1、20162017 学年第一学期高等数学-1 练习册高等数学-1 练习册 专业: 姓名: 学号: 第一章 函数与极限 1.1 映射与函数一、本节学习目标： 1.掌握常见函数的定义域，函数的特性。掌握将一般初等函数拆成几个简单函数的复合。 2.熟悉基本初等函数的类型、性质及图形,了解初等函数的概念。二、本节重难点: 1.的邻域： 2.构成函数的要素: 定义域及对应法则。函数相等：函数的定义域和对应法则相同。 3.互为反函数，且有，. 的定义域为的值域。练习题 1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 2.下列函数中为偶函数的是（ ）A. B. C. D. 3. 下列函数中
2、，奇函数是( )A. B. C. D. 4.下列函数中不是初等函数的是（ ） A. B. C. D. 5.凡是分段函数都不是初等函数。（ ） 6.复合函数的定义域即的定义域。（ ） 7.函数的定义域是。（ ） 8.满足的全体实数，称以 为中心， 为半径的邻域。 9.设 。10.的定义域 。 11.指出函数的复合过程。 12. 指出函数的复合过程。 1.2 数列的极限一、本节学习目标： 1.理解数列极限的概念。二、本节重难点: 1.语言： 注：（1）的任意性。（的作用在于衡量与的接近程度） （2）N的选取是与有关的。 2.如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是。 3.推论：如果数列
3、中两个子列的极限存在不相等，则这个数列发散。 4.常用结论: (1) (2)若至少有一个不存在，或存 在，但，则不存在。练习题 1. 设数列，当越来越大时，越来越小，则 （ ） 2. 设数列，对有无穷多个满足 则. （ ） 3. 数列,对中仅有有限个不满足则（ ） 4. 有界数列必收敛.（ ） 5. 无界数列必发散。（ ） 6. 发散数列必无界.（ ） 7. 若数列收敛，则数列有界。（ ） 用数列极限的定义证明下列极限： （1） （2） 1.3 函数的极限一、本节学习目标： 1.理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质。二、本节重难点: 1. 自变量趋于有限值时函数的极限： 2. 自变量趋于无穷
4、大时函数的极限: 或 3.(1). (2)不存在中至少有一个不存在,或， 存在但. (3). (4)不存在中至少有一个不存在,或， 存在但. 4. 对于分段函数在其定义域内的分界点处的极限一定要讨论左、右极限。练习题 1. 当时，函数，问等于多少时，能使时， 2.当时，函数，问等于多少时，能使时， 3.设，讨论当时，的左右极限. 4.设，讨论当时，的左右极限，并说明是否存在。 5.对函数，回答下列问题： （1）函数在处的左右极限是否存在？ （2）函数在处是否有极限？为什么？ 函数在处是否有极限？ 1.4 无穷小与无穷大一、本节学习目标： 1.熟悉无穷小，无穷大的概念。 2.掌握无穷小的性质，会
5、利用无穷小量的性质求极限。 3.知道无穷小量与无穷大量之间的关系。二、本节重难点: 1. 无穷小量是一个变量. 2.任何很小很小的非零数都不是无穷小量，常量中只有是无穷小. 3.无穷小量的性质：(1)两个无穷小的和是无穷小。 (2)有界量与无穷小的乘积是无穷小。 (3)常数与无穷小的乘积是无穷小。 4. 无穷大量是无界变量。 5. 无穷小量和无穷大量的关系： 在自变量的同一变化过程,（1）如果为无穷大，那么为无穷小； （2）如果为无穷小，且，那么为无穷大。练习题 1. 2. 3. 4. 5.无穷多个无穷小量的和是无穷小量。（ ） 6.两个无穷小量的商是无穷小量。（ ） 7.两个无穷大的和也是无
6、穷大。（ ） 8.无穷大与无穷大的积也是无穷大。（ ） 9.无穷小与无穷大的和一定是无穷大。（ ）10.无穷小与无穷大的积一定是无穷大。（ ） 11.非零常量与无穷大量的乘积是无穷大。（ ） 12. 求极限 13. 求极限 14.求极限 15. 求极限 1.5 极限运算法则一、本节学习目标： 1.理解并熟练掌握极限的运算法则二、本节重难点: 1.函数的和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商 注意运用上述法则有前提条件： (1)函数的个数有限 （2）每个函数都有极限 （3）有分母时，分母的极限值不为0 2.,其中为次多项式。 3.（1）是（同时有极限为零的因式），求极限的方法： 一般地分子
7、分母同除以为零的因式。（2）是 ，求极限的方法：分子分母同除以的最高次幂。练习题 1. 数列和都收敛，则数列必收敛。（ ） 2.数列和都发散，则数列必发散。（ ） 3.若数列收敛，而发散，则数列必发散。（ ） 4.若，则必有或. （ ） 5. 6.7. 8.9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.17. 18.19. 20. . .已知为常数，则 ， .为常数，已知，则 ， . 1.6 极限存在准则 两个重要极限一、本节学习目标： 1.理解极限存在的两个准则。 2.会用重要极限来计算其他函数的极限。二、本节重难点: 1.夹逼准则判别数列或函数的极限，适用于一些特定的形式，需
