1、高三数学试卷 第 1 页 共 11 页 松江区 2019 学年度第二学期模拟考质量监控试卷 高三数学 （满分 150 分，完卷时间 120 分钟） 2020.5 考生注意： 1本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择 题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。 2答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。 3答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。 一、一、填空题（本大题共有填空题（本大题共有 12 题题，满分满分 54 分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写 结果，第结果，第
2、 16 题每个题每个空格填对空格填对得得 4 分，第分，第 712 题每个空格填对题每个空格填对得得 5 分，否则一律得零分，否则一律得零 分分 1若集合2,4,6,8A， 2 |40Bx xx，则ABI= 2已知复数 1 z a2i， 2 z23i（i是虚数单位） ，若 12 zz是纯虚数，则实数a= 3已知动点P到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x 的距离，则点P的轨迹方程为 4等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1537 4,12aaaa，则 7 S= 5若 8 ()xa的展开式中 5 x项的系数为56，则实数a= 6 已知数列 n a的首项 1 1a， 且满足 1 0
3、12 nn aa* ()nN， 数列 n a的前n项和为 n S， 则lim n n S 7用半径为2米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器,则这个容器的容积是 立方米 8若函数 2 ( )log (21) x f xkx是偶函数，则k= 9已知等边ABC的边长为2 3，点P是其外接圆上的一个动点，则PA PB uur uur 的取值范围 是 10已知函数( )cos(2) 6 f xx，若对于任意的 1 , 4 4 x，总存在 2 , xm n，使得 12 ( )()0f xf x，则mn的最小值为_ 11 已知集合 12 ( ,)1,1,2, LL nni Ax xxxin， 元素1(1,1,
4、1)L n 称为集合 n A的 特征元素对于 n A中的元素 12 ( ,)L n aa aa与 12 ( ,)L n bb bb，定义： 1122 ()L nnn f abababab当9n时，若a是集合 9 A中的非特征元素，则 99 (1)1fa的概率为 高三数学试卷 第 2 页 共 11 页 12已知函数 2 0 ( ) log ()0 a xx f xx xx (aR且a为常数)和( )(g xkkR且k为常 数)，有以下命题： 当0k 时，函数( )( )( )F xf xg x没有零点； 当0x时， 2 ( )( )( )h xfxb f xc 恰有 3 个不同的零点 123 ,
5、x x x，则 123 1xxx ； 对任意的0k ，总存在实数a，使得( )( )( )F xf xg x有 4 个不同的零点 1234 xxxx，且 1243 ,xxxx成等比数列 其中的真命题是 （写出所有真命题的序号） 二、二、选择题（本大题共有选择题（本大题共有 4 题题，满分满分 20 分）每题分）每题有且有且只有一个正确答案，考生应在答题纸只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13若O为坐标原点，P是直线20xy上的动点，则OP的最小值为 (A) 2 2
6、 (B) 2 (C) 3 (D) 2 14若1xa成立的一个充分不必要条件是12x，则实数a的取值范围是 (A) 12a (B) 1a (C) 2a (D) 1a或 2a 15在正方体 1111 ABCDABC D中，P、Q两点分别从点B和点 1 A出发， 以相同的速度在棱BA和 11 AD上运动至点A和点 1 D，在 运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为 (A) , 4 3 (B) 2 arctan,arctan2 2 (C) ,arctan2 4 (D) 2 arctan, 22 16已知实数 12100 , 1,1x xx ，且 12100 xxx，则当 222 1210
7、0 xxx取 得最大值时， 12100 ,x xx这100个数中，值为1的个数为 (A) 50个 (B) 51 个 (C) 52 个 (D) 53个 高三数学试卷 第 3 页 共 11 页 三、解答题三、解答题（本大题满分（本大题满分 76 分）分）本大题共有本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤 17 （本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，个小题，第第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 如图，已知四棱锥PABCD的底面是正方
