1、江苏南师大附中江苏南师大附中 20222023 学年高三一模适应性考试数学学年高三一模适应性考试数学一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，共小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若集合2|log4Mxx，|21Nxx，则MN（）A.08xxB.182xxC.216xxD.1162xx2.已知mR，且3i1 2i1 im，其中i是虚数单位，则2im等于（）A.5B.5C.2D.13.等比数列na的前n项和为nS，若3315,5Sa，则公比q的值为（）A.12B.1C.12或 1D.12或 14.下如图是世
2、界最高桥贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆 PA，PB，PC，PD 的一端 P 在垂直于水平面的塔柱上，另一端 A，B，C，D 与塔柱上的点 O 都在桥面同一侧的水平直线上.已知8mAB，16mBO，12mPO，0PB PC .根据物理学知识得11222PAPBPCPDPO ，则CD（）A28mB20mC31mD22m5.已知实数0,0ab，则223baab的取值范围是（）A.)1,2B.)1,2(C.1.2(D.1,26.函数()f x的定义域为 R，且(21)fx 为偶函数，()(1)(2)f xf xf x，若(1)2
3、f，则(18)f()A.1B.2C.1D.27.已知 326911f xxxxf x，的一条切线 g xkxb与 f（x）有且仅有一个交点，则（）A.33kb，B.33kb ，C.33kb，D.33kb，8.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为 24，棱长为2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为（）A12,32B13,32C1
4、2,22D13,22二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知事件 A，B 满足 0.5P A，0.2P B，则（）A.若BA，则0.5P AB B.若 A 与 B 互斥，则0.7P ABC.若 A 与 B 相互独立，则0.9P AB D.若|0.2P B A，则 A 与 B 相互独立10.已知随机变量 X 的概率密度函数为22()21()(0,0)2x baxeaba，且()x的极大值点为2xa，记，则()A.(,)XN b aB.2(2,)XNa aC.D.11.下列说法中，其中正确的是
5、()A.命题：“30,1 0 xxx”的否定是“30,10 xxx ”B.化简22cos 5sin 5sin40 sin50的结果为 2C.012233222nnnnCCCC23nnnnCD.在三棱锥PABC中，2 3PAABPBAC，2 6CP，点D是侧棱PB的中点，且21CD，则三棱锥PABC的外接球O的体积为28 73.12.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数
6、的表达式可以为 xxfxaebe（其中a，b是非零常数，无理数2.71828e），对于函数 fx以下结论正确的是()A.ab是函数 fx为偶函数的充分不必要条件；B.0ab是函数 fx为奇函数的充要条件；C.如果0ab，那么 fx为单调函数；D.如果0ab，那么函数 fx存在极值点.三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分）13.过点(3,2)P且与圆 C：222410 xyxy 相切的直线方程为_14.数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数22222
7、2221231112220设222225abcd，其中 a，b，c，d 均为自然数，则满足条件的有序数组,a b c d的个数是_.15.已知直线:1l y ，抛物线2:4C xy的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于,A B两点，点B关于y轴对称的点为P.若过点,A B的圆与直线l相切，且与直线PB交于点Q，则当3QBPQ 时，直线AB的斜率为_.16.三个元件a，b，c独立正常工作的概率分别是1P，2P，3P12301PPP，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒1T，2T，3T中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是_四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小
8、题，共小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)已知函数()sin()(0,0,0,|)2f xAxB AB在一个周期内的图象如图所示(1)求函数()f x的表达式；(2)把()yf x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2(3纵坐标不变)，再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移36个单位，得到函数()yg x的图象，若0,2x，求函数()yg x的值域18.(本小题 12.0 分)已知数列na，nb满足1124ab，且na是公差为 1 的等差数列，nnab是公比为 2 的等比数列(1)求na，nb的
