1、第三章第三章 量子力学量子力学中的力学量中的力学量1 1 表示力学量的算符表示力学量的算符 2 2 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符 3 3 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动 4 4 氢原子氢原子5 5 厄米算符的正交性厄米算符的正交性6 6 算符与力学量的关系算符与力学量的关系7 7 量算符的对易关系量算符的对易关系 两个力学量同时有确定两个力学量同时有确定 值的条件值的条件 不确定度关系不确定度关系8 8 力学量期望值随时间的变化力学量期望值随时间的变化 守恒定律守恒定律概序：量子力学的六个基本假设概序：量子力学的六个基本假设|(r)|(r)|2 2d d 表示在表示在 r
2、 r 点处，体积元点处，体积元d d 中找到中找到粒子的几率粒子的几率2 Schr2 Schrdinger dinger 方程方程 1量子力学的量子力学的第一个基本第一个基本假设：可以用波函数假设：可以用波函数 全面全面描述微观粒子的运动状态描述微观粒子的运动状态 量子力学的量子力学的第二个基本第二个基本假设：波函数假设：波函数满足满足SchrSchrdingerdinger 方程方程定态定态3 3力学量和算符力学量和算符凡是经典力学量，都有相应的对应算符凡是经典力学量，都有相应的对应算符 量子力学的量子力学的第三个基本第三个基本假设：假设：力学量（实验上可以观力学量（实验上可以观测的量）可以
3、用一个算符来表示测的量）可以用一个算符来表示本征方程本征方程 量子力学的量子力学的第四个基本第四个基本假设：假设：凡是满足本征方程的任凡是满足本征方程的任何何a值就是力学量值就是力学量A的一个可能取值的一个可能取值能量本征方程能量本征方程推广到任意力学量推广到任意力学量I I。波函数有限条件，要求。波函数有限条件，要求 z z为实数；为实数；IIII。波函数单值条件，要求当。波函数单值条件，要求当转过转过22角角,回到原位时回到原位时波函数值相等，即：波函数值相等，即：5 5态叠加原理态叠加原理 量子力学的量子力学的第五个基本第五个基本假设：假设：波函数符合线形叠加原理波函数符合线形叠加原理2
4、 2 若若1 1 ，2 2,.,.,n n,.,.是体系的一系列可能的状态，是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加则这些态的线性叠加 =C=C1 11 1+C+C2 22 2+.+C+.+Cn nn n+.+.(其中其中 C C1 1,C,C2 2,.,C,.,Cn n,.,.为复常数为复常数)也是体系的一个可能也是体系的一个可能状态。状态。3 3 处于处于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1 1态，部分的处于态，部分的处于2 2.，部分的处于部分的处于n n，.1 1 物理系统的某种状态物理系统的某种状态，总可以认为是某些其他状态，总可以认为是某些其他状态（1 1 ，2 2,.
5、,.,）线性叠加而成，即）线性叠加而成，即 =C=C1 11 1+C+C2 22 2+.+C+.+Cn nn n+.+.量子力学的量子力学的第六个基本第六个基本假设：假设：代表力学量的代表力学量的算符算符(可观测量可观测量)一定是厄密算符一定是厄密算符6 6 量子力学的第六个基本假设：量子力学的第六个基本假设：代表力学代表力学量的算符量的算符(可观测量可观测量)一定是厄密算符一定是厄密算符1 1 表示力学量的算符表示力学量的算符（1 1）算符相等）算符相等线性算符的性质线性算符的性质（2 2）单位算符）单位算符 算符是指作用在一个函数上得出另算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号一个
6、函数的运算符号（3 3）算符之和）算符之和例如：体系例如：体系Hamilton 算符算符交换率交换率结合率结合率（4 4）算符之积）算符之积（5 5）对易关系）对易关系显然二者结果不相等，显然二者结果不相等，所以所以不对易不对易若算符若算符、的乘积的乘积仍为算符，即仍为算符，即()=()=则则=，其中其中是任意波是任意波函数函数若若 ，则称，则称 与与 对易。若对易。若 ，则，则称称 与与 不对易。不对易。（6 6）逆算符）逆算符定义定义:设设=,=,能够唯一的解出能够唯一的解出,则可定义则可定义算符算符 的逆的逆-1 -1 为为:-1-1 =性质性质 :若算符若算符 之逆之逆 -1-1 存在
7、存在,则则 -1-1=-1-1 =I,=I,证证:=:=-1-1=-1-1()=()=-1-1 因为因为是任意函数是任意函数,所以所以-1-1 =I =I成立成立.同理同理,-1-1=I =I 亦成立亦成立.算符算符的复共轭算符的复共轭算符*就是把就是把表表达式中的所有量换成复共轭达式中的所有量换成复共轭.例如例如:坐标表象中坐标表象中（8 8）内积内积（9 9）转置算符转置算符利用波函数标准条件利用波函数标准条件:当当|x|x|时时,0 0。证：证：转置算符定义转置算符定义所以所以同理可证同理可证:证证:转置算符定义转置算符定义分配率分配率转置算符定义转置算符定义函数交换位置函数交换位置转置
