1、解直角三角形及其应用（中考复习课）教学设计一、 学情分析：本设计针对普通中学学生，且未分重点班和非重点班，均为平行分班。由于一般教材均将解直角三角形内容编排于九年级下册，因此在设计本内容复习时，学生有一定基础。同时九年级学生通过近三年的数学学习，已具备了一定的几何识图及演绎推理能力，也掌握了一定的数学思想方法及数学活动的经验。二、 教学任务与目标1、能从整个学段梳理并掌握直角三角形中边、角关系，初步掌握锐角三角函数本质。2、能用这些关系来解决复杂几何图形中的相关计算，渗透转化与方程思想方法。为综合数学应用问题的解决提供基础。3、能利用这种关系解决生活中的实际问题，培养学生建模、识图、计算能力。
2、三、 教学设计BACabc板块一：梳理直角三角形中边、角关系及理解锐角三角函数的本质。问题1：如图RtABC中，C=90，请你说一说其中边、角关系.【功能分析】本任务问题是让学生理一理初中学段中直角三角形中的边、角间关系，理解锐角三角函数，为后面复习提供基础。【活动设计】同学们先独立完成，再小组交流并互帮互纠。【反馈方式】教师巡视点拨，然后呈现部分小组活动结果，共同归纳整理。1、 边的关系 ， 角的关系 边与角的关系 ，2、 根据三角形（直角三角形）的一些边、角，求出其余边、角叫解三角形（直角三角形）。问题2：上图中，如果记，则写出y与A的函数关系1、若A分别取A1、A2，其对应的y取y1、y
3、2，若A1A2，则说出y1与y2的关系。2、同桌互相说一说特殊角的三角函数值，若，则=。【功能分析】锐角三角函数是学生较为难理解的概念，它又是高中学段的必备知识，本任务问题意在让学生进一步理清三角函数的概念及其性质的一些特征，同时通过熟记一些特殊的三角函数值进行技能运算。当然，在这里对于一些特殊的性质如：等不作要求。【活动设计】学生独立思考后同桌交流，并相互帮助纠正。【反馈方式】教师巡视帮助学习困难学生的进一步理解，并归纳三角函数值仅与角的大小有关，与该图是在直角三角形还是在一般三角形无关。D问题3：根据上述理解，完成下列相关问题1、（09乌鲁木齐）如图：半圆中，AB为直径，C、D为半圆上点，
4、BCAD且AB=6，AC=4，则。2、（09常州中考）如图RtABC中，ACB=90，CDAB，ABCAC=，BC=2，则。3、（09辽宁中考）如图ABC中，AB=AC，BC=6，AB=5，则。【功能分析】通过学生自我感悟，三角函数值仅与角的大小有关，而与角在何处，在何种三角形中无关，同时，渗透不同的转化思想来解决问题（转化成另一个角，或将一般三角形转化成直角三角形）。这种转化思想渗透于整个解直角三角形，更是后面解直角三角形的重要思想方法。【活动设计】学生独立分析，并同桌交流。【反馈方式】教师巡视，并在巡视中帮助学习有困难学生，然后对上述三题分别作方法性的点评。题1中，D放入直角三角形是用构造
5、还是用转化？题2中已有直角三角形，那么将DCB置于RtCDB中思考，还是可将DCB转化？题3中没有直角三角形，那么求，如何构造直角三角形？因此通过点评分析，帮助学生归纳出这里的数学思想方法。ACB板块二：利用解直角三角形来解一般三角形问题1：如图ABC中，B=45，C=30，AB=，求AC长。【功能分析】对于一般三角形如何利用特殊角？引导学生构造三角形。建立直角三角形模型来解决问题。这种由一般转化为特殊的思想方法在解三角形时是一种有效的方法。【活动设计】引导学生读句分析，看到45联想到什么？看到30又联想到什么？然后分析该从哪里切入？分析后由学生独立完成，过程中小组互相帮助。ABCDABCD【
6、反馈方式】师生分析后，教师巡视，帮助困难学生，对于已完成的学生可继续思考后面题。归纳上述图形的变式。ACBD问题2：如图在ABC中，B=45，C=30，BC=，求AB、AC。【功能分析】在上述问题1中，学生通过构造直角三角形能直接解出直角三角形，其中BC边上的高是关键量，在解决问题中起到“桥”的作用，本问题中的这种“桥”的作用更明显，只有算出这个“桥”才能将这些图形紧密联系，同时设计本题主要是渗透方程思想。【活动设计】由学生独立分析，小组互帮互纠，并感悟方法。ABC10D【反馈方式】教师对小组活动巡视点拨，并及时归纳这里的两种寻找等量关系的途径：一是根据三角函数将其它量表示成x的代数式。，再根
7、据列出等量关系；二是根据三角函数直接寻找等量关系。，则，则，同时，教师及时归纳变式问题。板块三：解直角三角形的实际应用问题1：（2011南京中考）如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处塔顶B的仰角为45，在点E处测得B的仰角为37（B、D、E三点在一条直线上）求电视塔的高度h（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）【功能分析】将一些解直角三角形问题赋予实际背景中，往往图形显得较为复杂，但其中不外乎上述“板块二”中所涉及的基本图形，因此在实际问题中，关键在于寻找基本图形，同时，对于实际问题一般锐角的三角
