1、高 等 数 学 教 案章节题目第十章 重积分10-1二重积分的概念及性质课 型理论课 教学目的理解二重积分的概念，了解二重积分性质。重 点 二重积分的概念，性质难 点如何运用二重积分的性质去解决问题参考书目同上教 具 教学后记教学 过 程 （一）、复习上节内容 （二）、讲授10-1二重积分的概念及性质一、二重积分的概念（一）引例1. 曲顶柱体的体积2.平面薄片的质量（二）二重积分的定义1定义：2. 几个事实二、二重积分的性质三、二重积分的几何意义（三）、 本次课内容小结（四）、布置作业第十章 重积分10-1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念（一）引例1. 曲顶柱体的体积设有一空间立体,它
2、的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面。当时,在上连续且,以后称这种立体为曲顶柱体。曲顶柱体的体积可以这样来计算:(1) 用任意一组曲线网将区域分成个小区域，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体，。 （假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值, 既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)图10-1-1从而 (将化整为零)(2) 由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是(以不变之高代替变高, 求的近似值)(3)
3、 整个曲顶柱体的体积近似值为(4) 为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设个小区域直径中的最大者为, 则2.平面薄片的质量设有一平面薄片占有面上的区域, 它在处的面密度为,这里,而且在上连续,现计算该平面薄片的质量。图10-1-2将分成个小区域 ，用记的直径, 既代表第个小区域又代表它的面积。 当很小时, 由于连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第小块区域的近似质量可取为于是 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归
4、结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。（二） 二重积分的定义1定义：设是闭区域上的有界函数, 将区域分成个小区域,其中,既表示第个小区域, 也表示它的面积, 表示它的直径。 作乘积 作和式 若极限 存在,则称此极限值为函数在区域上的二重积分,记作 。即 其中: 称之为被积函数,称之为被积表达式,称之为面积元素,称之为积分变量,称之为积分区域,称之为积分和式。2 几个事实(1) 二重积分的存在定理若在闭区域上连续, 则在上的二重积分存在。声明: 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。(2)中的面积元素象征着积分
5、和式中的。图10-1-3由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作(并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 。(3) 若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质1. 线性性其中: 是常数。2. 对区域的可加性若区域分为两个部分区域,则3. 若在上, 为区域的面积,则几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。4. 若在上,则有不等式特别地,由于，有5. 估值不等式设与分别是在闭区域上最大值和最
6、小值,是的面积,则6. 二重积分的中值定理设函数在闭区域上连续, 是的面积,则在上至少存在一点,使得7 、对称性（偶倍奇零）设函数在闭区域上连续, 关于x 轴对称, 位于 x 轴上方的部分为 ,在 上则则当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果.例1比较下列各对二重积分的大小（1）与，其中。（2）与，其中是三角形区域，三顶点分别为。例2 判断积分的正负号.负例3 估计下列积分之值 1.96 I 2三、二重积分的几何意义1若， 表示曲顶柱体的体积2若， 表示曲顶柱体的体积的负值3 表示曲顶柱体的体积的代数和例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.小结：
7、二重积分的定义（和式的极限）；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）；二重积分的性质。作业：习题 10-1（P136）基础题：4(1) ;5(1) 高 等 数 学 教 案章节题目第十章 重积分10-2 二重积分的计算法（一）课 型理论课 教学目的深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧重 点 熟练掌握二重积分计算难 点对积分区域的划分参考书目同上教 具 教学后记本节内容掌握的不够理想。教学 过 程 （一）、复习上节内容 （二）讲授10-2 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分1、-型区域，-型区域。2、二重积分化二次积分时应注意的问题3求体积4更换积分次序（四）、 本次课内容小结（五）、 布
