的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由； （3）若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使BPD与CQP全等？ 10在平面直角坐标系中， A(a,0) ， B(0,b) ，且a，b满足 a+2+|b-6|=0 （1）求A、B两点的坐标； （2）若P从点B出发沿着射线BO方向运动（点P不与原点重合），速度为每秒2个单位长度，连接AP，设点P的运动时间为t， AOP 的面积为S请你用含t的式子表示S （3）在（2）的条件下，点Q与点P同时运动，点Q从A点沿x轴正方向运动，Q点速度为每秒1个单
9、位长度A、B、P、Q四个点围成四边形的面积为 S 当 S=4 时，求 S:S 的值 11在ABC中，A=50，点D，E分别是边AC，AB上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设PDC=1，PEB=2，DPE=.（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则1+2= （用的代数式表示）.（2）若点P在ABC的外部，如图（2）所示，则，1，2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由. （3）当点P在边CB的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的，1，2之间的关系式.（不需要证明） 12如图，在ABC中，ABC=9
10、0，AB=4，BC=3点P从点A出发，沿折线AB-BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动当点P不与点A，C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连接PQ交AC于点E，连接DP、DQ设点P的运动时间为t秒（1）当点P与点B重合时，求t的值；（2）用含t的代数式表示线段CE的长；（3）当PDQ为等腰直角三角形时，求t的值13在ABC中，CDAB于点D，DA=DC=4，DB=2，AFBC于点F，交DC于点E（1）求线段AE的长； （2）若点G是AC的中点，点M是线段CD上一动点，连结GM，过点G作GN
11、GM交直线AB于点N，记CGM的面积为S1，AGN的面积为S2在点M的运动过程中，试探究：S1与S2的数量关系 14如图（1）如图1，AB是的弦，点 P 在上，当PAB是直角三角形时，请在图1中画出点 P 的位置； （2）如图2，的半径为4， A 、 B 为外固定两点（ O 、 A 、 B 三点不在同一直线上），且 OA=8 ， P 为上的一个动点（点 P 不在直线 AB 上），以 PA 和 AB 为邻边作平行四边形PABC，求 BC 最小值； （3）如图3， A 、 B 是上的两个点，过 A 点作射线 AMAB ， AM 交于点 C ，若 AB=3 ， AC=4 ，点 D 是平面内的一个动点
12、，且 CD=2 ， E 为 BD 的中点，在点 D 的运动过程中，求线段 AE 长度的最大值与最小值. 15在等腰RtABC中，BAC=90，AB=AC=6 2 ，D是射线CB上的动点，过点A作AFAD（AF始终在AD上方），且AF=AD，连接BF （1）如图1，当点D在线段BC上时，BF与DC的关系是 .（2）如图2，若D、E为线段BC上的两个动点，且DAE=45，连接EF，DC=3，求ED的长. （3）若在点D的运动过程中，BD=3，则AF= .（4）如图3，若M为AB中点，连接MF，在点D的运动过程中，当BD= 时，MF的长最小？最小值是 .16如图，在 O 中， OA=2，AB=23
13、，将弦AB与 AB 所围成的弓形（包括边界的阴影部分）绕点B顺时针旋转 (0360) ，点A的对应点为 A （1）点O到线段AB的距离是 ； AOB= ；当点O落在阴影部分（包括边界）时， 的取值范围是 ； （2）若线段 AB 与优弧ACB的交点为D，当 ABA=90 时，点D AO的延长线上（填“在”或“不在”）； （3）当直线AB 与 O 相切时，求 的值并求此时点 A 运动路径的长度答案1（1）解：在ABC中，ACB=90 由勾股定理，得AB2=AC2+BC2BC=6CD是边AB的中线CD=AD=5ACD=CADCQP=ACBABCCPQPQBC=CPABPQ=3t（2）解：如图，当点N
14、落在边AD上时，4t+2t4t=8 解得t= 45（3）解：如图，当0t 45 时，S=6t2如图，当 45t1时，S= 632t2+60t-24如图，当1t2时，S= -152t2+24t-12（4）解：t= 14 ，t= 23 ，t= 43 ，t= 74【提示】如图、图、图、图2（1）90（2）解： BCE=CAB理由是：过点D作 DF/AB 交 BC 于点F，如图1，CDF=CABDFC=ABCCAB=EDBCDF=EDBAB=ACACB=ABCDFC=ACBDF=DCDB=DEDBFDECDFB=DCEDFB=CDF+ACBCDF=BCEBCE=CAB（3）解：由（2）得，BCE=CA
