1、 山东省山东省 2020 届普通高等学校招生全国统一考试届普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试卷（五数学模拟测试卷（五) 一、单选题（共一、单选题（共 8 题；共题；共 16 分）分） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 是虚数单位， 则 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 3.1777 年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他 给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落 地的位置进行统计，发现共投针 2212 枚，与直线相交的有 704 枚.根据这次统计数据，
2、若客人随意向这张 白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A. B. C. D. 4.函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.已知 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6.设函数 ， 若 在 上有且仅有5个零点， 则 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 7.已知曲线 ， 动点 在直线 上， 过点 作曲线的两条切线 ， 切点分别为 ， 则直线 截圆 所得弦长为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8.对于函数 ，若 满足 ，则称 为函数 的一对“线性 对称点” 若实数 与 和 与 为函数 的两对“线性对称点”，
3、 则 的最大值为 （ ） A. B. C. D. 二、多选题（共二、多选题（共 4 题；共题；共 12 分）分） 9.下列命题中是真命题的是（ ） A. “ ”是“ ”的充分不必要条件 B. 命题“ ，都有 ”的否定是“ ，使得 ” C. 数据 的平均数为 6，则数据 的平均数是 6 D. 当 时，方程组 有无穷多解 10.定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，下列等式 成立的是（ ） A. B. C. D. 11.在正方体 中，如图， 分别是正方形 ， 的中心.则下列结论正 确的是（ ） A. 平面 与 的交点是 的中点 B. 平面 与 的交点是 的三点分点 C. 平面 与 的交点是 的三
4、等分点 D. 平面 将正方体分成两部分的体积比为 11 12.设 为双曲线 的左、右焦点，过左焦点 且斜率为 的直线 与 在第一象限相交于一点 ，则下列说法正确的是（ ） A. 直线 倾斜角的余弦值为 B. 若 ，则 的离心率 C. 若 ，则 的离心率 D. 不可能是等边三角形 三、填空题（共三、填空题（共 4 题；共题；共 4 分）分） 13. 的展开式中常数项是_. 14.已知平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 _. 15.已知函数 在点 处的切线经过原点，函数 的最小值为 ，则 _. 16.如图， 直线 平面 ， 垂足为 ， 三棱锥 的底面边长和侧棱长都为 4， 在平面 内， 是直线
5、上的动点，则点 到平面 的距离为_，点 到直线 的距离的最大值为 _. 四、解答题（共四、解答题（共 6 题；共题；共 70 分）分） 17.已知各项均不相等的等差数列 的前 项和为 , 且 成等比数列. （1）求数列 的通项公式; （2）求数列 的前 项和 . 18.在 中，角 的对边分别为 .已知 ， . （1）若 ，求 ； （2）求 的面积 的最大值. 19.新高考，取消文理科，实行“ ”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的 3 门普通 高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查 50 人（把年 龄在 称为中青年，年龄在 称为中老年），
6、并把调查结果制成下表： 年龄（岁） 频数 5 15 10 10 5 5 了解 4 12 6 5 2 1 附： . 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率； （2）请根据上表完成下面 列联表，是否有 95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老 年）有关？ 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 中老年 总计 （3） 若从年龄在 的被调查者中随机选取3人进行调查， 记选中的3人中了解新高考的人数为 ， 求 的分布列以及 . 20.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为正方形，点 为线段 上 的点，过 三点的
7、平面与 交于点 .将 ， ， 中的两 个补充到已知条件中，解答下列问题： （1）求平面 将四棱锥分成两部分的体积比； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 21.已知函数 . （1）若 ，求证： . （2）讨论函数 的极值； （3） 是否存在实数 ， 使得不等式 在 上恒成立？若存在， 求出 的最小值； 若不存在，请说明理由. 22.已知椭圆 的短轴长为 ，离心率 ，其右焦点为 . （1）求椭圆 的方程； （2）过 作夹角为 的两条直线 分别交椭圆 于 和 ，求 的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 一、单选题 1.【答案】 B 【考点】并集及其运算 【解析】【解答】 ， . 故选:B.