8、算符定义转置算符定义看作一个波函数10 10 线形算符线形算符 作用于波函数并且符合下列运算法则的算符称为线作用于波函数并且符合下列运算法则的算符称为线性算符性算符例如：例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。开方算符、取复共轭就不是线性算符。其中其中c c1 1,c,c2 2是任意复常数是任意复常数,1 1,2 2是任意两个波函数。是任意两个波函数。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。是态叠加原理的反映。11.11.厄密算符厄密算符性质性质 I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。两个厄密算符之和仍是厄密算符。即即 若若
9、+=,+=则则 (+)+=+=(+)性质性质 II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。除非二算符对易。()+=+=仅当仅当,对易时对易时,()+=才成立。才成立。性质性质：厄密算符的本征值是实数厄密算符的本征值是实数 厄密算符的对应的任何两个波函数正交厄密算符的对应的任何两个波函数正交性质性质:r,p,T,V,H,L等力学量算符都是厄密算等力学量算符都是厄密算符。符。厄密算符的本征值是实数厄密算符的本征值是实数厄密算符的对应的任何两个波函数正交厄密算符的对应的任何两个波函数正交共轭算符共轭算符厄米算符厄米算符动量算符为动量算符为:3.2 3.2
10、动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符相应的本征函数和本征值为相应的本征函数和本征值为:1 1、动量算符、动量算符（1）动量本征方程）动量本征方程其分量形式：其分量形式：I.求解求解动量本征方程的解动量本征方程的解采用分离变量法，令：采用分离变量法，令：代入动量本征方程代入动量本征方程且等式两边除以且等式两边除以 p，得：，得：1.Dirac 函数函数 定义：定义：或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=xx=x0 0 邻域邻域连续的任何函数连续的任何函数 f f（x x）有：）有：0 x0 x II.归一化系数的确定归一化系数的确定 函数亦可写成函数亦可写成FourierFourier
11、积分积分形式：形式：0 x0 x令令 k=pk=px x/,dk=dp,dk=dpx x/,则则0 x0 xp53如果取如果取|c|2(2)3=1则则 p(r)就可归一化为就可归一化为-函数。函数。2.归一化系数归一化系数xyzoL 据上所述，具有连续谱的本征函数据上所述，具有连续谱的本征函数,如动量的本征如动量的本征函数是不能归一化为函数是不能归一化为1 1的，而只能归一化为的，而只能归一化为-函数。函数。但是，若加上适当的但是，若加上适当的边界条件，例如把物理边界条件，例如把物理过程限制在一个边长为过程限制在一个边长为L L的大箱子里的大箱子里,则可以用则可以用以前的归一化方法来归以前的归
12、一化方法来归1 1，这种方法称为箱归，这种方法称为箱归一化。一化。(2(2）箱归一化）箱归一化xyzAAoL在箱子边界的对应点在箱子边界的对应点A,AA,A上加上其波函数相等的条件，上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。此边界条件称为周期性边界条件。周期性边界条件周期性边界条件xyzoBBL这表明，动量本征值只能取分这表明，动量本征值只能取分立值。换言之，加上周期性边立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立界条件后，连续谱变成了分立谱。谱。所以所以 c=L-3/2，归一化的本征函数为：归一化的本征函数为：波函数变为波函数变为这时归一化系数这时归一化系数 c c可由
13、归一化条件来确定：可由归一化条件来确定：讨论：讨论：（1 1）箱归一化实际上相当于如图所示情况：）箱归一化实际上相当于如图所示情况：(a)A(b)A(c)yx（2 2）由）由 p px x=2n=2nx x /L,p/L,py y=2n=2ny y /L,p/L,pz z=2n=2nz z /L,/L,可以看出，相邻两本征值的间隔可以看出，相邻两本征值的间隔 p=2p=2 /L /L 与与 L L 成反成反比。当比。当 L L 选的足够大时，本征值间隔可任意小，当选的足够大时，本征值间隔可任意小，当 L L 时，本征值变成为连续谱。时，本征值变成为连续谱。（3 3）从这里可以看出，只有分立谱才
14、能归一化为一，连续）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为谱归一化为 函数函数（4 4）p p(r)(r)exp expiEt/iEt/就是自由粒子波函数，在它所就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。在这个态中的本征值。角动量角动量L L的算符表示的算符表示2 2、角动量算符、角动量算符球坐标球坐标下的角动量算符下的角动量算符 xz球球 坐坐 标标r y这表明：这表明：r=r(x,y,z)x=x(r,)角动量算符在球坐标中的表达式为：角动量算符在球坐标中的表达式为：