15、B=60， 根据题意知，BC=AB=4cm，如图2，若CBE=90时，则BEC=30，CE=BC=8cm ；如图3，若BEC=90时，CBE=30，CE=12BC=124=2cm3（1）解：设BD2x，AD3x，CD4x，则AB5x，在RtACD中，ACAD2+CD25x，ABAC，ABC是等腰三角形；（2）解：SABC125x4x40cm2，而x0，x2cm，则BD4cm，AD6cm，CD8cm，AC10cm当MNBC时，AMAN，即10tt，t5；当DNBC时，ADAN，得：t6；若DMN的边与BC平行时，t值为5或6点E是边AC的中点，CDAB，DE12AC5，当点M在BD上，即0t4时
16、，MDE为钝角三角形，但DMDE；当t4时，点M运动到点D，不构成三角形当点M在DA上，即4t10时，MDE为等腰三角形，有3种可能如果DEDM，则t45，t9；如果EDEM，则点M运动到点A，t10；如果MDMEt4，过点E作EFAB于F，如图3所示：EDEA，DFAF12AD3，在RtAEF中，EF4；BMt，BF7，FMt7则在RtEFM中，（t4）2（t7）242，t496综上所述，符合要求的t值为9或10或4964（1）证明：由题意知：三角形CFD是直角三角形 B90，A60C=30，CD=2DF，又由题意知CD=4t，AE=2t，CD=2AEAE=DF.（2）解：能，理由如下； 由
17、（1）知AE=DF又DFBC，B90AEDF四边形AEFD是平行四边形.当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形AC60cm，DF= 12 CD，CD=4t，AD=60-4t，DF=2t，60-4t=2tt=10.（3）解：当t为 152 时，DEF为直角三角形，理由如下； 由题意知：四边形AEFD是平行四边形，DFBC，AEDF，当DEBC时，DFDEFDE=DEA=90在AED中，DEA=90，A60，AE=2tAD=4t，又AC60cm，CD=4t，AD+CD=AC，8t=60，t= 152 .即t= 152 时，FDE=DEA=90，DEF为直角三角形.5（1）t cm；t cm；(6
18、-2t)cm（2）解：ABDACE；理由如下：AB=AC，BAC=90，ABC=ACB=45，ACE=45=ABC，ADAE，DAE=90=BAC，BAD=CAE，ABDACE（ASA），BD=CE，CE+CD=BD+CD=BC=6cm，故答案为：6cm；（3）解：CD-CE=6cm，理由如下：如图，AB=AC，BAC=90，ABC=ACB=45，ABD=135=ACE，ADAE，DAE=90=BAC，BAD=CAE，ABDACE（ASA），BD=CE，CD-CE=CD-BD=BC=6cm，6（1）解：当0t 32 时，h2t 当 32 t4时，h3 35 （2t3） -65t+165（2）解
19、：当点E落在AC边上时，DQAC， ADDB，CQQB，2t 34 ，t 34 （3）解：如图1中，当0t 114 时，作PHAB于H，则PHPAsinA 35t,DQ=112 2t， S 35t(112-2t)=-65t2+3310t 如图2中，当 114 t4时，同法可得 S=35t(2t-112)=65t2-3310t （4）解：当点E落在直线CD上时，CD将PEQD分成的两部分图形面积相等有两种情形： 当点E在CD上，且点Q在CB上时（如图3所示），过点E作EGCA于点G，过点D作DHCB于点H，易证RtPGERtDHQ，PGDH2，CG2t，GEHQCQCH2t 32 ，CDAD，D
20、CADAC在RtCEG中，tanECG GECG=2t-322-t=34 ，t 1211 当点E在CD上，且点Q在AB上时（如图4所示），过点E作EFCA于点F，CDAD，CADACDPEAD，CPECADACD，PECE，PF 12 PC 4-t2 ，PEDQ 112 2t，在RtPEF中，cosEPF PFPE=4-t2112-2t=45 ，t 2411 综上所述，满足要求的t的值为 1211 或 2411 7（1）证明：在ABD和CDB中 ， AD=BCAB=CDBD=DBABDCDB，ADBCBD，ADBC；（2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v， 当0t 43 时，若DEGBF
21、G，则 DE=BFDG=BG ，t=4-3t6-BG=BG ，t=1BG=3 ，v3；若DEGBGF，则 DE=BGDG=BF ，t=BG6-BG=4-3t ，t=-1BG=-1 （舍去）；当 43 t 83 时，若DEGBFG，则 DE=BFDG=BG ，t=3t-46-BG=BG ，t=2BG=3 ，v1.5；若DEGBGF，则 DE=BGDG=BF ，t=BG6-BG=3t-4 ，t=52BG=52 ，v1综上，点G的速度为1.5或3或18（1）CEB=60；BD=CE（2）解： CEB45，BD2CE ，理由如下： 在等腰三角形ABC中，ACBC， ACB90 ，AB2AC，CAB45
22、 ，同理， AD2AE，ADEDAE45 ，AEAD=ACAB ， DAECAB ，EACDAB ，ACEABD ，BDCE=ADAE=2 ，AECADB，BD2CE ， 点B、D、E在同一条直线上：ADB180-ADE135AEC135CEBAEC-AED45 ；（3）解：由（2）知， ACEABD ， BD2CE ，在 RtABC 中， AC25 ，AB2AC210 ，当点E在点D上方时，如图，过点A作 APBD 交BD的延长线于P，DEBD ，PDEAEDAPD ， 四边形APDE是矩形，AEDE ， 矩形APDE是正方形，APDPAE2 ，在 RtAPB 中，根据勾股定理得， BPAB
