1、2020 年名校联盟高考数学模拟试卷（文科）（年名校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题） 1已知已知 i 为虚数单位，则为虚数单位，则（ ） Ai B i Ci Di 2已知集合已知集合 Ax|2x2，Bx|x22x0，则，则 A（RB）（）（ ） A B（1， ） C（ ，1） D（1，1 3设设（1，），），（2，3），若），若 （ 2 ），则），则 （ ） A B C1 D1 或或 5 4已知双曲线已知双曲线1 的离心率为的离心率为 2，则双曲线，则双曲线y21 的焦距是（的焦距是（ ） A2 B C4 D2 5已知函数已知函数
2、 f（x），在等差数列，在等差数列an中，中，a77，a911，则，则 f（a8） （ ） A1 B2 C3 D4 6下列命题为真命题的个数是（下列命题为真命题的个数是（ ） xx|x 是无理数是无理数，x2是无理数；是无理数； 若若 0，则，则或或； 命题“若命题“若 x2+y20，xR，yR，则，则 xy0“的逆否命题为真命题；“的逆否命题为真命题； 函数函数 f（x）是偶函数是偶函数 A1 B2 C3 D4 7已知角已知角 的顶点在坐标原点，始边与的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，将角轴的非负半轴重合，将角 的终边按顺时针方向的终边按顺时针方向 旋转旋转 经过点（经过点（3
3、，4），则），则 cos（ ） A B C D 85 名学生中有且只有名学生中有且只有 3 名同学会颠足球，从中任意选取名同学会颠足球，从中任意选取 2 人，则这 人，则这 2 人都会颠足球的概人都会颠足球的概 率为（率为（ ） A B C D 9函数函数 f（x）x2xsinx 的图象大致为（的图象大致为（ ） A B C D 10如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，中，ACBC4，ACBC，CC15，D，E 分别是分别是 AB，B1C1的中点，则异面直线的中点，则异面直线 BE 与 与 CD 所成的角的余弦值为（所成的角的余弦值为（ ） A B C D 11已知已知 f
4、（x）是定义在）是定义在 R 上的奇函数，上的奇函数，f（x1）为偶函数，且）为偶函数，且函数函数 f（x）与直线）与直线 yx 有一个交点（有一个交点（1，f（1），则），则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）+f（2019）（）（ ） ） A2 B0 C1 D1 12已知椭圆已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为）的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为，右顶点为 A，上顶点为，上顶点为 B，以线段，以线段 F1A 为直径的圆交线段为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点的延长线于点 P，若，若 F2B AP 且线段且线段 AP 的长为的长为 2，则该椭圆方程为（，则该椭圆方程为（
5、 ） A1 B1 C1 D1 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13曲线曲线 y在在 x1 处的切线方程为处的切线方程为 14已知实数已知实数 x，y 满足满足，则，则 z2x+y 的最大值为的最大值为 15记记 Sn为等比数列为等比数列an的前的前 n 项和，项和，a11，且，且 S4a51，则公比，则公比 q 16已知三棱柱已知三棱柱 ABCA1B1C1的各顶点均在表面积为的各顶点均在表面积为的同一球面上，的同一球面上，ABACBC 4，则这个三棱柱的高是，则这个三棱柱的高是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文
6、字说眀、证眀过程或演算步骤第分解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题： 共共 60 分分 17某班主任利用周末时间对该班级某班主任利用周末时间对该班级 2019 年最后一年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现次月考的语文作文分数进行统计，发现 分数都位于分数都位于 2055 之间，现将所有分数情况分为之间，现将所有分数情况分为20，25），），25，30），），30，35），），35， 40），），40，45
