1、2023 年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分数学试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共共 150 分分.考试时间考试时间 120 分钟分钟.第卷选择题（共第卷选择题（共 50 分）注意事项：分）注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定位置上.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定位置上.2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应的答案标号涂黑.参考公式：如果事件第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔
2、在答题卡上对应的答案标号涂黑.参考公式：如果事件A、B互斥，那么互斥，那么 P ABP AP B柱体的体积公式柱体的体积公式VSh.其中.其中S表示柱体的底面积，表示柱体的底面积，h表示柱体的高.一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共表示柱体的高.一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共 9 小题，每小题小题，每小题 5分，满分分，满分 45 分）分）1.设全集3,2,1,0,1,2,3U ，集合3,2,2,3A ，3,0,1,2B，则UAB（）A.B.1C.0,1D.0,1,22.设xR，则“2log1x”是“260 xx”的（）A.充分
3、不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数 1cosf xxxx在其定义域上的图像大致是（）A.B.C.D.4.某校 1000 名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了 20 名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中a的值为 0.004B.估计这 20 名学生考试成绩的第 60 百分位数为 75C.估计这 20 名学生数学考试成绩的众数为 80D.估计总体中成绩落在60,70内的学生人数为 1505.已知 f x是偶函数，且当0 x 时，f x单调递减，设122a ，0.812b，52log 2c，则 f a
4、，f b，f c大小关系为（）A.f cf bf aB.f cf bf aC.f cf af bD.f cf af b6.如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为A，圆柱的上、下底面的圆心分别为B、C，若该几何体存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）.已知24BCAB，则该组合体的体积等于（）A.56B.703C.48D.647.由伦敦著名建筑事务所 Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊讶世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22214yxa（0a）
5、下支的一部分，以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线分別相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2a，则双曲线的方程为（）A.22194yxB.221124yxC.229124yxD.222194yx8.已知函数 22 3sin cos2sin2f xxxx，以下说法中，正确的是（）函数 f x关于点,012对称；函数 f x在,6 6上单调递增；当 2,63x吋，f x的取值范围为2,0；将函数 f x的图象向右平移12个单位长度，所得图象对应的解折式为 2sin21g xx.A.B.C.D.9.如图所示，梯形ABCD中，ADBC，点E为AB的中点，0BA BC
6、 ，4BD BABD AD ，若向量C E 在向量C B 上的投影向提的模为 4，设M、N分别为线段CD、AD上的动点，且CMCD，19ANAD，则EMEN 的取值范围是（）A.11,9B.11 13,99C.13 61,99D.11 61,99第卷非选择题（共卷非选择题（共 105 分）二、填空题（本大题共分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.把答案填在答题卡中的相应横线上）把答案填在答题卡中的相应横线上）10.设复数z满足3 4i1 2iz（i为虚数单位），则z的值为_.11.二项式323xx的展开式中含x的系数为_.12.已知圆经过点3,0
7、和点1,2，圆心在直线210 xy上，则圆的方程为_.13.袋子中装有n个白球，3 个黑球，2 个红球，已知若从袋中每次取出 1 球，取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为13，则n的值为_，若从中任取 3 个球，用X表示取出 3 球中黑球的个数，则随机变量X的数学期望E X _.14 已知0a，0b，且1ab，则111abab的最小值为_.15.定义函数 ,min,.f xf xg xf xg xg x f xg x，设 2min11,38h xxxaxa，若 0h x 有 3 个不同的实数拫，则实数a的取值范围是_.三、解答题（本大题三、解答题（本大题 5 小题，