23、2-AP26 ，BDBP-AP4 ，CE12BD22 ；当点E在点D下方时，如图同的方法得，APDPAE2，BP6， BDBP+DP8，CE12BD42 ，综上CE的长为2 2 或4 2 9（1）3-t（2）解：CPQBDP，理由如下 证明：P、Q的运动速度相等，1秒后，CQ=BP=1，CP=BC-BP=3-1=2， D为AB的中点，BD= 12AB=124=2CP=BD， 在CPQ和BDP中CP=BDC=BCQ=BPCPQBDP（SAS）（3）解：由(1)知，PC=3-t，BP=t，CQ=at，BD=2 C=BBPD与CQP全等当CPQBDP时，BP=CQ，t=at，t 0a=1与P、Q的运
24、动速度不相等矛盾，故舍去.当CPQBPD时，BP=CP，CQ=BD，t=3-t，at=2，t= 32 a= 43即点P、Q的运动速度不相等时，点Q的运动速度a为 43cm/s 时，能够使BPD与CQP全等10（1）解：a+2+|b-6|=0 ， a+2=0,b-6=0 ，解得： a=-2,b=6 ，A(-2,0) ， B(0,6) ；（2）解：由（1）及题意可得：OB=6，OA=2， BP=2t ， 当点P在OB上，即 t3 ，则有 OP=2t-6 ，AOP 的面积为： S=12OAOP=122(2t-6)=2t-6 ，综上所述：S关于t的函数关系式为： S=6-2t(t3) ；（3）解：由（
25、2）及题意可得： S=6-2t(t3) ，AQ=t，则有： 当 S=6-2t(t3) 时，如图所示：S=4 ，4=2t-6 ，解得：t=5，AQ=5，OP=4，S=SAQB-SAPQ=12AQOB+12AQOP=1256+1254=25 ，S:S=4:25=425 ，综上所述： S:S 的值为1或 425 11（1）50+（2）解：根据三角形外角的性质可知， 2=150，则21=50；（3）解：如图， 2=150，则21=50； 如图，1=50+2，12=50+.12（1）解：当点P与B重合时，5t=4，解得t=45（2）解：在RtABC中，B=90，AB=4，BC=3，AC=AB2+BC2=
26、16+9=5，sinA=35，cosA=45，如图中，当点P在线段AB上时，在RtAPE中，AE=APcosA=4t，EC=5-4t如图中，当点P在线段BC上时，在RtPEC中，PC=7-5t，cosC=35，EC=PCcosC=35（7-5t）=215-3t（3）解：当PDQ是等腰直角三角形时，则PE=DE，如图中，当点P在线段AB上时，在RtAPE中，PE=PAsinA=3t，DE=AC-AE-CD=5-4t-2t=5-6t，PE=DE，3t=5-6t，t=59如图中，当点P在线段BC上时，在RtPCE中，PE=PCsinC=45（7-5t）=285-4t，DE=CD-CE=2t-35（7
27、-5t）=5t-215，285-4t=5t-215，解得t=4925综上所述：t=59或494513（1）在ABC中，CDAB，AFBC ADC=AFB=90AED=CEFEAD=BCD在ADE和CDB中ADE=CDBEAD=BCDDA=DCADECDBDE=DB=2AE= ED2+AD2=22+42=25（2）在ABC中，CDAB，DA=DC=4， 点G是AC的中点过点G作CD，DA的垂直线，垂足分别为P，Q则，GP=GQ= 12 DA=2PGQ=90=GQN=GPMGNGMMGN=90MGP=NGQMGPNGQS1+S2=SAGQ+SCGP= SACD-S四边形GQDP= 12ADCD-Q
28、NPD=1244-22=4故答案为：414（1）解：如图1， APB 、 APB 是直角三角形； （2）解：四边形 PABC 是平行四边形， BC=AP ，BC 的最小值即 AP 的最小值， 当 P 为 OA 与 O 的交点时， AP 最小，AP 的最小值为844，即 BC 的最小值为4；（3）解：连接 BC ， AMAB ，CAB=90 ，BC 是的直径.点 D 是平面内的一个动点，且 CD=2 ，点 D 的运动路径为以 C 为圆心，以2为半径的圆，BC 是的直径，O 是 BC 的中点.在Rt ABC 中， BC=AC2+AB2=42+32=5 . O 是Rt ABC 斜边 BC 上的中点，
29、AO=12BC=52 .E 是 BD 的中点， O 是 BC 的中点，OE=12CD=1 . AE 的最小值是 AO-OE=32 ，最大值是 AO+OE=72 .15（1）BF=DC（2）解：AE=AE，EAF=90-DAE=45=EAD ，AF=AD，FAEDAE(SAS)ED=EF=3（3）35（4）9；316（1）1；120；3060（2）在（3）解：当AB与O相切， OBA=90，此时=ABA=90+30=120，或=120+180=300；当=120时，A运动路径的长度= 12023180=433 当=300时，A运动路径的长度= 30023180=1033 综上可知，=120或=300；A运动路径的长度为 433 或 1033 25
