1、上海市曹杨第二中学2021-2022年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.函数的最小正周期为 2.复数（其中为虚数单位）的虚部为 3.函数的定义域为 4.已知，则 5.若为锐角，且，则 6.方程在上的解集为7.已知向量在向量方向上的投影为，且，则(结果用数值表示)8.函数的单调递减区间为 9.在中，角、的对边分别为、，若表示的面积，若，则 10.已知函数，若在区间上具有单调性，且，则 11.已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是 12.如图，圆是半径为1的圆，设、为圆上的任意2个点，则的取值范围为 二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知
2、是平面上的非零向量，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件14.设函数，其中，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是A B的图像关于直线对称C在上单调递增 D过点的直线与函数的图像必有公共点15.函数的图像向左平移个单位长度后与函数的图像重合，则的最小值为ABCD16.如果对一切正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是ABCD三、解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）17.已知（1）求；（2）求的值18.已知的角、所对的边分别为、，且（1）求角的大小；（2）若，求的值19.如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公
3、里，与小岛相距为公里已知角为钝角，且（1）求小岛与小岛之间的距离；（2）记为，为，求的值20.借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题.试解答下列问题.（1）在直角坐标系中，将点绕坐标原点逆时针旋转到点，求点的坐标；（2）如图，设向量，把向量按逆时针方向旋转角得到向量，求向量的坐标；（3）设为不重合的两定点，将点绕点按逆时针方向旋转角得点，判断是否能够落在直线上，若能，试用表示相应的值，若不能，说明理由.上海市曹杨第二中学2021-2022年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.函数的最小正周期为 【答案】2.复数（其中为虚数单位）的虚部为
4、【答案】3.函数的定义域为 【答案】4.已知，则 【解析】原式5.若为锐角，且，则 【解析】因为为锐角，且，所以，所以6.方程在上的解集为【解析】因为，所以，所以或，所以或，因为，所以或，故解集为7.已知向量在向量方向上的投影为，且，则(结果用数值表示)【解析】因为向量在向量方向上的投影为，且，所以，所以，则8.函数的单调递减区间为 【解析】，令得单调递减区间为9.在中，角、的对边分别为、，若表示的面积，若，则 【解析】由正弦定理及已知得，即，因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以为等腰直角三角形，所以10.已知函数，若在区间上具有单调性，且，则 【解析】因为，所以，
5、因为，所以为函数的对称轴，则，所以，所以，因为在区间上具有单调性，所以，因为，所以，所以11.已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是 【解析】函数，由得，解得，因为在区间内没有零点，所以，因为，分别取所以，因为在区间内没有零点，所以12.如图，圆是半径为1的圆，设、为圆上的任意2个点，则的取值范围为【解析】如图，设是线段的中点，则，连接、，设为和的夹角，则，因为，所以当时，有最小值为，当且时，有最大值为3，即有最大值为3，故的取值范围为二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知是平面上的非零向量，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件
6、【解析】若，则成立，当时，满足，但不成立，故选14.设函数，其中，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是A B的图像关于直线对称C在上单调递增 D过点的直线与函数的图像必有公共点【解析】因为恒成立，所以，所以，从而，对于，显然错误；对于，因为，所以的图像不关于直线对称；对于，当时，单调递减，错误；对于，点在函数图像内部，故过点的直线与函数的图像必有公共点，正确；故选.15.函数的图像向左平移个单位长度后与函数的图像重合，则的最小值为ABCD【解析】函数的图像向左平移个单位长度后为因为，则的最小值为，故选16.如果对一切正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是ABCD【解析】不等式恒成立恒成立，
7、令，则，当时，当且仅当时取等号，；所以，即恒成立若，恒成立，令，则，再令，则若，则恒成立，同理可得；若，恒成立，故；综上，故选三、解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）17.已知（1）求；（2）求的值【解析】（1）因为，所以， 所以，所以，所以； （2）18.已知的角、所对的边分别为、，且（1）求角的大小；（2）若，求的值【解析】（1）由正弦定理得，所以，因为，所以，得锐角； （2）因为，所以，所以，则，所以19.如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里已知角为钝角，且（1）求小岛与小岛之间的距离；（2）记为，为，求的值【解析】（1
8、）因为角为钝角，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得或（舍），所以小岛与小岛之间的距离为2 （2）在中，由正弦定理，得，因为，所以为锐角，所以，因为，所以20.借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题.试解答下列问题.（1）在直角坐标系中，将点绕坐标原点逆时针旋转到点，求点的坐标；（2）如图，设向量，把向量按逆时针方向旋转角得到向量，求向量的坐标；（3）设为不重合的两定点，将点绕点按逆时针方向旋转角得点，判断是否能够落在直线上，若能，试用表示相应的值，若不能，说明理由.【解析】（1）设，则，所以；（2）把向量的起点平移到原点O，如图，设以为终边的角为，则以为终边的角为，记，则，所以； （3）欲求点坐标，只需要求位置向量坐标。显然因为向量，由（2）得 即C点坐标为，“点落在直线上”“”“”当时，点重合，不合题意；当时，点能落在直线上，此时需；当时，点能落在直线上，此时需；当时，点能落在直线上，由，此时需.注：情形可以并入情形.
