1、江西省五市九校协作体高三第二次联考数学（理科）试卷 第1 页共2 页江江西西省省五五市市九九校校协协作作体体 2 20 02 23 3 届届第第二二次次联联考考数数学学试试题题(理理科科)第第卷卷（选选择择题题共共 6 60 0 分分）一一、选选择择题题：本本大大题题共共 1 12 2 小小题题,每每小小题题 5 5 分分,共共 6 60 0 分分.在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的.1已知集合2|4,|4AxxxZBy y，则AB（）A4,22,4B3,3C2,4D 32若复数 z 满足 z（1+i）2i1（i 为虚数单位），则
2、下列说法正确的是（）Az 的虚部为23iB|z|210C3 zzDz 在复平面内对应的点在第二象限3若54cos，是第三象限的角，则2tan12tan1（）A2B21C2D214天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子
3、”重新开始，即“丙子”，以此类推，2023 年是癸卯年，请问：在 100 年后的 2123 年为（）A癸未年B辛丑年C己亥年D戊戌年5已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线C的右支上，且124PFPF，双曲线C的一条渐近线方程为ykx，则k的最小值为（）A43B43C34D346.中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022 年10 月 31 日 15：37 分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“
4、T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等 6 名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（）A450 种B72 种C90 种7已知椭圆D360 种2222:1(0)xyCabab的一个焦点为F，点P是椭圆C上的一个动点，|PF的最小值为）A2B2 2C2 3D48.关于曲线 C：2221xmymm，下列说法正确的是（）A曲线 C 可能经过点0,2B若1m，过原点与曲线C相切的直线有两条C若1m，曲线C表示两条直线D若2m，则直线yx被曲线C截得弦长等于2 29.已知函数 2sinsinsinf xxx
5、x，则下列说法中正确的是（）A fx是偶函数B fx的图像关于直线2x 对称C fx的值域为2,4D fx在2,2上有 5 个零点10 如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为nS，设25log11nnbS，将数列 nb中的整数项依次取出组成新的数列记为 nc，则2023c的值为（）A5052B5057C5058D506311.在直四棱柱中ABCDA1B1C1D1中，BAD60，ABADAA12，P为CC1中点，点Q满足1DDDCDQ，（0，1，0，1）下列结论不正确的是（）A若+1，则四面体A1BPQ的体积为定值B若AQ平面A1BP，则AQ的最小
6、值为5C若A1BQ的外心为M，则MABA11为定值 2D若71QA，则点Q的轨迹长度为3212.已知ab，cd，01.111beaeba，99.01)1(dcedec则有（）Aa+b0Bc+d0Ca+d0Db+c0第10小题图31，且存在点P使得OPF（点O为坐标原点）为正三角形，则椭圆C的焦距为（江西省五市九校协作体高三第二次联考数学（理科）试卷 第1 页共2 页二二、填填空空题题（本本大大题题共共 4 4 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 2 20 0 分分将将答答案案填填在在题题中中的的横横线线上上）13已知非零向量a，b满足|b|2|a|，（ba）a，则向量a，b的夹角是14
7、已知,11121)1(7722106 xaxaxaaxx，则2a15已知实数,a b满足，1,0,1ba b，则202312023aba的最小值为_16 已知aR R.设函数1,ln11,1)(xxaxxaxaxf若关于的不等式0)(xff恒成立,则a的取值范围为.三三、解解答答题题：(共共 7 70 0 分分解解答答应应写写出出必必要要的的文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤)17.（本小题满分 12 分）已知ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，BD为ABC的角平分线(1)求证：ADCDABCB；(2)若2BD 且26ca，求ABC的面积18.（本小题满分 12
8、 分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，BCD=23，四边形ACFE为矩形，且CF平面 ABCD，AD=CD=BC=CF=1（1）求证：EF平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大？并求此时锐二面角的余弦值19.（本小题满分 12 分）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由12 k（kN N*）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p（0p1），各元件之间相互独立当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为pk（例如：p2表示控制系统由 3 个元件组成时设备正常运行的概