9、通项公式；(2)求|nb的前 n 项和.nT19.(本小题12.0分)某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行 PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局，第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲、乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为13，12，快问快答局获胜与平局的概率分别为13，16，抢答局获胜的概率为13，且各局比赛相互独立.(1)求甲至多经过两局
10、比赛晋级决赛的概率；(2)知乙最后晋级决赛，但不知甲、乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率.20.(本小题12.0分)如图，在四棱锥PABCD中，侧棱PD 矩形ABCD，且PDCD，过棱 PC 的中点 E，作EFPB交 PB 于点 F，连接,.DE DF BD BE()证明：.PBDF()若1PD，平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为3，求P DEFV的值21.(本小题12.0分)已知 F1（6，0），F2（6，0）为双曲线 C 的焦点，点 P（2，1）在 C 上(1)求 C 的方程；(2)点 A，B 在 C 上，直线 PA，PB 与 y 轴分别相交于 M，N
11、 两点，点 Q 在直线 AB 上，若OM=0ON，PQ AB 0，是否存在定点 T，使得|QT|为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由。22.(本小题12.0分)已知函数()sinf xxkx，其中01k（1）设函数21()()2g xxf x，证明：()g x有且仅有一个极小值点；记0 x是()g x的唯一极小值点，则0012g xx；（2）若1k，直线l与曲线()yf x相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线l的方程数学参考答案数学参考答案一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，共小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）分。在每
12、小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.D.2.B3.C4.D【解析】因为0PB PC ，所以PBPC，因为POBC，所以POCBOP，所以POOCOBPO，所以2POOB OC，因为16mBO，12mPO，所以9mOC，设M，N分别为,AB CD的中点，因为11222PAPBPCPDPO ，所以2PMPNPO ，所以O为MN的中点，因为8mAB，16mBO，所以20mOM，所以20mON，所以20911mCNONOC，所以222mCDCN5.A【详解】根据题意，设直线l：0axby，设点1,3A那么点1,3A到直线l的距离为：223abdab，因为0,0ab，所以223abdab，且直线l
13、的斜率0akb，当直线l的斜率不存在时，2231ababd，所以1d，当OAl时，max1 32dOA，所以12d，即22123abab，因为222233baababab，所以22321baab ，6.A【解答】方法一（特殊化）解：(21)fx 为偶函数，则()f x关于1x 对称，取()2sin()36f xx关于1x 对称，1(1)2sin()2cos323f xxx，(1)()(2)f xf xf x，即1()2sin()36f xx满足条件，(18)2sin(6)1.6f方法二（略）7.A【详解】设切点为00(,()xf x，2()3129fxxx，2000()3129fxxx，所以切
14、线方程为322000000(6911)(3129)()yxxxxxxx，由323220000006911(6911)(3129)()yxxxyxxxxxxx，得323220000006911(6911)(3129)()xxxxxxxxxx，整理得 200260 xxxx，切线 g xkxb与 f（x）的图象有且仅有一个交点，所以0026xx，02x，所以切线方程为33yx，所以3,3kb，8.C【解析】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.因为半正多面体的棱长为2，故正方体的棱长为2.所以2,1,0,2,2,1AF，1,0,2,0,1,2,1,2,2,0,1,1,1,1,0BC
15、DAFBC .设,0,0,1BEBC ，则1,2,2,0EDE .所以222cos,2(2)AF DEAF DEAF DE 2221(2)11222(2)222212(2).令12t11,2，则21cos,2 221AF DEtt ，因为21221,12tt，所以21cos,22AF DE .故直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为12,22.9.BD【详解】解：对于 A，因为 0.5P A，0.2P B，BA，所以()0.2P ABP B，故错误；对于 B，因为 A 与 B 互斥，所以()()0.50.20.7P ABP AP B，故正确；对于 C，因为 0.2P B，所以 1 0.2
16、0.8P B ，所以0.5 0.80.4P AB，故错误；对于 D，因为|0.2P B A，即0.2()P ABP A，所以0.2()0.1P ABP A，又因为()()0.5 0.20.1P AP B，所以()()P ABP AP B，所以 A 与 B 相互独立，故正确.10.BCD 解：对于 A，由随机变量 X 的概率密度函数为22()21()2x baxea可得22,ba，所以随机变量 X 服从正态分布，2(,)XN b a，故 A 错误；对于 B，因为二次函数22()2xbya 在上单调递增，在上单调递减，由函数xye在 R 上单调递增，根据复合函数的单调性可得22()21()(0,0