8、形，PA底面ABCD， 2APABAD，E是侧棱PB的中点 （1）求异面直线AE与PD所成的角； （2）求点B到平面ECD的距离 18 （本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，个小题，第第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 已知函数 2 ( )2cos2 3sin cosf xxxx （1）求( )f x的最大值和最小正周期T； （2）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知()3 2 A f，且1a， 求ABC面积的最大值 19 （本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，个小题，第第 1
9、小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，某地政府决定为防护服生产企业 A 公司扩大生产提 供(0,10)x x(万元)的专项补贴， 并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护服 A 公司 在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到 12 6 4 tk x (万套)，其中k为工厂 工人的复工率 （0.5,1k ） A 公司生产t万件防护服还需投入成本(20850 )xt(万元) （1）将 A 公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数； （2）对任意的0,10x(万元)，当复工率k达到多少时，A 公司才能不产生亏损？
10、（精确 到 0.01）. P A E B C D 高三数学试卷 第 4 页 共 11 页 20(本题满分本题满分 16 分分)本题共有本题共有 3 个小题个小题，第第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题小题 满分满分 6 分分 如图，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 经过圆 22 :(1)4N xy与x轴的两个 交点和与y轴正半轴的交点 （1）求椭圆M的方程； （2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值； （3）若不平行于坐标轴的直线l交椭圆M于A B、两点，交圆N于CD、两点，且满足 ACD
11、B，求证：线段AB的中点E在定直线上 21(本题满分本题满分 18 分分)本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题小题 满分满分 8 分分 已知函数( )f x的定义域为D， 若存在实常数及(0)a a ， 对任意xD， 当x a D 且xaD时，都有()()( )f xaf xaf x成立，则称函数( )f x具有性质 ( , )Ma. （1）判断函数 2 ( )f xx是否具有性质( , )Ma，并说明理由； （2）若函数( )sin2sing xxx具有性质( , )Ma，求及a应满足的条件； （
12、3）已知函数( )yh x不存在零点，当xR时具有性质 1 (,1)M t t （其中0,1tt） ， 记( ) n ah n * ()nN,求证：数列 n a为等比数列的充要条件是 2 1 a t a 或 2 1 1a at . 高三数学试卷 第 5 页 共 11 页 松江区 2019 学年度第二学期模拟考质量监控试卷 高三数学参考答案 一填空题一填空题 12,4 23 3 2 4yx 428 51 62 7 3 3 8 1 2 9 2,6 10 3 11 18 73 12 二、选择题二、选择题 13B 14A 15C 16B 三解答题三解答题 17如图，已知四棱锥PABCD的底面是正方形，
13、PA底面ABCD， 2APABAD，E是侧棱PB的中点 （1）求异面直线 AE 与 PD 所成的角； （2）求点 B 到平面 ECD 的距离 解： （1）连 AC、BD，两直线交于点 O，连 EO， 因为 E、O 分别是 PB、DB 的中点，所以 EO/PD， 所以AEO就是异面直线 AE 与 PD 所成的角 3 分 因为ABCD为正方形，且2APABAD， 所以 1 2 2 AEAOEOPD 4 分 所以60AEO 6 分 （2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 2APABAD，点 E 是棱 PB 的中点， (2,0,0)B，(0,0