7、），），45，50），），50，55共七组其频率分布直方图如图所示，已知共七组其频率分布直方图如图所示，已知 m 2n （1）求频率分布直方图中）求频率分布直方图中 m，n 的值：的值： （2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数 （每组数据用该组区间中点值）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数 （每组数据用该组区间中点值 作为代表）作为代表） 18在在ABC 中，角中，角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c，且，且 2cosAsinBsinA+2sinC （1）求角）求角 B 的大小；的大小； （2）若）若 a2，ABC 的面积为的面积为 2，求，求 b 1
8、9如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形中，底面四边形 ABCD 为矩形且为矩形且 AD2AB4，平面，平面 PAD 平面平面 ABCD，且，且PAD 是正三角形，是正三角形，E 是是 AD 的中点的中点 （1）证明：）证明：CE平面平面 PBE； （2）求点）求点 E 到平面到平面 PBC 的距离的距离 20已知抛物线已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为）的焦点为 F，抛物线，抛物线 C 上的点到准线的最小距离为上的点到准线的最小距离为 2 （1）求抛物线）求抛物线 C 的方程；的方程； （2）若过点）若过点 F 作互相垂直的两条直线作互相垂直的两条直线 11，l2，
9、l1与抛物线与抛物线 C 交于交于 A，B 两点，两点，l2与抛物与抛物 线线 C 交于交于 C，D 两点，两点，M，N 分别为弦分别为弦 AB，CD 的中点，求的中点，求|MF| |NF|的最小值的最小值 21已知函数已知函数 f（x）a（xe）ex 1（ （aR），），g（x）x1 （1）讨论函数）讨论函数 f（x）的单调性；）的单调性； （2）当）当 a1 且且 x1 时，求证：时，求证：f（x）g（x） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 的第一题计分（本小题满分的第一题
10、计分（本小题满分 10 分）分）选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C 的参数方程为的参数方程为，（，（ 为参数），以坐为参数），以坐 标原点标原点 O 为极点，为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线 l 的的 极坐标方程为极坐标方程为 sin（） （1）写出曲线）写出曲线 C 的普通方程和直线的普通方程和直线 1 的直角坐标方程的直角坐标方程 （2）若直线）若直线 1 与曲线与曲线 C 相交于相交于 A，B 两点，求两点，求OAB
11、的面积的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数已知函数 f（x）|xa|+|x+2| （1）当）当 a1 时，求不等式时，求不等式 f（x）7 的解集；的解集； （2）若）若x0R，f（x0）|3a|，求实数，求实数 a 的取值范围的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知已知 i 为虚数单位，则为虚数单位，则（ ） Ai B i Ci Di
12、 【分析】利用复数的运算法则即可得出【分析】利用复数的运算法则即可得出 解：解：原式原式i 故选：故选：C 2已知集合已知集合 Ax|2x2，Bx|x22x0，则，则 A（RB）（）（ ） A B（1， ） C（ ，1） D（1，1 【分析】可以求出集合【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集和补集的运算即可，然后进行交集和补集的运算即可 解：解：， ， 故选：故选：B 3设设（1，），），（2，3），若），若 （ 2 ），则），则 （ ） A B C1 D1 或或 5 【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出 的值的值 解：解
