1、2020高考二轮复习 利用导数研究函数零点问题 解读典例解读典例 考点三 例题1 (2019课标全国，20，12分) 已知函数 sinln 1f xxx， fx为 f x的导数.证明: （1） fx在区间1 2 （， ）存在唯一极大值点； （2） f x有且仅有 2 个零点. 考点三 例题1 证明： (1)设 g xfx，则 2 11 cossin 1 1 g xxgxx x x ， 当1 2 x ，时， g x单调递减，又有 00 g ，0 2 g ， 所以 g x在1 2 ，有唯一零点，设为. 则当1x ，时, 0g x;当 2 x ，时, 0g x. 所以 g x在1 ，单调递增,在 2
2、 ，单调递减, 故 g x在1 2 ，存在唯一极大值点,即 fx在1 2 ，存在唯一极大值点. 考点三 （2） f x的定义域为1, (ii)当0, 2 x 时 ,由 (1)知, fx 在 0, 单调 递增, 在, 2 单调 递减, 而 00 f ，0 2 f ，所以，存在, 2 ,使得 0f,且当0,x时, 0fx ;当, 2 x 时, 0fx， 故 f x在0,)单调递增,在, 2 单调递减. 又 00f，1 ln 10 22 f ， 所以当0, 2 x 时 0f x .从而, f x在 0, 2 没有零点. (i)当1,0x 时 ,由 (1)知, fx在1,0上单 调递增 , 而 00
3、f ,所以 当 1,0x 时, 0fx,故 f x在1,0x 单调递减.又 00f,从而0x是 f x在1,0的唯一零点. (iii)当, 2 x 时, 0fx,所以 f x在, 2 单调递减. 而0 2 f , 0f,所以 f(x)在, 2 有唯一零点. 例题1 (iv)当,x时,ln11x,所以 0f x , 从而 f x在,没有零点. 综上, f x有且仅有 2 个零点. 总结提升总结提升 “隐零点”问题：求解导数压轴题时，我们一般对零点设而不求，通过一种整体的代换和 过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决我们称这类问题为“隐零点”问题其处 理方法如下： 第一步：用零点存在性定理判
4、定导函数零点的存在性，列出零点方程 f (x0)0，并结合 f(x)的单调性得到零点的范围； 第二步：以零点为分界点，说明导函数 f (x)的正负，迚而得到 f(x)的最值表达式； 第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子迚行化简证明；有时候第一步中的零 点范围还可以适当缩小，我们将其称为隐形零点三部曲导函数零点虽然隐形，但只要抓住 特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可 考点三 解： （1） f x的定义域为0,， 1 1 lnln2fxxxx x ， 令 0fx，得 2 1 x e .当 2 1 0,x e 时, 0;fx 当 2 1 ,x e 时, 0;f
5、x故 0;fx f x的的单调增区间为 2 1 , e ,单调减区间 2 1 0, e . 因为 11,12f f ,故所求切线方程为21yx. 例题2 已知函数 1 lnf xxx (1) 求函数 f x的单调区间及其图象在点1x 处的切线方程； (2) 若kZ，且 1k xf x对任意1x 恒成立，求k的最大值. 考点三 （2）由（1）知， 1k xf x对任意1x 恒成立，即 ln 1 xxx k x 对任意1x 恒成立， 令 ln 1 1 xxx g xx x ，则 2 ln2 1 xx gx x ，令 ln21h xxxx， 则 11 1 x hx xx ，当 1,x 时, 0;h
6、x h x单调递增， 因为 31 ln30,422ln40hh ，所以存在唯一实数 0 1,x ， 使 0 0h x，且 0 3,4x ，所以当 0 1,xx时， 0,0,h xg xg x单调递减； 当 0, xx时， 0,0,h xg xg x单调递增， 所以当 0 xx时， g x取得最小 值 0 ,g x由 0 0h x，得 00 ln20xx， 考点三 所以 0000 00 min 00 1 ln12 11 xxxx g xg xx xx 所以，使 0 kg x且kZ时，k的最小值为 3 例题2 总结提升总结提升 “隐零点”问题：求解导数压轴题时，我们一般对零点设而不求，通过一种整体
7、的代换和 过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决我们称这类问题为“隐零点”问题其处 理方法如下： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 f (x0)0，并结合 f(x)的单调性得到零点的范围； 第二步：以零点为分界点，说明导函数 f (x)的正负，迚而得到 f(x)的最值表达式； 第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子迚行化简证明；有时候第一步中的零 点范围还可以适当缩小，我们将其称为隐形零点三部曲导函数零点虽然隐形，但只要抓住 特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可 考点三 例题3 已知函数 1 2lnf xaxx aR . (
8、1)当1a 时,求证: 0fx ; (2)若函数 fx有两个零点,求实数a的取值范围. (1)证明:1a 时, 2 1 2ln0 ,10f xxx xf ， 2112 2 xx fxx xx ，当0,1x时, 0fx, 当1,x时, 0fx ,当1x 时,函数 f x取得最小值, 10f xf,即 0f x . 考点三 （2） 2 20fxaxx x ， 当0a时, 0fx ,函数 f x在(0,+)上单调递减,至多有一个零点,不符合题意. 例题3 当0a时, 11 2 2 20 a xx aa fxaxx xx 可得 1 x a 时,函数 f x取得最小值. 1 2lnf xaxx aR 当
9、0x时, f x ;又 22 1 ln0f aaa 函数 f x有两个零点 min 1 ln0f xfa a ,解得01a. 实数a的取值范围是0 1， 总结提升总结提升 对于对于含参函数的零点个数，含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论：一般可从两个方面讨论： 一是利用导数研究函数的单调性和极值，作出一是利用导数研究函数的单调性和极值，作出 函数的大致图象，根据函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号极大值和极小值的符号确定确定 函数零点的个数；函数零点的个数； 二是分离参数，将问题二是分离参数，将问题转化为求转化为求ya和和yf(x) 的图象的图象的交点个数问题求解的交点个数问题求解 THANKS