14、,2)P，(1,0,1)E，(0,2,0)D，(2,2,0)C，(0,2,0) uuu r BC， (2,0,0) uuu r DC，(1, 2,1)DE uuu r ，8 分 设平面 ECD 的法向量( , , ) r nx y z， 则由 0 0 r uuu r r uuu r n DC n DE 得 20 20 x xyz 取 z2，得(0,1,2)n r ，11 分 点 B 到平面 ECD 的距离： 高三数学试卷 第 6 页 共 11 页 22 5 55 BC n d n uuu r r r14 分 18已知函数 2 ( )2cos2 3sin cosf xxxx （1）求( )f x
15、的最大值和最小正周期T； （2）在ABC中，内角A、B、C的所对的边分别为a、b、c，已知()3 2 A f，且1a， 求ABC面积的最大值. 解： （1） 2 ( )2cos2 3sin cos1 cos23sin212sin(2) 6 f xxxxxxx4 分 max( ) 3fx， 5 分 2 2 T 6 分 （2）由()3 2 A f 得 sin()1 6 A 因为(0, )A ，所以 62 A ，得 3 A ， 8 分 因为1a，由余弦定理，得 22 12cos 3 bcbc ，10 分 由 22 12bcbcbcbcbc 得 1bc，当且仅当bc时取得等号12 分 ABC面积 11
16、33 sin 2224 ABC SbcAbc ， ABC面积的最大值为 3 4 14 分 19新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业 A 公司扩大生产提 供(0,10)x x(万元)的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护服A 公司 在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到 12 6 4 tk x (万件)，其中k为工厂工 人的复工率（0.5,1k ） A 公司生产t万件防护服还需投入成本(20850 )xt(万元) （1）将 A 公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数； （2）对任意的0,10x(万元)，当复工率k达到多少时， A
17、 公司才能不产生亏损？（精确 到 0.01）. 解： （1）80(20850 )30208ytxttx4 分 高三数学试卷 第 7 页 共 11 页 12360 30 (6)208180820 44 k kxkx xx ，0,10x6 分 （2）若对任意的0,10x，公司都不产生亏损， 则 360 1808200 4 k kx x 在0,10x恒成立 8 分 即 1(4)(25) 452 xx k x ，记2tx，则2,12t， 此时 (4)(25)(2)(21)2 25 2 xxtt t xtt 由于函数 2 ( )25f tt t 在2,12t单调递增 10 分 所以当2,12t时， ma
18、x 1 ( )(12)2929.167 6 ftf 12 分 1 29.1670.648 45 k 即当工厂工人的复工率达到0.65时，对任意的0,10x，公司都不产生亏损. 14 分 20如图，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 经过圆 22 :(1)4N xy与x轴的两个 交点和与y轴正半轴的交点 （1）求椭圆M的方程； （2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值； （3）若不平行于坐标轴的直线l交椭圆M于A B、两点，交圆N于CD、两点，且满足 ACDB，求证：线段AB的中点E在定直线上 解： （1）在方程 22 (1)4xy中，令0,0yx
19、，解得 3,3xa.令0,0xy，解得1,1yb 椭圆M方程为： 2 2 1 3 x y.4 分 （2）| | | 2PQPNNQPN6 分 设( , )P x y，(0, 1)N，则 222222 19 |(1)3 3(1)2242() 22 PNxyyyyyy8 分 1 2 y时， max 3 |2 2 PN N A P D O x y Q C B E 高三数学试卷 第 8 页 共 11 页 max 3 |22 2 PQ 10 分 （3）解法一：设 11223344 ( ,), (,), (,),(,)A x yB xyC x yD xy 31312424 (,),(,)ACxx yyDB
20、xx yy 31243124 ,ACDBxxxx yyyy 12341234 ,xxxxyyyy 12 分 设:(0)l ykxm k，代入 2 2 1 3 x y得： 2 2 ()1 3 x kxm 即： 222 12 2 12 ()210, 1 3 3 km kxkmxmxx k 代入 22 (1)4xy得： 22 (1)4xkxm 即 222 34 2 2 (1) (1)2 (1)(1)40, 1 k m kxk mxmxx k 14 分 2 2 2 22 (1)12 , 1 133 3 kmk m km k k 12 2 22 3 12 33 kmkm xxk km 2 1212 21
