1、2023 届高三年级阶段测试（四）数学一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合1,0,1A，21,1Bm mA mA ，则集合 B 中所有元素之和为（）A0B1C1D22若复数 z 满足1 i1 iz，则z的虚部是（）AiB1C2i2D223设非零向量m，n满足2m，3n，3 2mn，则m在n方向上的投影向量为（）A518nB518nC58mD58m4如图，一个棱长 1 分米的正方体形封闭容器中盛有 V 升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面是三角形，则 V 的取值范围是（）A1 5,6 6B1 2,3 3C1 2
2、,2 3D1 1,6 25已知:0p xy，22:ln1ln10qxxyy ，则 p 是 q 的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6将一个顶角为 120的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作如果这个操作过程无限继续下去，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch 曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为 1，则经过 4 次操作之后所得图形的面积是（）A1681B2081C827D10277己知等边ABC 的边长为 2，D 为 BC 的中点，P 为线段
3、 AD 上一点，PEAC，垂足为 E，当23PB PC 时，PE （）A1233ABAC B1136ABAC C1163ABAC D2133ABAC 8双曲线22:4C xy的左，右焦点分别为1F，2F，过2F作垂直于 x 轴的直线交双曲线于 A，B 两点，12AFF，12BFF，1F AB的内切圆圆心分别为1O，2O，3O，则123OO O的面积是（）A6 28B6 24C84 2D64 2二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9李明每天 700 从家里出发去学校，有时坐
4、公交车，有时骑自行车他各记录了 50 次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时 30 分钟，样本方差为36；自行车平均用时 34 分钟，样本方差为 4，假设坐公交车用时 X 和骑自行车用时 Y 都服从正态分布，则（）A3232P XP YB3636P XP YC李明计划 734 前到校，应选择坐公交D李明计划 740 前到校，应选择骑白行车10已知 na是等比数列，公比为 q，若存在无穷多个不同的 n，满足21nnnaaa，则下列选项之中，可能成立的有（）A0q B0q C1q D1q 11如图的六面体中，1CACBCD，2ABBDADAEBEDE，则（）ACD 平面
5、ABCBAC 与 BE 所成角的大小为3C3CE D该六面体外接球的表面积为312已知函数 sincoseexxf x，其中 e 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（）A f x在0,2是增函数B4fx是奇函数C f x在0,上有两个极值点D设 f xg xx，则满足144nngg的正整数n的最小值是 2三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13521xy展开式中含2x y项的系数为_14定义在 R 上的函数 f x，g x，满足23fx为偶函数，51g x为奇函数，若 113fg，则 59fg_15某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列123,Aa a
6、 a重新编辑，编辑新序列为*324123,aaaAaaa，它的第n项为1nnaa，若序列*A的所有项都是 2，且41a，532a，则1a _16如图是数学家 Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O，球2O的半径分别为 4 和 2，球心距离122 10OO，截面分别与球1O，球2O相切于点 E，F（E，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于_四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在ABC 中，D 是 BC 上的点，A
7、D 平分BAC，ABD 面积是ADC 面积的 2 倍（1）求sinsinBC；（2）若1AD，22DC，求ABC 的面积18数列 na满足：1212242nnnaana，*nN（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列nna的前 n 项和nS19如图，四棱锥PBCD中，底面 ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD，E 为 PD 的中点（1）证明：PB平面 AEC；（2）设二面角DAEC为 60，1AP，3AD，求三棱锥BACD的体积20 甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束 已知除第五局甲获胜的概率是12外，其余每局比赛甲获胜的概率是23假设各局比赛结
8、果互相独立（1）分别求甲以 30，31，32 胜利的概率；（2）若比赛结果为 30 或 31，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 32，则胜利方得 2 分、对方得 1 分，求乙得分 X 的分布列及数学期望21在平面直角坐标系 xOy 中，过点0,1P且互相垂直的两条直线分别与椭圆22:142xy交于点 A，B，与圆22:211Mxy交于点 C，D（1）若2CD，求 AB 的斜率；（2）记 CD 中点为 E，求EAB面积的取值范围22设定义在 R 上的函数 exf xax aR（1）若存在01,x，使得0ef xa 成立，求实数 a 的取值范围；（2）定义：如果实数 s，t，r 满