13、：由由（1，），（2，3），）， 则则2（5，6），）， 又又 （2 ），）， 所以（所以（6）50， 解得解得 故选：故选：A 4已知双曲线已知双曲线1 的离心率为的离心率为 2，则双曲线，则双曲线y21 的焦距是（的焦距是（ ） A2 B C4 D2 【分析】根据所给双曲线的方程和离心率求出【分析】根据所给双曲线的方程和离心率求出 m 即可即可 解：解：因为因为 e2，所以，所以 m12， 则则y21 的焦距为的焦距为 22， 故选：故选：D 5已知函数已知函数 f（x），在等差数列，在等差数列an中，中，a77，a911，则，则 f（a8） （ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用等
14、差数列的性质求出【分析】利用等差数列的性质求出 a8，然后，然后利用分段函数求解函数值即可利用分段函数求解函数值即可 解：解：在等差数列在等差数列an中，中，a77，a911，可得，可得 a89， 所以所以 f（a8）f（9）1+log393 故选：故选：C 6下列命题为真命题的个数是（下列命题为真命题的个数是（ ） xx|x 是无理数是无理数，x2是无理数；是无理数； 若若 0，则，则或或； 命题“若命题“若 x2+y20，xR，yR，则，则 xy0“的逆否命题为真命题；“的逆否命题为真命题； 函数函数 f（x）是偶函数是偶函数 A1 B2 C3 D4 【分析】根据函数，向量，整数，命题的基
15、本概念，逐一分析四个结论的真假，可得答【分析】根据函数，向量，整数，命题的基本概念，逐一分析四个结论的真假，可得答 案案 解：解：对于（对于（1）中，当）中，当 x时，时，x22 为有理数，故错；对于（为有理数，故错；对于（2）若）若 0，可以，可以 有有，故错；对于（，故错；对于（3）命题“若）命题“若 x2+y20，xR，yR，则，则 xy0“是真命题，“是真命题， 则它的逆否命题为真命题，故对；对于（则它的逆否命题为真命题，故对；对于（4）f（x）f（x），且函数定），且函数定 义域（，义域（，0）（）（0，+）关于原点对称，则函数）关于原点对称，则函数 f（x）是偶函数，故对，综上真）
16、是偶函数，故对，综上真 命题有命题有 2 个个 故选：故选：B 7已知角已知角 的顶点在坐标原点，始边与的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，将角轴的非负半轴重合，将角 的终边按顺时针方向的终边按顺时针方向 旋转旋转 经过点（经过点（3，4），则），则 cos（ ） A B C D 【分析】由已知利用三角函数的定义可得【分析】由已知利用三角函数的定义可得 cos（），），sin（）的值，进而根据两）的值，进而根据两 角和的余弦函数公式即可求解角和的余弦函数公式即可求解 cos 的值的值 解：解： 角角 的终边按顺时针方向旋转的终边按顺时针方向旋转 后得到的角为后得到的角为 ， 由三角
17、函数的定义， 可得， 由三角函数的定义， 可得 cos （），sin（）， cos cos（） cos（） cossin（ ） sin（） 故选：故选：D 85 名学生中有且只有名学生中有且只有 3 名同学会颠足球，从中任意选取名同学会颠足球，从中任意选取 2 人，则这 人，则这 2 人都会颠足球的概人都会颠足球的概 率为（率为（ ） A B C D 【分析】从中任意选取【分析】从中任意选取 2 人，基本事件总数人，基本事件总数 n10，这，这 2 人都会颠足球包含的基本人都会颠足球包含的基本 事件个数事件个数 m3，由此，由此能求出这能求出这 2 人都会颠足球的概率人都会颠足球的概率 解：解
18、：5 名学生中有且只有名学生中有且只有 3 名同学会颠足球，名同学会颠足球， 从中任意选取从中任意选取 2 人，人， 基本事件总数基本事件总数 n10， 这这 2 人都会颠足球包含的基本事件个数人都会颠足球包含的基本事件个数 m3， 这这 2 人都会颠足球的概率人都会颠足球的概率 p 故选：故选：A 9函数函数 f（x）x2xsinx 的图象大致为（的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由函数为偶函数，可排除【分析】由函数为偶函数，可排除 B，利用导数研究可知当，利用导数研究可知当 x0 时，时，f（x）0，且，且 f （x）单调递增，可排除）单调递增，可排除 C、D，由此得出正确选项，