21、 ()2323()21 33 yyk xxmkmmm 31 , 22 EE xk y ， 所以点 E 在直线 1 2 y 上 16 分 解法二：设 11223344 ( ,), (,), (,),(,)A x yB xyC x yD xy 31312424 (,),(,)ACxx yyDBxx yy 31243124 ,ACDBxxxx yyyy 12341234 ,xxxxyyyy12 分 E也是弦CD的中点， , | |ENDCENABANBN 2222 1122 (1)(1) ,xyxy14 分 2222 1122 33,33xyxy N A P D O x y Q C B E 高三数学
22、试卷 第 9 页 共 11 页 代入化简，得： 12121212 ()(1)0,0,1yyyyyyyy 12 11 () 22 E yyy 所以点 E 在直线 1 2 y 上16 分 21 已知函数( )f x的定义域为D， 若存在实常数及(0)a a ， 对任意xD， 当x a D 且xaD时，都有()()( )f xaf xaf x成立，则称函数( )f x具有性质 ( , )Ma，集合( , )Ma叫做函数( )f x的M性质集. （1）判断函数 2 ( )f xx是否具有性质( , )Ma，并说明理由； （2）若函数( )sin2sing xxx具有性质( , )Ma，求( )g x的
23、M性质集； （3）已知函数( )yh x不存在零点，且当xR时具有性质 1 (,1)M t t （其中0,1tt） ， 若( ) n ah n * ()nN,求证：数列 n a为等比数列的充要条件是 2 1 a t a 或 2 1 1a at . 解： （1）若函数 2 ( )f xx具有M性质，则存在实常数及(0)a a ，使得 222 ()()xaxax对任意的x都成立2 分 即： 222 22xax 2,0a，不合题意，舍 函数 2 ( )f xx不具有M性质 4 分 （2）由题意：存在实常数及(0)a a ， 使得()()( )g xag xag x对任意的x都成立 即：sin2()s
24、in()sin2()sin()(sin2sin )xaxaxaxaxx 化简，得： (2cos2)sin2(2cos)sin0axax(1)对任意的x都成立6 分 在(1)中令 2 x ，得：2cos0a，代入(1)，得：2cos20a 所以 2cos0 2cos20 a a 解得 2 cos1a 或 1 1 cos 2 a 8 分 高三数学试卷 第 10 页 共 11 页 所以 2 2,0,akkkZ 或 1 2 2, 3 akkZ 10 分 （3）证明：由函数( )yh x不存在零点，且具有性质 1 (,1)M t t 知， 对任意的 * 2,nnN，都有 1 (1)(1)() ( )h
25、nh nth n t 即 11 1 () nnn aata t 12 分 11 1 nn nn aa t aat ， 记 1n n n a b a ，则 1 11 n n bt bt * 2,nnN 14 分 充分性：当 2 1 a t a 时， 1 bt，反复代入式得 23 , n bt btbt 即对任意的 * nN ，都有 1n n n a bt a ，数列 n a是以 1 a为首项，t为公比的等比数列 同理，当 2 1 1a at 时，数列 n a是以 1 a为首项，1 t 为公比的等比数列16 分 必要性：若数列 n a是等比数列，不妨设 23 12 0 aa s aa ，则 2 1
26、 11 bs bs 又由知 2 1 11 bt bt 11 st st ， 11 st st tsts ，即 st或 1 s t 即 2 1 a t a 或 2 1 1a at . 18 分 证法二 由函数( )yh x不存在零点，且具有性质 1 (,1)M t t 知， 对任意的 * 2,nnN，都有 1 (1)(1)() ( )h nh nth n t 即 11 1 () nnn aata t 12 分 对变形可得如下两式 11 1( ) nnnn ataata t 高三数学试卷 第 11 页 共 11 页 11 11 () nnnn aat aa tt 由得 111221 21 111 ()()() nnnnnn n ataataataata ttt 由得 21 111221 1111 ()()() n nnnnnn aat aataataa tttt -得： 1 212 1 111 ()()() n n n t aatata ttt 1221 22 111 ()() 1 n n n ataaata ttt 16 分 当. 2 1 a t a 时， 1 1 n n aa t ，当 2 1 1a at 时， 1 1 n n a a t ，此时 n a是等比数列； 当 2 1 a t a 且 2 1 1a at 时，显然 n a不是等比数列 18 分