8、共小题，共 75 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分 14 分）在ABC中，内角A、B、C的对边分別为a、b、c，已知2sinsincos tanCAAB.（1）求角B的大小；（2）设2a，3c，求b和sin 2A B的值.17.（本小题满分 15 分）已知底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，PADQ，33PAADDQ，点E、F分别为线段PB、CQ的中点.（1）求证：EF平面PADQ；（2）求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；（3）线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是427，若存
9、在求出PMMC的值，若不存在，说明理由.18.（本小题满分 15 分）已知椭圆C：22221xyab（0ab）的右焦点为点F，A、B分别为椭圆C的上、下顶点，若椭圆中心到直线AF的距离为其短轴长的14.（1）求椭圆的离心率；（2）过点B且斜率为k（0k）的直线l交椭圆C于另一点N（异于椭圆的右顶点），交x轴于点P，直线AN与直线x a相交于点Q，过点A且与PQ平行的直线截椭圆所得弦长为14，求椭圆C的标准方程.19.（本小题满分 15 分）已知数列 na满足12nnaa，其前 8 项的和为 64；数列 nb是公比大于 0 的等比数列，13b，3218bb.（1）求数列 na和 nb的通项公式；
10、（2）记211nnnnnaca ab，*n N，求数列 nc的前n项和nT；（3）记12221,1,nnnnnanadnb为奇数为偶数，求221nnkkSd.20.（本小题满分 16）已知函数 sinxf xaex a.（注：2.718281e 是自然对数的底数）.（1）当2a 时，求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程；（2）当0a 时，函数 f x在区间0,2内有唯一的极值点1x.（）求实数a的取值范围；（）求证：f x在区间0,内有唯一的零点0 x，且012xx.2023 年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学参考答案年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学参考答案一、
11、选择题：每小题一、选择题：每小题 5 分，满分分，满分 45 分分题号123456789答案CACDBABDD二、填空题：每小题二、填空题：每小题 5 分，共分，共 30 分分.（两空中对一个得（两空中对一个得 3 分，对两个得分，对两个得 5 分）分）10.5511.27012.2214xy13.2；9714.5215.843a 或8a 三、解答题：本大题三、解答题：本大题 5 小题，共小题，共 75 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（1）解：因为2sinsincos tanCAAB，所以sinsinsin coscos sinsin
12、2sinsincoscoscoscoscosBABABABCCAABBBB2 分所以2sin cossinCBC，因为0,C，所以sin0C，所以1cos2B 4 分又0,B，所以3B；5 分（2）在ABC中，由余弦定理及2a，3c，3B，有2222cos7bacacB，故7b.8 分由正弦定理sinsinabAB，可得3sin7A.因为a c，故2cos7A.10 分因此4 3sin22sin cos7AAA，21cos22cos17AA.12 分所以，4 31133 3sin 2sin2 coscos2 sin727214ABABAB.14 分17.（本小题满分 15 分）（1）方法一：分
13、别取AB，CD的中点G，H，连接EG，GH，FH，1 分由题意可知：点E、F分别为线段PB、CQ的中点.所以EGPA，FHQD，因为PADQ，所以EGFH，所以点E，G，H，F四点共面，因为G，H分别为AB，CD的中点，所以GHAD，AD平面ADQP，GH 平面ADQP，所以GH 平面ADQP，3 分又因为FHQD，QD 平面ADQP，FH 平面ADQP，所以FH平面ADQP，4 分又因为FHGHH，FH，GH 平面EGHF，所以平面EGHF平面ADQP，因为EF平面EGHF，所以EF平面ADQP.5 分方法二：因为ABCD为正方形，且PA平面ABCD，所以AP，AB，AD两两互相垂直，建立如
14、图所示空间直角坐标系，1 分则0,0,3P，3,3,0C，0,3,1Q，3,0,0B，33,0,22E，31,3,22F3 分（建系和对一个点的坐标就给（建系和对一个点的坐标就给 1 分，全对给分，全对给 2 分，没有出现点的坐标扣分，没有出现点的坐标扣 1 分）分）所以0,3,1EF ，3,3,3PC ，3,0,1CQ ，易知平面PADQ的一个法向量1,0,0a，所以0a EF，所以EFa，.4 分又因为EF 平面ADQP，所以EF平面ADQP.5 分（2）设平面PCQ的法向量,mx y z，则00PC mCQ m ，即333030 xyzxz，令1x，则3z，2y，所以平面PCQ的一个法向