15、已证：厄密算符的本征值为实数，属于不同本征已证：厄密算符的本征值为实数，属于不同本征值的两个本征函数相互正交值的两个本征函数相互正交3.5 3.5 厄密算符本征函数的正交性厄密算符本征函数的正交性 量子力学的量子力学的第六个基本第六个基本假设：假设：代表力学量的代表力学量的算符算符(可观测量可观测量)一定是厄密算符，它们的本征一定是厄密算符，它们的本征函数组成函数组成完全系完全系。3.6 3.6 算符与力学量的关系算符与力学量的关系正交归一化条件正交归一化条件由交归一化条件由交归一化条件例例:对于任何归一化的波函数对于任何归一化的波函数(r),(r),证明粒子动证明粒子动 能的平均值可以表示成
16、能的平均值可以表示成量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系。对易关系。为了表述简洁，运算便利和研究量子为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号与经典力学的关系，人们定义了对易括号(量子括号量子括号)：3.6 3.6 算符的对易关系算符的对易关系 两个力学量同时有两个力学量同时有确值的条件确值的条件 不确定关系不确定关系 不难证明对易括号满足如下对易关系：不难证明对易括号满足如下对易关系：1),=-,2),+=,+,3),=,+,4)，=,+,5),+,+,=0。和和,=,+,可得可得角动量算符的对易关系角动量算符的对易关系证：证：和和,=,+,可得
17、可得证：证：和和,=,+,可得可得已已证：证：，=,+,=,+,两个力学量算符的共同本征值两个力学量算符的共同本征值 如果如果 的一个本征值有的一个本征值有f f个线性独立的本征函数，个线性独立的本征函数，则称则称 是是f f度简并的度简并的 不确定关系不确定关系 两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。时具有确定值。问 题问 题两个不对易算符所对应的力学量在某一状两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？态中究竟不确定到什么程度
18、？不确定不确定关系关系 :测量值与平均值的偏差的大小。测量值与平均值的偏差的大小。不确定度关系的推导不确定度关系的推导 (算符的厄米性）算符的厄米性）（称为测不准关系）（称为测不准关系）如果如果 不等于零，则不等于零，则 和和 的均方偏差不会同时为的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 和和 不能不能同时测定。同时测定。由测不准关系由测不准关系 看出：若两个力学量看出：若两个力学量算符算符 和和 不对易，则一般说来不对易，则一般说来 与与 不能同不能同时为零，即时为零，即 和和 不能同时测定（但注意不能同时测定（但注意 的特殊态可能是例外）
19、，或者说它们不能有共同本征的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符态。反之，若两个厄米算符 和和 对易，则可以找对易，则可以找出这样的态，使出这样的态，使 和和 同时满足，即可同时满足，即可以找出它们的共同本征态。以找出它们的共同本征态。故有故有 坐标和动量的测不准关系坐标和动量的测不准关系 或写成或写成简记为简记为 表明：表明：和和 不能不能同时为零，同时为零，坐标坐标 的均的均方差越小，方差越小，则与它共轭则与它共轭的动量的动量 的均方偏差的均方偏差越大，亦就越大，亦就是说，坐标是说，坐标愈测量准，愈测量准，动量就愈测动量就愈测不准。不准。电子源电子源感感光光
20、屏屏电子源电子源感感光光屏屏坐标确定坐标确定,动量测不准动量测不准动量确定动量确定,坐标测不准坐标测不准 角动量的测不准关系角动量的测不准关系当粒子处在当粒子处在 的本征态时的本征态时不确定性原理是波粒二象性的反映，与是否测量无关测不准关系的应用测不准关系的应用例例1 利用测不准关系估算线性谐振子的零点能利用测不准关系估算线性谐振子的零点能E E0 0谐振子的能量谐振子的能量 平均能量：平均能量：平均能量：平均能量：又有又有 奇函数对称区间奇函数对称区间 故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量（零点能）（零点能）证证:则测不准关系：则测不准关系：平均值
21、的平方平均值的平方为非负数为非负数欲保证不等式成立，必有：欲保证不等式成立，必有：同 理同 理由于在由于在 本征态本征态 中，测量力学量中，测量力学量 有确定值，有确定值，所以所以 均方偏差必为零，即均方偏差必为零，即例例 利用测不准关系证明，在利用测不准关系证明，在 本征态本征态 下，下，A.A.力学量随时间的变化率力学量随时间的变化率B.B.力学量平均值随时间的变化力学量平均值随时间的变化力学量的平均值力学量的平均值力学量的平均值随时间的变化力学量的平均值随时间的变化3.8 3.8 力学量期望值随时间的变化力学量期望值随时间的变化守恒定律守恒定律 力学量的平均值随时间的变化力学量的平均值随时间的变化3 3、关于守恒量和定态关于守恒量和定态 守恒量在任何态下的平均值与守恒量在任何态下的平均值与t无关无关守恒量守恒量出现各种可能值的几率分布与出现各种可能值的几率分布与t无关无关 对称性和守恒定律对称性和守恒定律2 2、旋转不变旋转不变角动量守恒角动量守恒1 1、平移不变平移不变动量守恒动量守恒3 3、时间平移不变时间平移不变能量守恒能量守恒4 4、空间反射不变空间反射不变宇称守恒宇称守恒直角坐标 x-x,y-y,z-z球坐标 r不变,-,-宇称算符(空间反演算符)P宇称算符既是厄米的，又是幺正的宇称算符既是厄米的，又是幺正的幺正性幺正性充要条件