8、要对数列或函数适度放大，缩小。 2.单调有界准则：单调有界数列必有极限。 单调有界准则是证明数列极限存在常用的形式。 3.两个重要极限公式 : 推广形式：， 练习题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.利用极限收敛准则求极限(1)(2) （3） (4)数列的极限存在并求. 10. 一投资者欲用1000元投资5年，设年利率为，试分别按单利、复利、每年按4次复利付息方式计算，到第5年末，该投资者应得的本利和A. 1.7 无穷小的比较一、本节学习目标： 1.理解无穷小量的阶的概念。二、本节重难点: 1.常用的等价无穷小代换: 当时，, ,练习题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
9、 8. 9. 10. 1.8 函数的连续性与间断点 1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 1.10 闭区间上连续函数的性质一、学习目标： 1.理解函数连续的概念. 2.理解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 3.理解连续函数的运算. 4.理解并熟练掌握闭区间上连续函数的性质二、重难点: 1.函数在点处连续 即 2. 间断点的分类: 3.复合函数的极限法则 4.一切初等函数在其定义区间内都是连续的。5.幂指函数，若, 那么.练习题 1.设函数，试确定常数，使函数连续。 2.设函数，试确定常数，使函数在处连续。3.研究函数的连续性。 4.指出下列函数的间断点，并说明这些间断点的类型。 （1）
10、 （2）5. 6. 7. 8.证明方程至少有一个根介于1和2之间。第一章 测验题 1.下列函数中，表示同一函数的是( ) A. B. C. D. 2. 若，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4.当时，下列变量中与为等价无穷小的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则( ) 6. 若，则在处连续( ) 7.若在无定义，则必不存在( ) 8.函数的定义域为 . 9.函数是由 复合而成的. 10. . 11.函数 的间断点是 ，是 间断点。 .若，则 ， . 若，则 ， .14.设，求。 15. 16. 17.1
11、8. 19. 20.21. 22.23.设，已知存在，求的值。 24.某厂生产某产品，每日最多生产100单位，它的日固定成本为130元，生产一个单位的可变成本为6元，求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。 25.已知某工厂每批生产某种商品单位的总费用为,得到的收益是，求利润函数，并问每批生产多少单位时能使生产者保持盈亏平衡？第二章 导数与微分 2.1 导数的概念一、本节学习目标： 1.理解导数概念，理解导数的几何意义。 2. 掌握函数的可导性与连续性之间关系。二、本节重难点: 1.函数在点处可导 2.的几何意义：曲线在点处的切线的斜率。 3.函数可导性与连续性的关系:在处可导在处连续练习题 1
12、.下列各题中均假定存在，按照导数的定义观察下列极限，指出A表示什么？ (1) （2） (3) （4） 2.设函数可导，且，求.3.求下列函数的导数: (1) (2) (3)4.求曲线上点处的切线方程和法线方程。5.给定抛物线，求过点的切线方程和法线方程。6. 讨论函数 在处的连续性与可导性。7.函数在点处是否可导？为什么？ 2.2 函数的求导法则一、本节学习目标： 1.熟练掌握导数的四则运算法则. 2.熟练掌握复合函数的求导法则. 3.熟练掌握基本初等函数的导数公式.二、本节重难点: 1.函数四则运算求导法则: 2.反函数的求导法则: 3.复合函数的求导法则: 由，复合而成。其导数： 或. 复
13、合函数的导数关键是要正确分析已知复合函数是由哪些中间变量复合而成的，在求到导时要由外到内，逐层求导。 4.基本求导法则与导数公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) 练习题 1.求下列简单函数的导数: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2.求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) （5） （6） （7） （8） (9) (10) 设，且可导，求。设为可导函数，且，求和。2.3 高阶导数 2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、学习目标： 1.了解高阶导数的概念，会求某些简单函