8、【分析】化简集合 ，按照并集定义，即可求解. 2.【答案】 C 【考点】复数求模 【解析】【解答】由 . 故选:C. 【分析】由复数除法的运算法则求出 ，再由模长公式，即可求解. 3.【答案】 D 【考点】概率的应用 【解析】【解答】 . 故选:D. 【分析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 4.【答案】 B 【考点】函数单调性的性质 【解析】【解答】当 时，函数 在 上单调递减， 所以 ， 的递增区间是 ， 所以 ，即 . 故选:B. 【分析】对 分类讨论，当 ，函数 在 单调递减，当 ，根据对勾函数的性 质，求出单调递增区间，即可求解. 5.【答案】 A 【考点】指数函数的单调性与特
9、殊点，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】由题知 ， ，则 . 故选:A. 【分析】根据指数函数的单调性，可得 ，再利用对数函数的单调性，将 与 对比， 即可求出结论. 6.【答案】 A 【考点】正弦函数的图象，函数的零点与方程根的关系 【解析】【解答】当 时， ， 在 上有且仅有 5 个零点， ， . 故选:A. 【分析】由 求出 范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立 不等量关系，即可 求解. 7.【答案】 C 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，恒过定点的直线，直线与圆的位置关系 【解析】【解答】圆 可化为 . 设 ， 则 的斜率分别为 ， 所以 的方程为 ，即 ， ，即 ，
10、由于 都过点 ，所以 ， 即 都在直线 上， 所以直线 的方程为 ，恒过定点 ， 即直线 过圆心 ， 则直线 截圆 所得弦长为 4. 故选:C. 【分析】设 ，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将 点坐标代入切线方程，抽象出直线 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 8.【答案】 D 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】依题意知， 与 为函数 的“线性对称点”， 所以 ， 故 （当且仅当 时取等号）. 又 与 为函数 的“线性对称点， 所以 ， 所以 ， 从而 的最大值为 . 故选:D. 【分析】根据已知有 ，可得 ，只需求出 的最小值，根据 ，利用基本
11、不等式，得到 的最小值，即可得出结论. 二、多选题 9.【答案】 A,B,D 【考点】命题的否定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，众数、中位数、平均数，二元一次不定方 程 【解析】【解答】选项 ， ，则有 ，但 ，则 或 ， 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，选项 正确； 选项 ，命题“ ，都有 ”的否定是 “ ，使得 ”，所以选项 正确； 选项 ，数据 的平均数为 6， 则数据 的平均数是 7， 所以选项 错误； 选项 ，当 时，方程组为 ， 所以有无数个解，所以选项 正确. 故选:ABD. 【分析】根据充分不必要条件定义和不等式关系可判断 的真假；由全称命题的否定形式，可判断 真 假
12、；根据平均数的性质，判断 的真假；将 代入方程组，即可判断 真假. 10.【答案】 A,B,C 【考点】函数奇偶性的性质，函数的周期性 【解析】【解答】由 知 的周期为 6， ， ， . 故选:ABC. 【分析】由已知可得 是周期为 的函数，结合奇偶性和已知解析式，即可求出函数值，逐项验证 即可. 11.【答案】 B,C 【考点】棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积，空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】如图，取 的中点 ，延长 ， ，并交于点 ， 连接 并延长，设 ， ， 连接 并延长交 于点 .连接 ， ， 则平面四边形 就是平面 与正方体的截面，如图所示. ， 为 的中位线，
