1、第 1 页 共 4 页 O x y P A B 椭圆一个性质的应用 性质性质 如图 1，椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab PAPB kk为定值 2 2 b a 已知椭圆上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A、B连线PA、PB与坐标轴不平行， 则直线PA、 PB的斜率之积为定值 2 2 b a 证明证明 设( , )P x y， 11 ( ,)A x y，则 11 (,)Bxy 所以1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 由得 2 2 1 2 2 2 1 2 b yy a xx ， 所以 2 2 2 1 2 2 1 2 a b xx yy ，
2、 所以 222 111 222 111 PAPB yyyyyyb kk xxxxxxa 为定值 这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质 属性，因而能简洁解决问题，下举例说明 一、证明直线垂直一、证明直线垂直 例例 1 如图 2，已知椭圆 22 1 42 xy ，,A B是其左、右顶点，动点M满足MBAB，连结AM交椭 圆于点P求证：MOPB 证 明证 明 设(2, )My， 由 性 质 知 1 2 PAPB kk ， 即 1 2 M AP B kk 图 1 图 2 第 2 页 共 4 页 直线MA，MO的斜率分别为 24 MA yy k a ，
3、 2 MO yy k a ， 所以 1 2 MAMO kk 将代入得1 MOPB kk ， 所以MOPB 例例 2 如图 3，PQ 是椭圆不过中心的弦，A1、A2为长轴的两端点， A1P 与 Q A2相交于 M，P A2与 A1Q 相交于点 N，则 MNA1A2 证明证明 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） 由性质知 12 2 2 PAPA b kk a ，即 12 2 2 MANA b kk a ，所以 2 2 2 2 1 1 a b ax y ax y 12 2 2 QAQA b kk a ， 即 21 2 2 MANA b kk a ，所以 2 2 1 1 2 2 a b ax y
4、 ax y 比较与得 1221 ()()()()xa xaxa xa， 所以 2112 ()()a xxa xx， 所以 12 xx 所以 MNx 轴，即 MNA1A2 二、证明直线定向二、证明直线定向 例例 3 如图 4，已知 A(2，1)，B(2，1)是椭圆 E：x 2 6 y2 31 上的两点，C，D 是椭圆 E 上异于 A，B 的两点，且直线 AC，BD 相交于点 M，直线 AD，BC 相交于点 NCA，CB，DA，DB 的斜 率都存在 求证：直线 MN 的斜率为定值 证明证明 设(,) MM M xy，(,) NN N xy，由性质知 1 2 CACB kk ，即 1 2 MANB
5、kk ， 1 2 DADB kk ，即 1 2 NAMB kk 所以 111 222 NM MN yy xx ， 1 1(224) 2 MNMNMNMN y yyyx xxx x y A O B C D M N 图 4 图 3 第 3 页 共 4 页 111 222 NM MN yy xx ， 1 1(224) 2 MNMNMNMN y yyyx xxx 由得() MNMN yyxx 所以1 MN k ，即直线 MN 的斜率为定值1 三、证明三、证明点的纵坐标点的纵坐标之之积积为定值为定值 例例 4 如图 5，已知椭圆 C：x 2 4 y2 31，过椭圆 C 的右焦点 F 且与 x 轴不重合的
6、直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，点 B 关于坐标原点的对称点为 P，直线 PA，PB 分别交椭圆 C 的右准线 l 于 M，N 两点 记 M，N 两点的纵坐标分别为 yM，yN，求证：yM yN为定值 证明证明 当直线 AB 的斜率 k 不存在时，易得 yM yN9. 当直线 AB 的斜率 k 存在时，由性质知 kPAk3 4，所以 kPA 3 4k. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P(x2，y2)， 所以直线 PA 的方程为 yy2 3 4k(xx2)， 因为右准线 l 的方程为4x， 所以 yM 3 4k(x24)y2， 因为,A F B三点共线，所以直线 AB 的斜率
7、 k y2 x21. 所以 yM3x24x21 4y2 y2. 因为直线 PB 的方程为 yy2 x2x，所以 yN 4y2 x2 . 所以 yMyN3x24x21 x2 4y 2 2 x2 . 又因为x 2 2 4 y22 31，所以 4y 2 2123x 2 2， 所以 yMyN3x24x214x 2 2 x2 9， 所以 yMyN为定值9. 图 5 第 4 页 共 4 页 由以上几个例题，同学们会看到，这个性质解决问题中起到了化繁为简作用，希望同学们领悟其中的 道理，并进一步运用这个性质解决更多的问题 巩固练习已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率 1 2 e ，A、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上 不同于 A、B 的一点，直线 PA、PB 的倾斜角分别为、，则 cos() cos() 的值为 1 7