17、)2x baxeaba在上单调递增，在上单调递减，所以()x的极大值点为xb，所以2ab，所以随机变量 X 服从正态分布，2(2,)XNa a，故 B 正确；对于 C，因为()()f aP Xa，(2)(3)gaP Xa，又32 2aaa，所以()(3)P XaP Xa，即()(2)f aga，故 C 正确；对于 D，因为1(2)(2)2faP Xa，1()(2)2g aP Xa，所以1(2)(2)()()()2fagaf ag af a，故 D 正确.11.BCD 解：存在量词命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，命题：“30,1 0 xxx”的否定是“30,10 xxx”，故选A 错2
18、255cos10cos10sin802.11sin40 sin50sin40 cos40sin80sin8022cossin故 B 正确；012233222nnnnCCCC2(12)3nnnnnC，故 C 正确；.如图所示，由2 3PAABPBAC，2 6CP，得PAAC,由D是PB的中点，2 3PAABPB，解得3AD，又21CD，所以222CAADCD，得CAAD，又ADAPA，,AP AD 平面PAB，所以AC 平面PAB设球心为O，点O到底面PAB的距离为132dAC，由正弦定理得PAB的外接圆半径2 322sin60322PAr，在三角形OAE中，球O的半径2222327OARdr，
19、所以三棱锥PABC的外接球O的体积为3334473328 7VR.故 D 正确；12.BCD；【解析】对于 A 当ab时，函数()f x定义域为 R 关于原点对称=xxfxaebef x，故函数()f x为偶函数，当函数()f x为偶函数时，()()=0f xfx故0 xxab eba e2=xab eab，又因为()f x定义域为 R，所以2xe不为1，故ab所以ab是函数 fx为偶函数的充要条件，故错误.对于 B 当0ab时，函数()f x定义域为 R 关于原点对称()()=0 xxf xfxab eab e，故函数 fx为奇函数当函数 fx为奇函数时()()=0 xxf xfxab ea
20、b e，因为e0 x，0 xe故0ab.所以0ab是函数 fx为奇函数的充要条件，故正确.对于 C=xxefaexb因为0ab 若0,0ab则=0 xxaefxbe恒成立，则 fx为单调递增函数，若0,0ab则=0 xxaefxbe恒成立，则 fx为单调递减函数，故0ab，函数 fx为单调函数，故正确.对于 D 2=xxxxaebaebeefx，令=0fx得1=ln2bxa，又因为0ab 若0,0ab当1ln2bxa，0fx，函数 fx为单调递减.当1ln2bxa，()0fx，函数 fx为单调递增.函数()f x存在唯一的极小值.若0,0ab当1ln2bxa，()0fx，函数 fx为单调递增.
21、当1ln2bxa，0fx，函数 fx为单调递减.故函数()f x存在唯一的极大值.所以函数存在极值点，故正确.故答案为：BCD；133x 或3410 xy解：将圆 C 方程化为圆的标准方程，得圆心(1,2)C，当过点(3,2)P的直线斜率不存在时，直线方程为3x 是圆 C 的切线，满足题意；当过点(3,2)P的直线斜率存在时，可设直线方程为2(3)yk x，利用圆心到直线的距离等于半径得，解得34k ，即此直线方程为3410 xy，故答案为：3x 或3410 xy.14.28【解析】显然 a，b，c，d 均为不超过 5 的自然数，下面进行讨论最大数为 5 的情况：2222255000，此时共有
22、144A 种情况；最大数为 4 的情况：2222254300，此时共有2412A 种情况；2222254221，此时共有2412A 种情况当最大数为 3 时，222222223322253321，故没有满足题意的情况综上，满足条件的有序数组,a b c d的个数是4 12 122815.24【详解】如图，易知过点,A B且与直线l相切的圆就是以AB为直径的圆，设1122,A x yB x y，则1222,Q x yPxy，由3QBPQ 有212xx，设直线AB的方程为1ykx，代入24xy有2440 xkx，所以12124,4xxk x x，结合212xx，得24k .故答案为:2416.33
23、12123PPP PPP P【详解】由题意，元件a，b，c不正常工作的概率分别为11P，21P，31P电路正常工作的条件为1T正常工作，2T，3T中至少有一个正常工作，（1）若1T，2T，3T接入的元件为a，b，c或a，c，b，则此电路正常工作的概率是1231213123111PPPPPPPPP P；（2）若1T，2T，3T接入的元件为b，a，c或b，c，a，则此电路正常工作的概率是1313221322111PPPPPP PPP P；（3）若1T，2T，3T接入的元件为c，a，b或c，b，a，则此电路正常工作的概率是1333212123111PPPPPP PPP P因为12301PPP，所以1
24、21312313131212322233PPPPPP PPPP PPP PPPP PPP P，所以此电路正常工作的最大概率是3312123PPP PPP P.故答案为：3312123PPP PPP P17解：(1)根据函数图象可得23(1)4A ，2A，3(1)2B，1B，1193=2126124T，得32=2T，43，3 分分又()=36f，42sin()+1=336，2sin(+)=19，2+=+292k，kZ，又|2，518，45()2sin()+1318f xx；6 分分(2)把()yf x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2(3纵坐标不变)得到52sin(2)+118yx，再向下平移
25、一个单位得到52sin(2)18yx，再向左平移36个单位得到52sin2()+=2sin(2)36183yxx，9 分分()2sin(2)3g xx，当0,2x时，42333x，3sin(2)123x，()3,2g x，即()g x值域为3,2.12 分分18.解：(1)由题意可得：413nann，1(42)22.nnnnab23.nnbn4 分分11(2)2(1)3(23)21 10nnnnnbbnn，*nN，1nnbb，数列 nb单调递增，6 分分12 1 32b ，222231b ，332332b ，3n时，0nb，1n时，12T；2n 时，22 13T ；3n时，343nTbb343