8、置作业10-2 二重积分的计算法利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。一、 利用直角坐标计算二重积分、-型区域，-型区域我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题。讨论中,我们假定；假定积分区域可用不等式 表示,其中在上连续。 图10-2-1 图10-2-2据二重积分的几何意义可知, 的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积。图10-2-3在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为利用计算平行
9、截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为从而有 (1)上述积分叫做先对,后对的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分。这个先对, 后对的二次积分也常记作在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的 (在上连续),公式(1)总是成立的。类似地,如果积分区域可以用下述不等式表示,且函数,在上连续, 在上连续,则 (2) 图10-2-4 图10-2-5显然,(2)式是先对,后对的二次积分。2二重积分化二次积分时应注意的问题（1）. 积分
10、区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。（2）. 积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法 - 几何法。画出积分区域的图形(假设的图形如下 )图10-2-6在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为
11、。例1. 计算其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. （可用X型区域，Y型区域分别求解）例2. 计算其中D 是抛物线及直线所围成的闭区域. （先对 x 后对 y 积分）例3. 计算其中D 是直线所围成的闭区域.（先对 y后对 x 积分）例4. 交换下列积分顺序 关键画图例5. 计算其中D 由所围成. 关键：画图，切割积分区域，利用对称性3求体积思考 例6. 求由曲面及所围成的立体的体积。解 1. 作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域图10-2-7消去变量得一垂直于面的柱面,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域2. 列出体积计算的表达式 3. 配
12、置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算图10-2-8而 由的对称性有 所求立体的体积为4更换积分次序练习1 改变积分 的次序.练习2 改变积分的次序.练习3 改变积分的次序.练习4 求，其中是由抛物线和所围平面闭区域. 练习5 求，其中D是以为顶点的三角形. 练习6 计算积分 . 小结：二重积分计算公式直角坐标系下 X型 Y型作业 习题10-2（P154） 基础题：2 (1),(4); 3; 4 (3);7; 10 提高题：6 (4);高 等 数 学 教 案章节题目第十章 重积分10-2 二重积分的计算法（二）课 型理论课 教学目的掌握二重积分的计算方法（极坐标）。重 点 二重积分的计
13、算方法难 点二重积分的计算方法参考书目同上高等数学习题集 教 具 教学后记教学 过 程 （一）、复习上节内容 （二）讲授10-2 二重积分的计算法(二)一、利用极坐标计算二重积分1. 变换公式2. 极坐标下的二重积分计算法3. 使用极坐标变换计算二重积分的原则二、例题（三）、 本次课内容小结（四）、布置作业10-2二重积分的计算法二、利用极坐标计算二重积分1. 变换公式按照二重积分的定义有图10-2-9现研究这一和式极限在极坐标中的形式。用以极点0为中心的一族同心圆常数 以及从极点出发的一族射线常数,将剖分成个小闭区域。除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算其中,表示相邻两圆
14、弧半径的平均值。在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有于是即由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式 (1)(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素。(1)式的记忆方法:2. 极坐标下的二重积分计算法极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。(1) 积分区域可表示成下述形式其中函数,在上连续。图10-2-10则 (2) 积分区域为下述形式图10-2-11显然,这只是(1)的特殊形式 ( 即极点在积分区域的边界上 )。故 (3) 积分区域为下述形式图10-2-12显然,这类区域又是情形二的