9、足sttr，那么称 s 比 t 更接近 r对于（1）中的 a及1x，问：ex和1exa哪个更接近ln x？并说明理由2023 届高三年级阶段测试（四）数学参考答案一、选择题：1C2D3A4B5C6A7B8A二、多项选择题：9BCD10ABC11ACD12ABD三、填空题：13601411515121613四、解答题17解：（1）因为1sin2ABDSAB ADBAD，1sin2ADCSAC ADCAD，且2ABDADCSS，BADCAD，所以2ABAC，由正弦定理可得sin1sin2BACCAB（2）因为:ABDADCSSBD DC，所以2BD 在ABD和ACD中，由余弦定理得2222cosA
10、BADBDAD BDADB，2222cosACADDCAD DCADC所以222222326ABACADBDDC由（1）知2ABAC，所以1AC 在ACD中，CD 边上的高2214144h，所以13 2143 72248ABCS18解：（1）当1n 时，11 112412a；当2n时，由1212242nnnaana，所以1212122142nnnaana，两式相减得21112222nnnnnnnna，此时112nna经检验知11a 也满足故数列 na是以 1 为首项，12为公比的公比数列故112nna（2）令12nnnnbna，所以21231222nnnS，故23112322222nnnS，相
11、减得2111 1111122121222222212nnnnnnnnnS，所以1242nnnS19证明：（1）连接 BD 交 AC 于点 O，连按 OE因为底面 ABCD 为矩形，所以点 O 为 BD 的中点，又 E 为 PD 的中点，所以OEPB，因为OE 平面 AEC，PB 平面 AEC，所以PB平面 AEC（2）以 A 为原点，直线 AB、AD、AP 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设ABa，则0,3,0D，0,0,0A，3 10,22E，,3,0C a，所以3 10,22AE，,3,0ACa，设,nx y z是平面 AEC 的法向量，则3102230n AEyzn ACaxy
12、 ，解得：33ayxzy ，令3x，得3,3naa，又因为,0,0ABa 是平面 AED 的一个法向量，所以231cos,cos60234aAB naa ，解得32a，所以11111313332232228E ACDVADCDAP20解：（1）记“甲队 30 胜利”为事件1A，“甲队以 31 胜利”为事件2A，“甲队以 32 胜利”为事件3A，由题意，各局比赛结果相互独立，故3128327P A，22232228133327P AC ，221342214133227P AC 所以，甲以 30，31，32 胜利的概率分别是827，827，427（2）设“乙队以 32 胜利”为事件4A，由题意，各
13、局比赛结果相互独立，所以2214422141133227P AC ，由题意，随机变量 X 的所有可能的取值为 0，1，2，3，根据事件的互斤性得121216(0)27P XP AAP AP A，34127P XP A，44227P XP A，33101227P XP XP XP X，故 X 的分布列为X0123P1627427427327所以1644370123272727279EX 21解：（1）直线 CD 的斜率存在，设为 a，所以:1CD yax，由2CD 知，圆心 M 到 CD 的距离为22，所以22221aa，所以217a，因为 AB 与 CD 垂直，所以 AB 的解率为7（2）当直
14、线 AB 的斜率不存在时，2 2AB，2PE，且ABPE，所以12 222 22ABES当直线 AB 的斜率存在，设:1AB ykx，11,A x y，22,B xy所以221421xyykx，即2221420kxkx，所以122421kxxk，122221x xk，所以222221222248328111212121kkABkxxkkkkk，因为ABCD，MECD，所以ABME，所以ABEABMSS，而221kdk，所以2222222412132812 2221211ABMkkkkSkkkk，令221kt，所以22223113222ABMttSttt，显然0k，所以由11yxk 与圆 M 相
15、交得22111kk，故23k，所以7t，所以1107t，故2 78,2 27ABMS，综上：2 78,2 27ABMS22解：（1）由题设知，exfxa，当0a 时，0fx恒成立，f x在 R 上单调递增；当0a 时，令 0fx，得lnxa，当,lnxa 时 0fx，f x单调递减，当ln,xa时 0fx，f x单调递增；所以当ea 时，f x在1,单调递增，故 1ef xfa 恒成立，舍；当ea 时，f x在1,lna单调递减，在ln,a 单调递增，所以 ln1efafa，满足，综上：实数 a 的取值范围ea；（2）令 elnp xxx，1elnxq xax，1x 2e10pxxx，p x在
16、1,单调递减故当1ex时，e0p xp；当ex 时，0p x；11exqxx，121e0 xqxx，q t在1,单调递增，故 10q xq，则 q x在1,单调递增，由（1）知ea，所以 110q xqa；当1ex时，令 1eexm xp xq xp xq xax，所以 12ee0 xm xx，故 m x在1,e单调递减，所以 1e 10m xma ，即 p xq x，所以ex比1exa更接近ln x；当ex 时，令 1e2lnexn x fp xq xp xq xxax ，所以 1e 12e23ee0exmxxx，故 n x在e,单调递减，所以 0n xn e，即 p xq x，所以ex比1exa更接近ln x；