9、率；p3表示控制系统由 5 个元件组成时设备正常运行的概率）（1）若32p，当k2 时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求3p；（2）已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为 1 元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的 4 倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为41，每件高端产品的利润是 2 元记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）（）请用pk表示E（Y）；（）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.20（本小题满分 12 分）过坐标原点O作圆C：3222y
10、x的两条切线，设切点为P，Q，直线PQ恰为抛物线E：y22px（p0）的准线（1）求抛物线E的标准方程；（2）设点T是圆C的动点，抛物线E上四点A，B，M，N满足：TNTBTMTA2,2设AB中点为D（i）证明：TD 垂直于y轴；（ii）设TAB面积为S，求S的最大值21.（本小题满分 12 分）已知函数1ln)(xaxxf（1）讨论函数 xf的单调性；（2）若函数 xf存在两个极值点21,xx，且02ln21421xxkkexfxf恒成立，求实数k的最小值选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选考题：共 10 分。请考生在第 22、2
11、3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）以直角坐标系的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为sin2costytx（t为参数，20），曲线C的极坐标方程为sin8cos2（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求|AB|的最小值23选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分）已知,a b c均为正实数，且1abc.证明：(1)222111abcabc；(2)66633331112bcaabc.ABNMDTC1江西省五市九校协作体 202
12、3 届第二次联考答案理科数学一、江西省五市九校协作体 2023 届第二次联考答案理科数学一、选择题：BBCA BADB CBCD二 13.选择题：BBCA BADB CBCD二 13.32 14.132 15.2025 16.14.132 15.2025 16.22，e17【解】（1）由题意可得sinsinsinADBBDCBDC，因为 BD 为ABC 的角平分线，则ABDCBD，在ABD 中，si nsi nADABABDADB，则sinsinADABDABADB.3 分同理可得sinsinCDCBDCBBDC，因此ADCDABCB.6 分（2）设ABDCBD，则2ABC，因为ABCABDC
13、BDSSS即111sin2sinsin222a cc BDa BD.8 分又2BD 且26ca，可得sin2sin2sincos，因为02，则02，则sin0，cos0，可得1cos2，3.10 分所以，3sin22，139 33 6222ABCS .12 分18【解】（1）证明：在梯形 ABCD 中，ABCD，AD=CD=BC=1，故梯形 ABCD 为等腰梯形，因为23BCD，则23ADC，所以6BACACD 又因为3ABCBCD，则2ACBABCBACACBC.因为 CF平面 ABCD，AC平面 ABCD.ACCF BCCFC，AC平面 BCF.4分因为四边形 ACFE 为矩形，则 ACE
14、F，因此，EF平面 BCF.5分（2）因为 CF平面 ABCD，ACBC，以点 C 为坐标原点，CA、CB、CF 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，在 RtABC3tan6BCAC，.6 分则 A(3，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、F(0，0，1)、E(3，0，1)，设点 M(t，0，1)，其中03t 设平面 MAB 的法向量为111,mx y z3,1,0AB ，3,0,1AMt.7 分由3030m ABxym AMtxz ，取1x，可得1,3,3mt.8 分易知平面 FCB 的一个法向量为1,0,0n，21cos,43m nm nm nt .10
15、 分所以，当0t，即 M 与 F 重合时，cos,m n 取最小值，此时平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角最大，此时，平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角的余弦值为77.12 分19解：（1）因为 k2，所以控制系统中正常工作的元件个数 X 的可能取值为 0，1，2，3，2因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为32p，所以32,3 BX.1 分所以,2713132)0(3003CXP,923132)1(2113CXP,943132)2(1223CXP,2783132)3(0333CXP.2 分所以控制系统中正常工作的元件个数 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 27
16、1 92 94 278控制系统中正常工作的元件个数 X 的数学期望为 2323XE.3 分由题意知，81642431922433224380243803132313231320555144523353CCCP.5 分（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 a4 0 设备运行概率 Pk 1Pk所以升级改造后单位时间内产量的均值为kap4产品类型高端产品一般产品产量（单位：件）kapkap3利润（单位：元）21设备升级后单位时间内的利润为kkkapapapy532.6 分因为控制系统中元件总数为奇数，若增加 2 个元件，则第一类：原系统中至少有1k个元件正常工作，其概率为;11112kkk