19、由此得出正确选项 解：解：f（x）（）（x）2（x）sin（x）x2xsinxf（x），且定），且定义域为义域为 R， f（x）为偶函数，故排除选项）为偶函数，故排除选项 B； f（x）x（xsinx），设 ），设 g（x）xsinx，则，则 g（x）1cosx0 恒成立，恒成立， g（x）单调递增，）单调递增， 当当 x0 时，时，g（x）g（0）0， 当当 x0 时，时，f（x）xg（x）0，且，且 f（x）单调递增，故排除选项）单调递增，故排除选项 C、D； 故选：故选：A 10如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，中，ACBC4，ACBC，CC15，D，E 分别是分别
20、是 AB，B1C1的中点，则异面直线的中点，则异面直线 BE 与 与 CD 所成的角的余弦值为（所成的角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】根【分析】根据题意可分别以据题意可分别以 CA，CB，CC1三直线为三直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系， 从而可得出从而可得出 C，D，B，E 的坐标，进而得出向量的坐标，进而得出向量的坐标，从而可求出的坐标，从而可求出 的值，进而得出异面直线的值，进而得出异面直线 BE 与与 CD 所成的角的余弦值所成的角的余弦值 解：解：可知可知 CA，CB，CC1三直线两两垂直，分别以这三直线为三直线两两垂直，分别以这三直线为
21、 x，y，z 轴，建立如图所示轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，则：的空间直角坐标系，则： C（0，0，0），），B（0， ，4，0），），A（4，0，0），），D（2，2，0），），E（0，2，5），）， ， ， 异面直线异面直线 BE 与与 CD 所成的角的余弦值为所成的角的余弦值为 故选：故选：C 11已知已知 f（x）是定义在）是定义在 R 上的奇函数，上的奇函数，f（x1）为偶函数，且函数）为偶函数，且函数 f（x）与直线）与直线 yx 有一个交点（有一个交点（1，f（1），则），则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）+f（2019）（）（ ） ） A2 B0 C1 D1
22、 【分析】根据题意，分析可得【分析】根据题意，分析可得 f（x4）f（x2）f（x），即函数），即函数 f（x）为周期）为周期 为为 4 的周期函数，据此可得的周期函数，据此可得 f（1）f（3），），f（2）f（4）0，结合函数的周期，结合函数的周期 性可得性可得 f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）+f（2019）f（1）+f（2）+f（3），计），计 算可得答案算可得答案 解：解：根据题意，根据题意，f（x1）为偶函）为偶函数，函数数，函数 f（x）的图象关于直线）的图象关于直线 x1 对称，则有对称，则有 f （x）f（x2），）， 又由又由 f（x）为奇函数，则）为奇函数，则
23、 f（x）f（x），）， 则有则有 f（x4）f（x2）f（x），即函数），即函数 f（x）为周期为）为周期为 4 的周期函数，的周期函数， 又由又由 f（x+2）f（x），则），则 f（1）f（3），），f（2）f（4）0， 故故 f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）+f（2019）f（1）+f（2）+f（3）f（2） 0； 故选：故选：B 12已知椭圆已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为）的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为，右顶点为 A，上顶点为，上顶点为 B，以线段，以线段 F1A 为直径的圆交线段为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点的延长线于点 P，若，若 F2B A
24、P 且线段且线段 AP 的长为的长为 2，则该椭圆方程为（，则该椭圆方程为（ ） A1 B1 C1 D1 【分析】由以线段【分析】由以线段 F1A 为直径的圆交线段为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点的延长线于点 P，可得，可得 APPF1，若，若 F2B AP，所以，所以 F2BBF1，所以，所以F1F2B 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，cos45，可，可 得得 a，b，c 的值可得椭圆的方程的值可得椭圆的方程 解：解：设椭圆的半个焦距为设椭圆的半个焦距为 c，因为点，因为点 P 在以线段在以线段 F1A 位直径的圆上，所以位直径的圆上，所以 APPF1， 因为因为 F2BAP，所以