13、 为 中点，连 ， ， 三点共线，取 中点 ，连 ， 则 ， ， 为 中点， 分别是正方形 的中心， 所以点 是线段 靠近点 的三等分点， 点 是线段 靠近点 的三等分点， 点 是线段 靠近点 的三等分点. 做出线段 的另一个三等分点 ， 做出线段 靠近 的三等分点 ， 连接 ， ， ， ， ， 所以 多面体 长方体 正方体 从而平面 将正方体分成两部分体积比为 21. 故选:BC. 【分析】 取 的中点 ， 延长 ， ， 并交于点 ， 连 并延长分别交 于 ， 连 并延长交 与 ， 平面四边形 为所求的截面， 进而求出 在各边的位置， 利用割补法求出多面体 的体积，即可求出结论. 12.【答
14、案】 A,D 【考点】直线的倾斜角，双曲线的简单性质 【解析】【解答】设直线倾斜角为 ，则 ，所以 . 在第一象限内，若 ， 则 ， ， 由余弦定理得 ， 整理得 ， 解得 或 （舍）. 若 ，则 ， ， 由余弦定理得 ， 整理得 ， 解得 或 （舍）. 由 ，知 不可能为等边三角形. 故选:AD. 【分析】设直线倾斜角为 ，则 ，求出 可判断选项 ；若 ，可 得 ， 在焦点 中， 由余弦定理得到 齐次关系， 即可求出 ， 可判断选项 真 假；选项 同理求出 ，可判断真假； ，可判断选项 真假. 三、填空题 13.【答案】 -160 【考点】二项式定理 【解析】【解答】因为展开式的通项公式为
15、， 令 ， 解得 ， 则常数项为 ， 故答案为：-160 【分析】 由已知得到二项展开式的通项公式 ， 令 ， 解得 ， 即可求出展开式中的常数项。 14.【答案】 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算 【解析】【解答】由 可得 ， 则 ， 所以 . 故答案为: 【分析】根据已知求出 ，利用向量的运算律，求出 即可. 15.【答案】 0 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】 ， ， ， 切线 的方程： ， 又 过原点，所以 ， ， ， . 当 时， ；当 时， . 故函数 的最小值 ，所以 . 故答案为:0. 【分析
16、】求出 ，求出切线点斜式方程，原点坐标代入，求出 的值，求 ， 求出单调区间，进而求出极小值最小值，即可求解. 16.【答案】 ； 【考点】点到直线的距离公式，点、线、面间的距离计算 【解析】【解答】 边长为 ，则中线长为 ， 点 到平面 的距离为 ， 点 是以 为直径的球面上的点， 所以 到直线 的距离为以 为直径的球面上的点到 的距离， 最大距离为分别过 和 的两个平行平面间距离加半径. 又三棱锥 的底面边长和侧棱长都为 4， 以下求过 和 的两个平行平面间距离， 分别取 中点 ，连 ， 则 ，同理 ， 分别过 做 ， 直线 确定平面 ，直线 确定平面 ， 则 ，同理 ， 为所求， ， ，
17、 所以 到直线 最大距离为 . 故答案为: ； . 【分析】三棱锥 的底面边长和侧棱长都为 4，所以 在平面 的投影为 的重心， 利用解直角三角形，即可求出点 到平面 的距离； ，可得点 是以 为直径的球 面上的点，所以 到直线 的距离为以 为直径的球面上的点到 的距离，最大距离为分别过 和 的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论. 四、解答题 17.【答案】 （1）解：设公差为 .由已知得 ,解得 或 （舍去）, 所以 ,故 （2）解： , 【考点】等差数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】（1）设公差为 ，列出关于 的方程组，求解 的值，即可得到数列的通项 公式；（2）由（1）可得
18、 ，即可利用裂项相消求解数列的和. 18.【答案】 （1）解： ， ， 由正弦定理 得 （2）解：由（1）知 ， ， 所以 ， ， ， 当且仅当 时， 的面积 有最大值 4 【考点】基本不等式在最值问题中的应用，二倍角的余弦公式，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计 算 【解析】【分析】（1）根据已知用二倍角余弦求出 ，进而求出 ，利用正弦定理，即可求解； （2）由 边 角，利用余弦定理结合基本不等式，求出 的最大值，即可求出结论. 19.【答案】 （1）解：由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率 ， 中老年对新高考了解的概率 （2）解： 列联表如图所示 了 解 新 高 考 不 了 解 新
