1、上海市2023届高三下学期3月联考2数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、填空题1己知集合，则_2不等式的解集为_3已知复数，则_4函数的最小正周期为_5平行直线与之间的距离为_6若，且，则_7向量为直线中的法向量，则向量在方向上的投影为_8长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为V的水，已知，如果将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则V的取值范围为_9在中，依次为边BC上的点，且，设、，则的值为_10上海电视台五星体育频道有一档四人扑克牌竞技节目“上海三打一”，在打法中有种“三带二”的牌型，即点数相同的三张牌外加一对牌，（三张牌的点数必须和对牌的点数不同）在一副不含大小王
2、的张扑克牌中不放回的抽取五次，已知前三次抽到两张，一张，则接下来两次抽取能抽到“三带二”的牌型（AAAKK或KKKAA）的概率为_11函数的表达式为，如果且，则abc的取值范围为_12已知抛物线，为抛物线内一点，不经过P点的直线与抛物线相交于A、B两点，直线AP、BP分别交抛物线于C、D两点，若对任意直线l，总存在，使得，成立，则_二、单选题13已知直线，则是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件14已知函数，则其图象大致是（）ABCD15如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点当点Q由点N出发向点M运动的过
3、程中，以下结论中正确的是（）A直线与直线CP可能相交B直线与直线CP始终异面C直线与直线CP可能垂直D直线与直线BP不可能垂直16下列用递推公式表示的数列中，使得成立的是（）ABCD三、解答题17如图，四棱锥中，等腰的边长分别为，矩形ABCD所在的平面与平面PAB垂直(1)如果，求直线PC与平面PAB所成的角的大小：(2)如果，求BC的长18自2015年上海启动上海绿道专项规划（2035）至今上海已建成绿道总长度近1600公里根据上海市气态空间专项规划（20212035），到2035年，上海绿道总长度将超过2000公里届时，绿道会像城市的毛细血管一样，延伸到市民生活的各个角落，绿荫卜的绿道（步
4、道、骑行道）给市民提供了散步休憩、跑步骑行运动的生态空间某一线品牌自行车制造商在布局线下自行车体验与销售店时随机调研了1000位市民，调研数据如表1所示166位有意愿购买万元级运动自行车的受访者的年龄（单位：岁），在各区间内的频数记录如表2所示表1有意愿购买万元级运动自行车没有意愿购买万元级运动自行车总计距家2千米内有骑行绿道118270距家2千米内无骑行绿道总计1661000表2年龄分组区间频数16243530211511653(1)试估计有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄（结果精确到0.1岁）(2)将表1的22列联表中的数据补充完整，并判断是否有95%的把握认为“离家附近（2千米内）
5、有骑行绿道与万元级运动自行车消费有关”？附：，其中0.100.050.010.005k2.7063.8416.6357.87919雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小为了简化问题小明做出下列假设：假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”：假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转；假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2
6、方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”(1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）；(2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分）20已知椭圆经过点，为椭圆的左右焦点，为平面内一个动点，其中，记直线与椭圆在x轴上方的交点为，直线与椭圆在x轴上方的交点为(1)求椭圆的离心率；(2)若，证明：；(3)若，求点Q的轨迹方程21已知函数(1)若1是的极值点，求a的值；(2)求的单调区间：(3) 已知有两个解，（i）直接写出a的取值范围；（无需过程）（ii）为正实数，若对于符合题意
7、的任意，当时都有，求的取值范围. 试卷第5页，共6页参考答案：1【分析】求出集合中元素，再求即可.【详解】，或则.故答案为：.2【分析】由原式可得，再结合对数函数的性质求解即可.【详解】解：,所以原不等式的解集为故答案为：3【分析】利用复数的除法计算可得答案.【详解】复数，则.故答案为：4【分析】先将函数化简降次，然后再利用公式求周期.【详解】，所以最小正周期为.故答案为：.5【分析】直接由平行线的距离公式求解即可.【详解】直线即为，则平行直线与之间的距离为.故答案为：6【分析】将条件中的指数式转化为对数式，求出，代入，利用对数的运算性质可得.【详解】，且，且，.故答案为：.7#【分析】先通过
8、向量垂直求出参数a，然后通过向量投影公式求解即可.【详解】因为向量为直线的法向量，所以向量与直线的方向向量垂直，所以，解得，即，记，则向量在方向上的投影为.故答案为：.8【分析】分别计算水量较少和水量较多时，水面呈三角形时的水的体积，然后可得答案.【详解】水量较少，水面恰好为长方体的截面时，;水量较多，水面恰好为长方体的截面时，;因为该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，所以V的取值范围为.故答案为：.9【分析】在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得；进而求得，然后依次求出，相乘即可得到结果.【详解】由题意知，在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得；所以；同理：；又，所以，所以=，在中，由正
9、弦定理得，则；所以原式.故答案为：.10【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足条件的事件数，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意在一副不含大小王的张扑克牌中不放回的抽取三次，抽到两张，一张，再不放回的抽取两次，共有种抽法，抽到一张、一张的方法有种抽法，抽到两张的方法有种抽法，故接下来两次抽取能抽到“三带二”的牌型的方法有种，故接下来两次抽取能抽到“三带二”的牌型的概率.故答案为：11【分析】利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，令，可得的范围，则的三个根为，从而可得，右边去括号即可得解.【详解】，当或时，当时，所以函数的增区间为，减区间为，则函数的极大值为，极小