25、，所以 F2BBF1，又因为，又因为|F2B|BF1|，所以，所以F1F2B 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， 于是于是|F2B|BF1|a， cos45，|F1A|AP|，可得，可得 a+c（2），）， 解得：解得：a2，c2，b2a2c24， 所以椭圆的方程为：所以椭圆的方程为：1， 故选：故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13曲线曲线 y在在 x1 处的切线方程为处的切线方程为 x+2y30 【分析】先求出函数的导数，然后分别求出切点的纵坐标和切点处的导数，最后代入点【分析】先求出函数的导数，然后分别求出切点的
26、纵坐标和切点处的导数，最后代入点 斜式求出切线方程斜式求出切线方程 解：解：由已知由已知， 所以切线方程为所以切线方程为， 即：即：x+2y30 故答案为：故答案为：x+2y30 14已知实数已知实数 x，y 满足满足，则，则 z2x+y 的最大值为的最大值为 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过数形结合即可【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过数形结合即可 的得到结论的得到结论 解：解：作出可行域如图，作出可行域如图， 由由 z2x+2y 知，知，y2x+z， 所以动直线所以动直线 y2x+z 的纵截距的纵截距 z 取得最大值时，取得最大
27、值时， 目标函数取得最大值目标函数取得最大值 由由 得得 M（ ， ） 结合可行域可知当动直线经过点结合可行域可知当动直线经过点 M（ ， ）时，）时， 目标函数取得最大值目标函数取得最大值 z2 故答案为：故答案为： 15记记 Sn为等比数列为等比数列an的前的前 n 项和，项和，a11，且，且 S4a51，则公比，则公比 q 2 或或1 【分析】由已知结【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解合等比数列的通项公式及求和公式即可求解 解：解：由题意可得由题意可得 q1， 因为因为 a11，且，且 S4a51， 所以所以， 则可得（则可得（1q4）（）（2q）0， 故故 q2 或
28、或 q1 故答案为：故答案为：2 或或1 16已知三棱柱已知三棱柱 ABCA1B1C1的各顶点均在表面积为的各顶点均在表面积为的同一球面上，的同一球面上，ABACBC 4，则这个三棱柱的高是，则这个三棱柱的高是 8 【分析】由外接球的表面积求出球的半径【分析】由外接球的表面积求出球的半径 R，计算，计算ABC 外接圆的半径外接圆的半径 r；判断三棱柱；判断三棱柱 为直三棱柱，再利用勾股定理求出三棱柱的高为直三棱柱，再利用勾股定理求出三棱柱的高 解：解：外接球的表面积为外接球的表面积为 S4R2，解得，解得 R； 因为因为 ABACBC4， 所以所以ABC 外接圆的半径为：外接圆的半径为： r；
29、 又三棱柱的各个顶点在同一球面上，又三棱柱的各个顶点在同一球面上， 所以该三棱柱是直三棱柱，如图所示；所以该三棱柱是直三棱柱，如图所示； 所以三棱柱的高是：所以三棱柱的高是： h22 8 故答案为：故答案为：8 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤第分解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题： 共共 60 分分 17某班主任利用周末时间对该班级某班主任利用周末时间对该班级 2
30、019 年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现 分数都位于分数都位于 2055 之间，现将所有分数情况分为之间，现将所有分数情况分为20，25），），25，30），），30，35），），35， 40），），40，45），），45，50），），50，55共七组其频率分布直方图如图所示，已知共七组其频率分布直方图如图所示，已知 m 2n （1）求频率分布直方图中）求频率分布直方图中 m，n 的值：的值： （2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数 （每组数据用该组区间中点值）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数 （每组数据用该组区间中点