15、一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分成与,而故 则 由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式3. 使用极坐标变换计算二重积分的原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 )。例1 计算解 此积分区域为区域的简图为图10-2-13该区域在极坐标下的表示形式为例2计算，其中为。利用此题推出概率积分例3求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 例4 写出积分的极坐标二次积分形式，其中积分区域 . .例5 计算，其D
16、为由圆，及直线， 所围成的平面闭区域. 例6计算，其中为。例7 计算，其中为。例8计算，其中为。提示：，。例9计算，其中为。例10 将下述二次积分化为直角坐标系下的二次积分。小结： 二重积分计算公式极坐标系下 作业：习题10-2（P154） 基础题： 13 (3); 14 (3); 提高题： 15(2);17 高 等 数 学 教 案章节题目第十章 重积分10-3 三重积分（一）课 型理论课 教学目的1、 掌握三重积分的定义、性质2、 掌握直角坐标下三重积分的计算方法3、 掌握柱面坐标下三重积分的计算方法重 点 直角坐标、柱面坐标下三重积分的计算方法（投影法、截面法）难 点直角坐标、柱面坐标下三
17、重积分的计算方法（投影法、截面法）参考书目同上教 具 教学后记教学 过 程 （一）、复习上节内容 （二）、讲授10-3三重积分（一）一、三重积分的概念1三重积分的定义2三重积分的存在定理3三重积分的物理意义二三重积分的计算法1、利用直角坐标计算三重积分2、利用柱面坐标计算三重积分（1）三重积分在柱面坐标系中的计算公式（2）用柱面坐标表示积分区域的方法（三）、 本次课内容小结（四）、布置作业10-3 三重积分的概念及其计算法一、三重积分的概念1三重积分的定义 设是空间闭区域上的有界函数,将任意地分划成个小区域 ，其中表示第个小区域,也表示它的体积。在每个小区域上任取一点, 作乘积，作和式， 以记
18、这个小区域直径的最大者,若极限 存在,则称此极限值为函数在区域上的三重积分,记作,即 =.其中叫体积元素。自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成。2三重积分的存在定理若函数在区域上连续, 则三重积分存在。3三重积分的物理意义如果表示某物体在处的质量密度, 是该物体所占有的空间区域,且在上连续,则和式 就是物体质量的近似值, 该和式当时的极限值就是该物体的质量。故 特别地, 当=1时,为体积.二三重积分的计算法计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分。1利用直角坐标计算三重积分假设积分区域的形状如下图所示.在面上的投影区域为, 过上任意一点, 作平行于轴的直线穿过内部, 与边界曲面相交不
19、多于两点。 亦即, 的边界曲面可分为上、下两片部分曲面。 , 其中, 在上连续, 并且 。图10-3-1如何计算三重积分呢?不妨先考虑特殊情况=1,则即 一般情况下,类似地有显然积分只是把看作的函数在区间上对求定积分, 因此,其结果应是的函数, 记那么 如上图所示, 区域可表示为从而 综上讨论, 若积分区域可表示成则 这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量, 次对,最后对的三次积分。 如果平行于 轴且穿过内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法, 将剖分成若干个部分,(如),使在上的三重积分化为各部分区域( )上的三重积分,当然各部分区域 () 应
20、适合对区域的要求。 例1 计算三重积分分，其中是由三个坐标平面及平面所围成的空间区域。例2 计算三重积分，其中是由椭球面所围成的空间区域。（先二后一）。2利用柱面坐标计算三重积分对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。（一）. 柱面坐标设为空间的一点,该点在面上的投影为,点的极坐标为,则三个数称作点的柱面坐标。图10-3-2规定的取值范围是，柱面坐标系的三组坐标面分别为=常数,即以轴为轴的圆柱面；=常数,即过轴的半平面；=常数,即与面平行的平面。点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式 (1)（二）.三重积分在柱面坐标系中的计算公式图10-3-3用三组坐标
21、面=常数,=常数,=常数,将分割成许多小区域,除了含的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。考察由各取得微小增量所成的柱体,该柱体是底面积为,高为的柱体,其体积为这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到(1)式有 (2)(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量的三次积分,其积分限要由在中的变化情况来确定。（三）用柱面坐标表示积分区域的方法(1) 找出在面上的投影区域, 并用极坐标变量表示之；(2) 在内任取一点, 过此点作平行于轴的直线穿过区域, 此直线与边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成的函数 )即