8、函数应用，能提高学生的计算力。【活动设计】ABECDh3745引导学生读题分析，识别图形，逐步联想，寻找关键量，然后独立完成。同桌互相指导，并探索是否还有其他方法。【反馈方式】巡视并帮助学习困难学生，呈现不同的实施路径并作点评分析：路径一：寻找DEC，得，得EC=40；再寻找EBA，得，得h。路径二：过D作DHAE，则，得h。上述两种路径，都是将已知角37分别放置于不同的三角形中考虑，并利用三角函数建立等量关系。问题2:（08常州中考题）如图,港口B位于港口O正西方向120海里处,小岛C位于港口O北偏西60的方向.一艘科学考察船从港口O出发,沿北偏西30的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口
9、O.同时一艘快艇从港口B出发,沿北偏东30的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C,在小岛C用1小时装补给物资后,立即按原来的速度给考察船送去.(1) 快艇从港口B到小岛C需要多少时间?(2) 快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇?D北3030东OBCA北D北3030东OBCA北【功能分析】：实际问题中常常涉及方位角问题，这也是学生的一个难点，因此本问题的第一功能是让学生明晰方位角；同时，在本问题图形已从“静止”转化为运动“状态”，在运动的过程中如何构建三角形这是本题的一个亮点与难点，这种画图能力是建立在学生的理解与高级思维的基础上进行的，能促进学生画图能力的提高。【活动设计】学生
10、先结合图形独立阅读分析，完成第（1）小问，接着小组分析第二小问。【反馈方式】巡视后，由小组呈现思考方式，并由教师点拨。(1) 这里相遇P可能出现在P1或P2(2) 若设相遇所用时间x，则能否将其它量表示为xCP1=60t, OC=, P1O=40+20t(3) 如何建立方程（在图1与图2中）。P1CO是否是直角三角形？怎么办？（4）过C作CDOP1，则P1D=20t+40-60=20t-20,则利用解直角三角形知识可建立等量关系（60t）2=()2+(20t-50)2 得t=1图2情况另行分析，并及时对图1，图2结果分析。板块四：尝试探究锐角三角形中的边角关系问题1：阅读材料1：我们知道在Rt
11、ABC中，C=900,其外接圆的圆心O是AB中点，即AB是其直径为2R，阅读材料2，如图，锐角三角形ABC的外接圆圆心O，直径为2R，试寻找a、b、c与sinA,sinB,sinC的关系，写出理由。【功能分析】近几年中考有一个倾向性就是利用初中的相关知识去探究一些高中的相关数学知识，这种设计必须根据学生的已有认知水平设计，本设计在直角三角形边角关系的基础上，进一步利用其数学思想方法对锐角三角形边角关系作探究，一方面渗透典型的转化思想，另一方面拓宽学生的视野。【活动方式】由同学们先阅读，寻找材料1中的特征，再尝试解决材料2，并小组交流。【反馈方式】教师巡视后，由小组代表交流，并归纳如何处理sin
12、A,sinB,sinC，即如何构建直角三角形，并如何将B进行转移，用等角替换。四、【设计思路】1. 目前课程标准对解直角三角形及其应用要求有所降低，各地中考题的趋势大多定位于基本题与中档题水平，其主要目的是培养学生的识图计算能力以及相关的实际应用，渗透数学建模，转化方程等数学思想。同时，这部分内容常常渗透于圆、多边形，及函数图形中进行综合应用。本节课的复习主要突出在多边形及实际问题中的应用，而对渗透各学习领域中的应用涉及不多，由复习相关领域内容时再作渗透。基于此，本堂课设计四大板块：一是掌握锐角三角函数的基本概念并进一步了解其本质内容，通过它来解一般性的直角三角形问题。二是理解解直角三角形的基
13、本模型，了解解直角三角形的常用方法。三是利用这些思想方法解决生活中实际问题，培养解决问题的能力。四是渗透探究性问题，激发探究欲望。这四板块基本上反映了近几年各地中考的方向及水平。因此，本章节复习并不在于选过多的题目，只要抓住解直角三角形本质即可，避免沉于题海战。2. 本设计突出了板块三串教学设计，其中板块设计实际上是明晰复习知识的单线，不管哪节复习课，我们只有把板块主线理清楚，才能避免复习课像新授课，真正抓住复习重点，提高复习效率。在每一板块中，又主要以核心的任务问题为载体，展开教学问题，这些核心的任务问题更是同时，考虑到复习课要充分发挥学生已有基础，让学生自己充分动起来，充分给予学生思考的时
14、空，减少教师喋喋不休的讲解（目前这种课堂现象较明显）；过程中教师做好课件，巡视帮助，归纳点拨，拓宽思路，从整个知识体系结构上帮助学生梳理。3. 本设计没有设计预习环节，本人一直坚持不该在初中数学学习时段将学校的学习过多的延伸至校外。因此本课没有预习设计，所有复习任务均通过课堂，然后课后做相关配套练习，学有余力的学生回去自主学习，不作统一要求。4. 本设计中也没有明显的例题分析，只是在选择任务型问题时精心设计学习任务，这些任务具有典型性。而且这些典型的任务性问题一般都可通过学生先尝试或小组内的思考、讨论，教师在其中，及时帮助，及时点拨，及时呈现学生多样的资源共享，全堂课采用做一做、议一议、思一思的学习方式设计。同时帮助学生归纳分析数学思想方法，及知识结构的联结，这种复习课才能真正把主动权还给学生。5. 中考复习，有明显的“应试”功能，在这应对中考的过程中，要把握好课标要求，特别是要能培养从整个学段的视角与分析问题的能力，具有激活知识点，熟练运用，渗透思想方法，拓展数学思维功能，而不是一味加深、综合，特别是针对“解直角三角形”的内容更是如此。