17、kkppCpp.7 分第二类：原系统恰好有k个元件正常工作，新增 2 个元件中至少有一个正常工作，其概率为;21111211122112pppCpppCpkkkkkkkk.8 分第三类：原系统中有1k个元件正常工作，新增 2 个元件全部正常工作，其概率为;11311122112kkkkkkkkppCpppCp.9 分所以1kp1121kkkkkppCppppCkkkk211112kkkkppC11112,121121pppCppkkkkkk即,121121pppCppkkkkkk.10 分所以当时21p，kkkppp,01单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大.11 分当21p时，01
18、kkpp，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大又因为,5kapy 所以当21p时，设备可以通过增加控制系统中元件个数来提高利润；当21p时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.12 分20解：（1）设直线 PQ 与 x 轴交于0,20pP，由几何性质易得：CPP0与OCP 相似，所以COCPCPCPCOCPCP020,即：2223p，解得：p1所以抛物线 E 的标准方程为：y22x.3分3（2）设 T（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），（i）由题意，TA 中点 M 在抛物线 E 上，即22210210 xxyy.4 分又1212xy，将2211yx 代入得：0
19、422001021yxyyy，同理：0422002022yxyyy有2002102142yxyyyyy，此时 D 点纵坐标为0212yyy.6 分所以直线 TD 的斜率为 0；所以TD垂直于y轴.（ii）因为243424202021221222121xyyyyyyyxx.7 分所以点0020,243yxyD，此时2121yyTDS.2224,22324302021221210200020 xyyyyyyyxyxxyTD.9 分所以30202223xyS.10 分又因为点 T 在圆 C 上，有3)2(2020yx，即1402020 xxy，代入上式可得：32030208322316223xxxS
20、由32320 x.11 分所以 x03 时，S 取到最大值4882233所以 S 的最大值为 48.12 分21 解：（1）由 1lnxaxxf可得定义域为（0，+），则,0,11211222xxxxaxxaxxf.1 分令 g（x）x2+（a+2）x+1，则 xxxgxf21当 a2+4a0，即4a0 时，g（x）0 恒成立，则 f（x）0.2 分f（x）在（0，+）上单调递增；当a2+4a0，即 a4 或 a0 时.3 分（）当 a4 时，g（x）x2+（a+2）x+1 是开口向上且过（0，1）的抛物线，对称轴方程为022ax，则函数 g（x）有两个零点24221aaax和24222aaa
21、x（显然 x1x2），列表如下：x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值.4 分（）当 a0 时，g（x）x2+（a+2）x+1 是开口向上且过（0，1）的抛物线，对称轴方程为022ax，则 g（x）0 在（0，+）上恒成立，从而 f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增综上所述，当 a4 时，函数 f（x）在区间（0，+）上单调递增；当 a4 时，函数 f（x）在242,02aaa，,2422aaa上单调递增，在242,24222aaaaaa上单调递减.5 分（2）由（1）可知，当 a4 时，f（x）有两个极值点 x1，x2，则 x1，x2是方程
22、 x2+（a+2）x+10 的两根，x1+x2（a+2），x1x21，4 axxxxxxaxxxaxxaxxfxf12ln1ln1ln21212121221121.7 分02ln21421xxkkexfxf恒成立转化为04ln4akkea恒成立令 xa40，不等式转化为0lnxkkex.8 分0lnlnxkkex，xxxkkexlnln，即xxkekexxlnln令 0lnxxxxh，则不等式化为 xhkehx.9 分 xxxxh111，当 x0 时，h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递增，xkex，即xexk 令 xexxm，则 xexxm1.10 分当 x（0，1）时，m（x）0，即
23、m（x）在（0，1）单调递增，当 x（1，+）时，m（x）0，即 m（x）在（1，+）单调递减；.11 分所以 emxm11max，xa41，即 a5 时，实数 k 取得最小值为e1即实数 k 的最小值为e1.12 分22 解：（1）曲线C的极坐标方程为sin8cos2，根据sincosyx，转换为直角坐标方程为 x28y.3分（2）把直线l的参数方程为sin2costytx（t 为参数20），代入方程 x28y；得到016sin8cos22tt.5 分整理得221cossin8tt，221cos16tt故221221cos84ttttAB，.8 分当0时，最小值为 8.10 分23（1）依题
24、意：,a b c都为正实数，且1abc，2222222,2,2abab bcbc acac，当且仅当1abc时等号成立.2 分上述三个式子相加得222111abbcacabcabbcacabcabcabcabc即222111abcabc成立.5 分（2）法一：a，b，c都为正整数，且1abc 333333333abca b c，由题意得63336333633311,1411,1411,14babacbcbacac.8 分+，得6663333333393311144442bcaabcabc，当且仅当1abc时“=”成立.10 分法二：由 Cauchy 不等式，得 6662333333333111111bcaabcabcabc.7 分令3333tabc，则23336662333333936111333abcbcattabcabctt 令 9363g ttt ，则 g t在3,上单调递增.9 分 32g t，即66633331112bcaabc.10 分