26、(22nb2)67n(3)n28(1 2)(2)(63)31 22nnn1(2)(9)25.2nnn 12,1.(2)(9)25,22nnnTnnn 12 分分19.解：(1)设甲至多经过两局比赛晋级决赛为事件 A，则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜，则1111().3232P A 3 分分(2)记乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛分别为事件 B，C，D，则111()1()326P B ，1111()(1)2364P C，1111()(1)26318P D，9 分分故在乙最后晋级决赛的前提下，乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为121811117641812 分分20.()证明：因为PD
27、 矩形 ABCD，所以PDBC，由底面 ABCD 为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC 平面.PCD而DE 平面PCD，所以.BCDE又因为PDCD，点 E 是 PC 的中点，所以.DEPC而PCBCC，所以DE 平面.PBC而PB 平面PBC，所以.PBDE又PBEF，DEEFE，所以PB 平面.DEF所以PBDF得证4 分分()如图，以 D 为原点，射线,DA DC DP分别为,x y z轴的正半轴，建立空间直角坐标系5 分分因为1PDDC，设BC，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)DPBC，(,1,1)PB，点 E 是 PC 的中点，所以1 1(0,)
28、2 2E，由PD 平面ABCD，所以(0,0,1)DP 是平面 ABCD 的一个法向量；6 分分由()知，PB 平面DEF，所以(,1,1)BP 是平面 DEF 的一个法向量8 分分若平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为3，则，解得2.10 分分所以112,24PBPFPB，11111212.4432248P DEFFPDEB PDEVVV 12 分分21（1）设双曲线 C 的方程为22221xyab，0,0ab由题意知22226341136caabbab，解之得，双曲线 C 的方程为22133yx3 分分（2）设直线 AB 的方程为ykxm，A（1x、1y），B（2x，2y），
29、P（2，1）2222212303ykxmkxkmxmxy，整理得，则210k，0，21212222=311kmmxxx xkk，5 分分直线 PA 方程为111212yyxx，令0 x，则11120,2xyMx，同理 N（0，22222xyx），7 分分由0OMON，可得21221222022xyxyxx11221222022xkxmxkxmxx1221212221220kxmxkxmx 12124224280kmxxkx xm22223422428011kmmkmkmkk22212213410kmkmkmmk22222422263440k mkmkmkmkmmmk224630mkmk，321
30、0mmk10 分分当210mk 时，21mk，此时直线 AB 方程为21yk x恒过定点 P（2，1），显然不可能3m ，直线 AB 方程为3ykx恒过定点 E（0，3）0PQ AB ，PQAB，取 PE 中点 T，T（1，2）122QTPE为定值，存在 T（1，2）使|QT|为定值212 分分22.公众号：高中试卷君【详解】（1）依题意，21()sin2g xxxkx，求导得：()1cosg xxkx，令 1cost xxkx，则()1sin10t xkxk，函数 t x即()g x在 R 上单调递增，又(1)cos10,()1022gkg ，则存在0(1,)2x，使得00gx，且当0,xx
31、 时，()0g x，()g x单调递减，当0,xx时，()0g x，()g x单调递增，所以0 x为()g x的唯一极小值点3 分分由知，00gx，即00cos1xkx，0(1,)2x，则0000000011cos1sincos1sin,0122g xxkxxkxxkxkxk，因此，要证0012g xx，只需证0001(cosn)si02kxxx，即证0001cossin02xxx，因为001,cos02xx，从而只需证00cossin4xx，即0tan4x，而0tantan1tan144x，所以0012g xx.7 分分（2）依题意，()sinf xxx，求导得：()1 cosfxx，则函数
32、()f x在点 11,xf x处的切线 l 的方程为11111 cossincosyxxxxx，若直线 l 恰好与曲线()f x相切且有无穷多个切点，任取两个不同的切点(,(),(,()A a f aB b f b，则在此两点处的切线为同一直线，即1cos1cossincossincosabaaabbb，于是有coscosab，则sinsinab或sinsinab，若sinsinab，从而得：()cos0aba，显然0ab，则cos0a，若sinsinab，取异于 A，B 外的另一个切点(,()C c f c，则有coscoscosabc，sincossincossincosaaabbbccc，如果sinsinac，则有cos0a，如果sinsinac，则sinsinbc，因此coscoscos0bca，从而恒有cos0a，即sin1a ，于是得直线 l 的方程为10 xy 或10 xy，当切线方程为10 xy 时，切点为(2,21),Z22mmm，当切线方程为10 xy 时，切点为(2,21),Z22nnn，所以直线 l 的方程为10 xy 或10 xy 12 分分