10、值为，作出函数的大致图象，若且，令，则，即的三个根为，即，又，所以.故答案为：.122【分析】设，根据推出，结合点在抛物线上可得，即可求得p，即得答案.【详解】由题意设，由可得：，可得：，同理可得：，则：（*）且.则.将两点代入抛物线方程得，作差可得：，而直线与抛物线相交于A、B两点，即，同理可得，代入（*），可得，故答案为：213A【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可.【详解】当时，解得或，当时，直线，此时两直线不重合，当时，直线，此时两直线不重合，即或时，故是的充分不必要条件.故选：A.14B【分析】通过求函数的定义域及函数值的范围，利用排除法可求解.【详解】因为，
11、所以，所以函数的定义域为，所以选项A和D不符合题意，当时，所以，即，所以C不符合题意，利用排除法，选项B符合题意.故选：B15B【分析】证明平面，从而可证四点不共面，即可判断AB；设，将分别用表示，假设直线与直线CP垂直，则，求出即可判断C；证明平面，即可判断D.【详解】在正三棱柱中，因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以，又平面，平面，所以平面，因为平面，所以四点不共面，所以直线与直线CP始终异面，故A错误，B正确；对于C，设，则，若直线与直线CP垂直，则，即，所以，即，解得，因为，所以不存在点使得直线与直线CP垂直，故C错误；对于D，连接，因为为的中点，所以，又因平面，平面，所以，因为平面
12、，所以平面，又平面，所以，所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D错误.故选：B.16D【分析】判断各选项的符号，结合不动点列出等式，即可求解.【详解】A选项：，则与同号，又，所以，所以 不成立，故A错误；B选项：，所以与同号，令，解得：，则，故B错误；C选项：，且令，解得：，所以不成立，故C错误；D选项：，所以，解得：，即成立，故D正确.故选：D17(1)(2)【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得平面，即可得为直线PC与平面PAB所成的角，从而得到结果；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，由可得，从而求得结果.【详解】（1）因为矩形ABCD所在的平面与平面PAB垂直，且平面平
13、面，为矩形，即，平面，所以平面，所以为直线PC与平面PAB所成的角，且，故.（2）根据题意，以为坐标原点，垂直做出轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，则，且，则，即，所以，即.18(1)(2)列联表见解析，有95%的把握【分析】（1）将年龄分组区间取中间值乘以频数，全部相加后除以总人数可得平均值；（2）利用公式求出，然后里利用表中数据比较大小后得出结论.【详解】（1）有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄，即有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄约岁；（2）列联表如下表：有意愿购买万元级运动自行车没有意愿购买万元级运动自行车总计距家2千米内有骑行绿道118270388距家
14、2千米内无骑行绿道48564612总计1668341000由表得，所以有95%的把握认为“离家附近（2千米内）有骑行绿道与万元级运动自行车消费有关”.19(1)(2)答案见解析【分析】（1）过点作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，先求出，在中，利用正弦定理求得，再根据求得，从而可求得，再求出，再根据三角形的面积公式即可得解；（2）可以从行进的视线，伞面面积等角度入手，建议只要合理即可.【详解】（1）如图，过点作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，由题意，因为为的中点，所以，又，所以，又，由正弦定理，所以，又，所以，所以，所以，所以阴影部分面积为；（2）
15、雨伞不遮挡人行进的视线；伞面为弧线，改进模型将伞设为一段圆弧，扩大伞面的面积；考虑伞柄可以伸缩，等等.（只要合理即可）20(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）先把点代入方程求出方程，利用离心率公式可得答案；（2）先表示出直线，代入的坐标化简，结合向量平行，进行代换可证明结论；（3）设出直线方程，与椭圆方程联立，解出，根据可知的轨迹是椭圆，利用椭圆的定义可得方程.【详解】（1）因为经过点，所以，解得，故，所以离心率为.（2）证明：由（1）知直线，的方程分别为：，由题意即整理得即.因为，所以即所以所以即.（3）由题意易知，易得令，则，联立，得整理得显然，则，解得所以，易得，令，则，联立，得，
16、整理得，显然，则，解得，所以；因为，所以，整理得，即的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆在轴上方的部分，故短轴长为，所以其方程为.【点睛】关键点睛：本题求解的关键有两个：一是证明中平行结论的代换；二是求轨迹时求解，结合条件可得轨迹.21(1)；(2)答案见解析；(3)（i）；（ii）.【分析】（1）求导后，利用极值点的定义可知，从而求得；（2）分类讨论与，可得的单调情况；（3）（i）构造，分类讨论与时的图像性质，由极大值得到，再分类讨论区间与上零点的情况可确定a的取值范围；（ii）对进行转化得，令，则，构造函数证得，分类讨论与两种情况，从而确定.【详解】（1）因为，所以，因为1是的极值点，所以，
17、故，故.此时，则时，时，所以上递增，上递减，则1是的极值点，满足题设.综上，.（2）由（1）知，当时，故在上单调递增；当时，令得；令得；所以在上单调递增，在上单调递减，综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，（3）（i）由得，即有两个解，令，则，且在上两个零点，当时，故在上单调递增，则在上没有两个零点，不满足题意；当时，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，即的极大值为，为使在上有两个零点，则，即，解得，当时，易知，因为，故，又在上单调递增，所以在有唯一零点；当时，令，则，再令，则，故在上单调递增，所以，即，故在上单调递增，所以，因为，所以，即，即，即，故，所以，故，又在上单调递减，所以在有唯一零点；综上：当时，在上两个零点，即有两个解时，即；（ii）由（i）得，故，又，所以，即，即，故，令，则， 故，设，则，当时，故当时，恒成立，故在上为增函数，故即在上恒成立.当时，而当时，故存在，使得，使得，故在为减函数，故，矛盾，舍；综上：，即.答案第15页，共15页