31、值 作为代表）作为代表） 【分析】（【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组，能求出）由频率分布直方图列出方程组，能求出 m，n （2）由频率分布直方图能求出该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数）由频率分布直方图能求出该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数 解：解：（1）由频率分布直方图得：）由频率分布直方图得： ， 解得解得 m0.04，n0.02 （2）该班级这次月考语文作文分数的平均数为：）该班级这次月考语文作文分数的平均数为： （22.50.01+27.50.03+32.50.06+37.50.04+42.50.03+47.50.02+52.50.01） ） 5 36.25
32、（0.01+0.03+0.06）50.5， 该班级这次月考语文作文分数的中位数为该班级这次月考语文作文分数的中位数为 35 18在在ABC 中，角中，角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c，且，且 2cosAsinBsinA+2sinC （1）求角）求角 B 的大小；的大小； （2）若）若 a2，ABC 的面积为的面积为 2，求，求 b 【分析】（【分析】（1）由已知利用两角和的正弦函数公式可得）由已知利用两角和的正弦函数公式可得 sinA+2sinAcosB0，结合，结合 sinA 0，可求得，可求得 cosB，结合范围，结合范围 B（0，），可求），可求 B 的值的值 （
33、2）由已知利用三角形的面积公式可求）由已知利用三角形的面积公式可求 c 的值，进而根据余弦定理即可解得的值，进而根据余弦定理即可解得 b 的值的值 解：解：（1）2cosAsinBsinA+2sinCsinA+2sin（A+B）sinA+2sinAcosB+2sinBcosA， sinA+2sinAcosB0， sinA0， 1+2cosB0，解得，解得 cosB， B（0，），）， B （2）a2，ABC 的面积为的面积为 2， acsinBcsin2，解得，解得 c4， 由余弦定理由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得，可得 b2 19如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，
34、底面四边形中，底面四边形 ABCD 为矩形且为矩形且 AD2AB4，平面，平面 PAD 平面平面 ABCD，且，且PAD 是正三角形，是正三角形，E 是是 AD 的中点的中点 （1）证明：）证明：CE平面平面 PBE； （2）求点）求点 E 到平面到平面 PBC 的距离的距离 【分析】（【分析】（1）连接）连接 PE，CE，证明，证明 BECE，PE平面平面 ABCD，CEBE，于是由线面，于是由线面 垂直的判定可得垂直的判定可得 CE平面平面 PBE； （2）求解三角形求出三角形）求解三角形求出三角形 PBC 的面积与三角形的面积与三角形 BEC 的面积，再由等体积法求点的面积，再由等体积法
35、求点 E 到平面到平面 PBC 的距离的距离 【解答】（【解答】（1）证明：）证明：ABCD 为为矩形且矩形且 AD2AB，E 为为 AD 的中点，的中点， ABE 和和CDE 都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形， AEBDEC，得，得BEC， BECE 连接连接 PE，PAD 是等边三角形，是等边三角形，E 是是 AD 的中点，的中点， PEAD 又平面又平面 PAD平面平面 ABCD，PE平面平面 PAD，平面，平面 PAD平面平面 ABCDAD PE平面平面 ABCD 又又 CE平面平面 ABCD，CEPE 又又 BEPEE，BE，PE平面平面 PBE CE平面平面 PBE； （2）
36、解：）解：AD2AB4，侧面，侧面 PAD 是正三角形，是正三角形，E 是是 AD 的中点，的中点， AEDE2， 由勾股定理由勾股定理可得可得 BECE，PE， PBPC ，设点，设点 E 到平面到平面 PBC 的距离为的距离为 h， 由由 VPBECVEPBC，得，得， 即即 h 点点 E 到平面到平面 PBC 的距离为的距离为 20已知抛物线已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为）的焦点为 F，抛物线，抛物线 C 上的点到准线的最小距离为上的点到准线的最小距离为 2 （1）求抛物线）求抛物线 C 的方程；的方程； （2）若过点）若过点 F 作互相垂直的两条直线作互相垂直的两条直线 1