22、为的变化范围。例1 利用柱面坐标计算三重积分，其中是柱面及平面 所围成半圆柱体。例2用柱坐标计算三重积分,其中是由抛物柱面与平面所围成。小结：三重积分的定义和计算（化三重积分为三次积分），直角坐标系下的体积元素。柱面坐标的体积元素 作业：习题10-3（P164） 基础题：5; 9 (2); 提高题：8;14 高 等 数 学 教 案章节题目第十章 重积分10-4 重积分的应用课 型理论课 教学目的1、 掌握利用二重积分求曲面的面积，平面薄片的质心、转动惯量。2、 掌握利用三重积分求立体体积、空间体积的质心、转动惯量、引力。重 点 利用二重积分求曲面的面积，平面薄片的质心、转动惯量。难 点利用三重
23、积分求立体体积、空间体积的质心、转动惯量、引力。参考书目同上教 具 教学后记教学 过 程 （一）、复习上节内容 （二）、讲授 10-4 重积分的应用一、立体体积二、曲面的面积；1、推导公式；2、例题三、质心；1. 平面上的质点系的质心2. 质心3. 空间物体的质心四、转动惯量；1. 平面质点系对坐标轴的转动惯量2. 平面薄片对于坐标轴的转动惯量3. 空间物体的转动惯量五、引力（三）、 本次课内容小结（四）、布置作业10-4 重积分的应用定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：1. 所要计算的某个量对于闭区域具有可加性(即:当闭区域分成许多小闭区域时, 所求量相应地分成许
24、多部分量,且。2. 在内任取一个直径充分小的小闭区域时, 相应的部分量可近似地表示为 , 其中, 称为所求量的元素, 并记作。3. 所求量可表示成积分形式 一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为，占有空间有界域 W 的立体的体积为。例1. 求曲面任一点的切平面与曲面所围立体的体积V . 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为a 的内接锥面所围成的立体的体积. 二、曲面的面积设曲面由方程给出, 为曲面在面上的投影区域,函数在上具有连续偏导数和,现计算曲面的面积。图10-4-1在闭区域上任取一直径很小的闭区域 (它的面积也记作),在内取一点,对应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。 以小区域
25、的边界为准线作母线平行于轴的柱面, 该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。曲面在点处的法线向量( 指向朝上的那个 )为它与轴正向所成夹角的方向余弦为而 所以 这就是曲面的面积元素, 故即 例3 计算双曲抛物面被柱面所截出的面积 A .例4. 计算半径为 a 的球的表面积.（可利用直角坐标系或球坐标系）练习 求球面含在柱面() 内部的面积。解 所求曲面在面的投影区域 图10-4-2曲面方程应取为 , 则 , 曲面在面上的投影区域为图10-4-3据曲面的对称性,有若曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面,设所得到的投影
26、区域分别为或,类似地有或二、质心1. 平面上的质点系的质心设在平面上有个质点,它们分别位于点处,质量分别为.由力学知道,该质点系的质点的坐标为 , 2.空间物体的质心设占有空间有界闭区域的物体，在点处的密度为 （假定在上连续），则物体的质心坐标是 其中当为常数， 3.质心设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,如何确定该薄片的质心坐标。在闭区域上任取一直径很小的闭区域,是这小闭区域内的一点,由于的直径很小,且在上连续,所以薄片中相应于的部分的质量近似等于,于是静矩元素为又平面薄片的总质量为 从而,薄片的质心坐标为特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则这时薄片的质
27、心称为该平面薄片所占平面图形的形心。例5 求位于两圆和之间均匀薄片的质心。练习 一个半径为1的半圆形平面薄片，其上各点处的密度该点到圆心的距离，求此薄片的质心。解，质心四、转动惯量1. 平面质点系对坐标轴的转动惯量设平面上有个质点, 它们分别位于点处, 质量分别为。设质点系对于轴以及对于轴的转动惯量依次为2. 平面薄片对于坐标轴的转动惯量设有一薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为, 假定在上连续。 现要求该薄片对于轴、轴的转动惯量,。与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为以这些元素为被积表达式,在闭区域上积分,便得同理例6. 求由半径为的均匀半圆薄片(面密度为常数)对于其直径边的转
28、动惯量。解其中为半圆薄片的质量。3.空间物体的转动惯量设占有空间有界闭区域的物体，在点处的密度为 （假定在上连续），则物体的转动惯量， ， 。例7 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴的转动惯量。解 其中为球体的质量五、引力设物体占有空间区域 W,其密度函数物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,引力元素在三坐标轴上的投影分别为,在W上积分即得各引力分量:,对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点的引力分量为 例8 求半径 R 的均匀球对位于点处的单位质量质点的引力.小结： 几何应用：曲面的面积；物理应用：重心、转动惯量、引力。作业：习题10-4（P175）基础题：1 提高题：4(2)