19、高 考 总 计 中 青 年 22 8 30 老 年 8 12 20 总 计 30 20 50 ， 所以有 95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联 （3）解：年龄在 的被调查者共 5 人，其中了解新高考的有 2 人， 则抽取的 3 人中了解新高考的人数 可能取值为 0，1，2， 则 ； ； . 所以 的分布列为 0 1 2 【考点】频率分布表，独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率；（2）根据数据列出 列联表，求出 的观测值，对照表格，即可得出结论；（3）年龄在 的被调查
20、者共 5 人，其中 了解新高考的有 2 人， 可能取值为 0，1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即 可求解. 20.【答案】 （1）解：第一种情况：若将 ， 作为已知条件，解答如下： 设平面 为平面 . ， 平面 ，而平面 平面 ， ，又 为 中点. 设 ，则 . 在三角形 中， ， 由 知 平面 ， ， 梯形 的面积 ， ， ， 平面 ， ， ， ， 故 ， （2）解：第一种情况：如图，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 设 ，则 ， 由（1）得 为平面 的一个法向量， 因为 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 第二种情况：若将 ， 作为已知条件， 则由
21、知 平面 ， ， 又 ，所以 平面 ， ， 又 ，故 为 中点，即 ，解答如上不变. 第三种情况：若将 ， 作为已知条件， 由 及第二种情况知 ，又 ， 易知 ，解答仍如上不变. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】若补充根据已知可得 平面 ，从而有 ，结合 ， 可得 平面 ，故有 ，而 ，得到 ，成立与相同， 成立，可得 ，所以任意补充两个条件，结果都一样，以作为条件分析;（1）设 ，可得 ，进而求出梯形 的面积，可求出 ，即可求出结论； （2） ，以 为坐标原点，建立空间坐标系，求出 坐标，由（1）得 为 平面 的法向量，根据空间向量的线面角公式即
22、可求解. 21.【答案】 （1）证明： ， ， ，当 时， ， 当 时， ， ，故 （2）解：由题知， ， ， 当 时， ， 所以 在 上单调递减，没有极值； 当 时， ，得 ， 当 时， ；当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 故 在 处取得极小值 ，无极大值 （3）解：不妨令 ， 设 在 恒成立， 在 单调递增， ， 在 恒成立， 所以，当 时， ， 由（2）知，当 时， 在 上单调递减， 恒成立； 所以不等式 在 上恒成立，只能 . 当 时， ，由（1）知 在 上单调递减， 所以 ，不满足题意. 当 时，设 ， 因为 ，所以 ， ， 即 ， 所以 在 上单调递增， 又 ，
23、所以 时， 恒成立， 即 恒成立， 故存在 ，使得不等式 在 上恒成立， 此时 的最小值是 1. 【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上 函数的最值 【解析】【分析】（1） ，求出 单调区间，进而求出 ，即可证明结论；（2） 对 （或 ）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出 的解，即可求出结论；（3）令 ，可证 恒成立，而 ，由（2）得， 在 为减函数， 在 上单调递减，在 都存在 ，不满足 ，当 时，设 ，且 ，只需求出 在 单调递增时 的取值 范围即可. 22.【答案】 （1）解：由 得 ，又由 得 ， 则 ，故椭
24、圆 的方程为 （2）解：由（1）知 ， 当直线 的斜率都存在时， 由对称性不妨设直线 的方程为 ， 由 ， ，设 ， 则 ， 则 ， 由椭圆对称性可设直线 的斜率为 ， 则 ， . 令 ，则 ， 当 时， ，当 时，由 得 ，所以 ， 即 ，且 . 当直线 的斜率其中一条不存在时， 根据对称性不妨设设直线 的方程为 ， 斜率不存在， 则 ， ， 此时 . 若设 的方程为 ， 斜率不存在， 则 ， 综上可知 的取值范围是 【考点】两点间的距离公式，椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（1）由已知短轴长求出 ，离心率求出 关系，结合 ，即可求解； （2）当直线 的斜率都存在时，不妨设直线 的方程为 ，直线 与椭圆方程 联立，利用相交弦长公式求出 ， 斜率为 ，求出 ，得到 关于 的表达式，根 据表达式的特点用“ ”判别式法求出 范围，当 有一斜率不存在时，另一条斜率为 ，根据 弦长公式，求出 ，即可求出结论.