14、数的阶导数. 2.会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数。二、重难点: 1.简单函数的高阶导数: , , 2.一个方程所确定的隐函数导数: (1) 直接法：方程F(x, y)=0两边同时对求导，求导过程中把看作的函数。 (2)对数求导法:适用于求幂指函数y=u(x)v(x) 的导数及多因子之积和商的导数等。 3.由参数方程所确定函数的导数: 参数方程,则 练习题1. 求下列函数的二阶导数。（1） （2）（3） （4）2. 求由下列方程所确定的隐函数的导数.（1） （2）（3） （4）3.求方程所确定的隐函数的二阶导数.4.求下列参数方程所确定的函数的一阶和二阶导数。 （1） （2）2
15、.5 函数的微分一、本节学习目标： 1.理解微分的概念. 2.掌握函数可导与可微的关系二、本节重难点: 1.函数的微分是函数改变量的的线性主部。 2.可微与可导的关系: 函数在点可微函数在点可导. 3.函数的微分： 4.微分的应用: 若，当很小时, 有练习题1. 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立； (1) ; (2) (3) ; (4); (5) ; (6). 2.求下列函数的微分： (1) (2) (3) 3. 求的近似值。第二章 测验题1. 设=0且极限存在，则等于（ ）A B C D2，设在处不连续，则（ ）A必存在 B必不存在 C必存在 D必不存在3. 函数在x=0处（ ）A无定
16、义 B不连续 C可导 D连续但不可导4（ ）A B- C D-5.设函数在点处可导，求极限,6.设函数在x=2处可导，且，则 7.求曲线在点处的切线方程和法线方程。 8.求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 9.设函数，为使函数在处连续且可导怎样取值？10.求方程所确定的隐函数的导数.11.求参数方程所确定的函数的一阶导数。 12.若函数在点可导，则边际函数值的经济意义是：在点处，当自变量产生一个单位的改变量（即或）时,相应的函数值近似地改变 个单位。 13.若某商品的总成本函数为，则生产5单位产品的边际成本为 . 14.若某商品的总成本函数和总收益函数分别为(元
17、)和(元)，求： (1)边际成本函数，边际收益函数和边际利润函数； (2)已生产并销售了50个单位的产品，那么生产第51个单位产品的利润是多少元？ 第三章 微分中值定理与导数应用 3.1 微分中值定理一、本节学习目标： 1.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理.练习题1下列函数在区间内满足罗尔定理条件的是（ ）；A . B. C. D. 2函数在区间上满足罗尔定理的=（ ）；A. 0 B. C. D. 13下列函数在区间内满足拉格朗日定理条件的是（ ）;A. B. C. D. 4.当，证明：5.当，证明：6.在上可导，则在内至少存在一点，使. 3.2 洛必达法则一、本节学习目
18、标： 1.熟练运用洛必达法则求未定式的极限二、本节重难点: 1.对于未定式型和型，洛必达法则是求极限的一个很好的方法，有时需要与其它方法（如：等价无穷小代换）结合使用。 2.型未定式求极限一般转化为或型未定式，注意对数与反三角函数一般不“下放”。 3. 型未定式采用通分、根式有理化、变量替换等方法转化。练习题 1. 2. 3. 3. 4. 5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 3.3 函数的单调性与曲线的凹凸性一、本节学习目标： 1.理解函数的单调性，并熟练掌握用导数判断函数单调性的方法. 2.理解曲线的凹凸性、拐点，并熟练掌握用导数判断函数图形的凹凸性的，会求拐点。二、本节重难点: 1
19、.函数单调性的判定定理: 设函数在上连续，在内可导，则 (1)如果在()内，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数在上单调增加； (2)如果在()内，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数在上单调减少 2.注意：划分函数的增减区间的分界点或是驻点或是不存在的点。 3.连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。 4.二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点可能为拐点。 5.凹凸性的判定定理 设在区间I上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在内，则在上的图形是凹的; (2) 若在内， 则在上的图形是凸的.练习题1曲线在（ ）；A. 内是凸的，在内是凹的 B. 内是凹的，在内是凸的C. 内是凸的，