15、量为1,2,3m，6 分易知平面CQD的一个法向量0,1,0n，设平面PCQ与平面CQD夹角为，则2214coscos,7114914m n，所以平面PCQ与平面CQD夹角余弦值为1478 分（设角和作答具备其一即可，均不写扣（设角和作答具备其一即可，均不写扣 1 分）分）（3）假设存在点M，PMPC ，0,1，设,M x y z，所以,33,3,3x y z，.9 分所以3,3,3 3M 所以3,3,3 3AM 10 分由（2）得平面PCQ的一个法向量为1,2,3m，222369942714 9933，12 分得212810.即21 610，13 分12或16，14 分1PMMC或15PMM
16、C.15 分18.（本小题满分 15 分）（1）由直角三角形面积关系得22124bcbbc，即124bcba解得12ca3 分（2）由（1）得2ac，3bc，易得0,3Ac，0,3Bc，直线l的方程为3ykxc，因为直线l不过右顶点2,0c，所以32k，4 分22221433xyccykxc，得22348 30kxkcx，28 33 4Nkcxk6 分从而2228 34 33 3,3 43 4kck ccNkk，3,0cPk8 分直线AN的斜率为2224 33 336 333448 38 334k cccckkkckck 9 分故直线AN的方程为334yxck 10 分令2xc，得32,32c
17、Qcck，11 分直线PQ的斜率3332 3322342 32PQccckckkckccck12 分0,3Ac，左顶点2,0Dc，32ADk，即22214ADab，12ca解得28a，26b，22c.14 分椭圆的标准方程为22186xy15 分19.（本小题满分 15 分）【详解】（1）因12nnaa，数列 na是公差为2d 等差数列，且864S，18782642a，解得11a，1 2121nann；2 分设等比数列 nb的公比为q（0q），因为13b，3218bb，23318qq，即26 0qq ，解得2q （舍去）或3q，13 33nnnb 4 分（2）由（1）得2122212121 3
18、nnnnnnnaca abnn5 分12211121 21 3221 321 3nnnnnnnn6 分01122311111111121 33333535373213213nnnn01112 1 321 3nn1122 21 3nn，8 分（3）22121,1,nnnnnanbda n为偶数为奇数 2246213521nnnSdddddddd9 分3121352112311111nnnnaaaaaaaabbbb 12324621 5 9 131433333nnnn 10 分nnP Q12324623333nnnP（1）23411246222333333nnnnnP（2）（1）（2）：12341
19、22222223333333nnnnP1112112n12n2n333111333313nnnnn 132332312322 3nnnnnP12 分方法二：22121211,21211,nknkknknnaankbbndnanka为偶数为奇数1121232,2,22333143,21143,21kkkkkkkknknkknkknk246201121135572123323233333322 3nnnnnnnnPdddd当n为偶数时，211 5 9 131nnnQa 1591347434444*22nnnn ，13 分当n为奇数时，1444434*43212nnQnnn 14 分21,2,nnn
20、Qn n为奇数为偶数121323121,2332312,23nnnnnnnnSPQnn n为奇数为偶数15 分20.（本小题满分 16 分）解：（1）2sin2xf xex，求导 2cosxfxex，切线的斜率 02 1 1kf，又 00f，所以切点为0,0，所以，切线方程为yx4 分（2）（）求导 cosxfxaex，当1a 时，当0,2x时，1xae，cos0,1x，0fx，则 yf x在0,2上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；6 分当01a时，求二阶导 sin0 xfxaex，所以 f x在0,2上递增，又 01 0fa ，202fae，所以 f x在0,2上有唯一零点1x，8 分
21、当10,xx时，0fx，函数 f x单调递减；当1,2xx时，0fx，函数 f x单调递增，所以函数 yf x在区间0,2内有唯一极值点，符合题意，综上，a的取值范围是0,1.9 分（）由（）知01a，当,2x时，cos0 xfxaex，10 分当10,xx时，0fx，函数 f x单调递减；当1,xx时，0fx，函数 f x单调递增；所以10,xx时，00f xf，则 10f x，又因为 10faeaa e，所以 f x在1,x上有唯一零点0 x，即 f x在0,上有唯一零点0 x.12 分因为12112sin2xfxaexa，由（）知 10fx，所以11cosxaex，则1112111111cos2sin2cos2sin cosxxxxfxaexaexxxe11111cos2sinxxxexe，10,2x13 分设 2sinxxh xex e，0,2x，则 2cosxxh xexe，2xxee，2cos2x，所以 2cos0 xxh xeex h x在0,2为单调递增，又 00h，所以 0h x，又0,2x时，1cos0 x，所以1111112cos2sin0 xxfxx exe.所以1020fxf x.由前面讨论知112xx，10 xx，f x在1,x单调递增，所以012xx.16 分