37、1，l2，l1与抛物线与抛物线 C 交于交于 A，B 两点，两点，l2与抛物与抛物 线线 C 交于交于 C，D 两点，两点，M，N 分别为弦分别为弦 AB，CD 的中点，求的中点，求|MF| |NF|的最小值的最小值 【分析】（【分析】（1）由题意可知）由题意可知，所以，所以 p4，从而得到抛物线，从而得到抛物线 C 的的方程；方程； （2）显然直线）显然直线 AB，CD 的斜率都存在且均不为的斜率都存在且均不为 0，设直线，设直线 AB 的斜率为的斜率为 k，则直线，则直线 CD 的斜率为的斜率为，所以直线，所以直线 AB 的方程为的方程为 yk（x2），与椭圆方程联立，利用韦达定理），与椭
38、圆方程联立，利用韦达定理 得到点得到点 M 的坐标，同理可得点的坐标，同理可得点 N 的坐标，进而求出的坐标，进而求出|NF|，|MF|，再利用基本不等式即可，再利用基本不等式即可 求出求出|MF| |NF|的最小值的最小值 解：解：（1）因为抛物线）因为抛物线 C 上的点到准线的最小距离为上的点到准线的最小距离为 2，所以，所以， 解得解得 p4， 故抛物线故抛物线 C 的方程为：的方程为：y28x； （2）由（）由（1）可知焦点为）可知焦点为 F（2，0），）， 由已知可得由已知可得 ABCD，所以两直线，所以两直线 AB，CD 的斜率都存在且均不为的斜率都存在且均不为 0， 设直线设直线
39、 AB 的的斜率为斜率为 k，则直线，则直线 CD 的斜率为的斜率为， 故直线故直线 AB 的方程为的方程为 yk（x2），）， 联立方程联立方程，消去，消去 x 得：得：ky28y16k0， 设点设点 A（x1，y1），），B（x2，y2），则），则， 因为因为 M（xM，yM）为弦）为弦 AB 的中点，所以的中点，所以， 由由 yMk（xM2），得），得， 故点故点 M（， ），）， 同理可得：同理可得：N（4k2+2，4k），）， 故故|NF|4，|MF|， 所 以所 以 |MF| |NF|41616 （ |k|） ） 1632， 当且仅当当且仅当|k|，即，即 k1 时，等号成立，时，
40、等号成立， 所以所以|MF| |NF|的最小值为的最小值为 32 21已知函数已知函数 f（x）a（xe）ex 1（ （a一、选择题一、选择题），），g（x）x1 （1）讨论函数）讨论函数 f（x）的单调性；）的单调性； （2）当）当 a1 且且 x1 时，求证：时，求证：f（x）g（x） 【分析】（【分析】（1）由题意，得）由题意，得 f（x）aex 1（ （1+xe），分），分 a0，a0，a0 三类讨论，三类讨论， 即可得到函数即可得到函数 f（x）的单调性；）的单调性； （2）利用分析法，要证）利用分析法，要证 f（x）g（x），即证（），即证（xe）ex 1 x1，即证得，即证得1，
41、 设设 p（x），利用导数可得，利用导数可得 p（x）在（）在（1，+）上单调递增，从而得到）上单调递增，从而得到 p（x） p（1）1，即，即1 成立成立 解：解：（1）由题意，得）由题意，得 f（x）aex 1+（ （xe）ex 1 aex 1（ （1+xe）1 分分 若若 a0，令，令 f（x）0，得，得 xe1，令，令 f（x）0，得，得 xe1 故函数故函数 f（x）在（，）在（，e1）上单调递减，在（）上单调递减，在（e1，+）上单调递增；）上单调递增；2 分分 若若 a0，令，令 f（x）0，得，得 xe1，令，令 f（x）0，得，得 xe1 故函数故函数 f（x）在（，）在（，
42、e1）上单调递增，在（）上单调递增，在（e1，+）上单调递减；）上单调递减；3 分分 若若 a0，令，令 f（x）0，为常量函数，不存在单调性，为常量函数，不存在单调性4 分分 （2）证明：当）证明：当 a1 时，时，f（x）（）（xe）ex 1，则证 ，则证 f（x）g（x），即证（，即证（xe）ex 1 x1， 不等式两端同时除以不等式两端同时除以 ex，即证，即证，得，得1，5 分分 记函数记函数 p（x），则，则 p（x） 设设 q（x） exx，6 当当 x1 时，时，q（x）ex 1 10，所以函数，所以函数 q（x）在（）在（1，+）上单调递增）上单调递增 所以当所以当 x1 时，时，q（x）q（1） e1108 分分 所以所以 p（x）0， 所以函数所以函数 p（x）在（）在（1，+）上单调递增）上单调递增 所以所以 p（x）