20、在内是凹的 D. 内是凹的，在内是凸的2. 若函数在区间内有，则在该区间内（ ）；A. 单调增加，曲线是凹的 B. 单调减少，曲线是凹的C. 单调增加，曲线是凸的 C. 单调减少，曲线是凸的3. 点是曲线的拐点，则（ ）；A. B. C. D. 4. 为在上的一点，且，则点是（ ）；A. 零点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点5. 函数（ ）； A. 无极值 B. 既有极大值，也有极小值 C. 只有极大值，而无极小值 D. 只有极小值，而无极大值 6.求下列函数的单调区间（1） （2）（3） 7.证明下列不等式： (1)当时， (2)当时，8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间。（1） （
21、2）; 3.4 函数的极大值与最大值最小值一、本节学习目标： 1.理熟悉极值的概念，掌握用导数求极值的方法. 2.掌握函数的最值，会求某些最值应用问题.二、本节重难点: 1.函数的极大值和极小值是局部的概念。同一个函数的极小值可能比极大值大，极大值也可能比极小值小。 2.极值的必要条件：设函数在点处可导，且在处取得极值，那么. 3.极值点与驻点的关系：可导的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。 4.极值点可能在函数的驻点处取到，也可能在函数的一阶导数不存在的点处取得。 5.第一充分条件: (1)过由正变负为极大值 (2)过由负变正为极小值 6.用第一充分条件求的极值点和极值的步骤： (1)
22、求出导数； (2)求出的全部驻点(求出方程在所讨论区间内的全部实根)与不可导点； (3)考察的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，如果是极值点，用第一充分条件确定对应的函数值是极大值还是极小值； (4)求出极值点处的函数值，得的全部极值 7.第二充分条件：为极大值; 为极小值。 8.函数求最值： (1)函数在闭区间的最大值和最小值求法：求出在()内的驻点为、，及不可导点、，；计算出（），（）及；（驻点、不可导的点、区间端点这三类点的函数值） 比较中诸值的大小，其中最大的是在上的最大值，最小的是最小值. (2)函数在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且只有一个驻点，且这个驻点是函数的极
23、值点，那么一定是最值。练习题1.求函数的极值。2.用极值存在的第二充分条件求函数的极值。 3.求函数的最大值和最小值。 4.要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？ 3.5 函数图形的描绘一、本节学习目标： 1.了解曲线渐近线的概念，会求曲线的渐近线。2.会描绘函数的图形.二、本节重难点: 1.曲线的渐近线: (1)，则直线是函数的图形的水平渐进线. (2)，则直线是函数的图形的铅直渐近线. (3). 直线是函数的图形的斜渐近线. 2.描绘函数图形的一般步骤: (1) 确定函数的定义域, 奇偶性，并求函数的一阶和二阶导数; (2) 求
24、出一阶、二阶导数为零的点, 求出一阶、二阶导数不存在的点; (3) 列表分析, 确定曲线的单调性和凹凸性; (4) 确定曲线的渐近线; (5) 确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点; (6) 联结这些点画出函数的图形.练习题 1.描绘函数的图形。第三章 测验题 证明：当时，不等式 2.计算下列极限: (1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 3.证明不等式: 4.描绘函数的图形 5.已知某企业生产件产品的总成本为，而每件产品以600元出售，问应生产多少件产品时能使所获得的利润最大？第四章 不定积分 4.1 不定积分的概念与性质一、本节学习目标： 1.熟
25、悉原函数与不定积分的概念及关系，了解原函数存在定理； 2.熟悉不定积分性质，熟练掌握基本积分公式表，并能计算简单的积分，为后面的积分计算打好基础.二、本节重难点: 1.原函数:对任一都有 ，函数称为在区间I上的原函数。 2. 3.不定积分是原函数的全体，与原函数是不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的 一个元素。 4.的任意两个原函数至多相差一个常数。 5.在可相差常数的前提下，不定积分与求导是互逆运算。 (1) (2) 6.不定积分的性质： (1) (2) 7.基本积分表: (1) （k为常数） (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) 练习题1.若是的原函数，则（ ） A. B. C. D. 2.若函数，则不定积分（ ） A. B. C. D.3.( ) A. B. C. D.4.若函数的一个原函数为，则 5.求下列不定积分： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 6.某厂生产某种产品，总成本是产量的函数,固定成本为20，边际
