1、绵阳市高中绵阳市高中 2020 级第三次诊断性考试级第三次诊断性考试 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 CBDAC AADCB BA 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 133 142 151 1621 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17解：（1）抽取的 3 个销售终端中至少有 2 个销售终端的年销售额超过 40 万元的概率2134164320557C CCPC 5分（2）由样本估计总体，从全国随机抽取1个销售终端，春季新款的年销售额超过40万元的概率是15，随机变量B1(3)5，6分 0033
2、1464(0)()()55125PC，7分 1231448(1)55125（）PC，8分 2231412(2)()55125PC，9分 3303141(3)()()55125PC 10分 的分布列为：11分 的期望为：3()5Enp 12分 18解：（1）证明：取AC的中点为 O，连接 BO，PO PA=PC，POAC 1分 0 1 2 3 P 12564 12548 1251211252 24，PAPCAC，90APC，2分 122POAC，同理2BO 3分 又2 2PB，可得222POOBPB，即POOB 4分 ACOBO，AC，OB 平面ABC，PO 平面ABC 5分 又PO 平面PAC
3、，平面PAC 平面ABC 6分（2）PO 平面ABC，OBAC，则POOB 又POOC，建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz，则(2 0 0)，A，(0 2 0)B，(2 0 0)，C，(0 0 2)，P，2 4(0)3 3，M，7分 (2 0 2)，AP ，2 2 0，AB 设平面PAB的法向量为 n()，xyz，由0=0，n APn AB 得220220，xzxy令1x，得 n(1 1 1)，9分 同理，平面APM的法向量为 m(1 2 1)，10分 2 2coscos3，m nmnm n ，11分 二面角余弦值为2 23 12分 19解：（1）由3log()nnST，令 n=1，得11
4、113331log()log()log23=a STb，即12=a，2分 又4134aad，等差数列na的公差2d，42 nan，4分 21()32nnn aaSnn，5分 nnnT32)3(6分（2）当2n时，22(1)3(1)54-1(3)(3)nnnnnT，7分 当2n时，2421(3)3nnnnnTbT，8分 当1n 时，311b也满足上式，所以23nnb(nN)9分 2243=nnnnancb，要使11nnnccc成立，即321262422333nnnnnn，10分 解得n=4，11分 323c，449c，529c，满足：4c为3c，5c的等差中项，存在n=4符合题意 12分 20解
5、：（1）221()xaxfxx，1分()f x在1(2)2，上即有极大值又有极小值，所以方程2210 xax 在1(2)2，上有两不等实根，2分 令2()21g xxax，则280122413()0222(2)920aaagga，3分 解得：2 23a，所以实数a的取值范围为：2 23a 5分（2）设切点为00()，xy，其中220 x，则由题意可得：200020000211ln，xaxxxaxxax 6 分 整理得：00121axx，7 分 200001ln220 xxxx，（）令21()ln22h xxxxx2)2（x，则22211(1)(21)()22xxh xxxxx，8 分 由221
6、0 x ，易知：()h x在212（，）上单调递增，在1)（，上单调递减 9 分()(1)0h xh，所以方程（）只有唯一解：01x，10 分 所以：2a 12 分 21解：（1）设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 l：y=x2，1 分 联立方程222xyypx，整理得：2240ypyp，2 分 由韦达定理：121224yypy yp，3 分 22212121211()4MNtyytyyy y 221 14163 2pp，4分 解得：12p，故抛物线的方程为：y2=x 5分（2）方法一：方法一：设y1=a，则2()，M aa，联立直线MN与抛物线C方程可得：22xtyyx，整理得：2
7、20yty；由韦达定理：y1 y2=2，则y2=2a；7分 联立直线MP与抛物线C方程可得：23xnyyx，整理得：230yny，由韦达定理：y1 y3=3，则y3=3a 8分 121=+=PMNPANPAMPAMyySSSSy 121313111()()156()22yyyyyyyy 3165=()2aaa 10分 令365()h aaaa，224244597975()()51822()aaaah aaa 24975597597()()()222aaaa 由()0h a解得：5972a，由()0h a解得：59702a，()h a在区间597(0,)2单调递减，在597(,)2单调递增，11
8、分 当25972a时，h(a)取得最小值.故M的横坐标为5972 12分（2）方法二：方法二：延长PN交x轴于点Q，设 P(x3，y3)，Q(x4，0)，y1=a，则2()，M aa，联立直线MN与抛物线C方程可得：22xtyyx，整理得：220yty，由韦达定理：y1 y2=2，则y2=2a，故N(242，aa)，7分 联立直线MP与抛物线C方程可得：23xnyyx，整理得:230yny，由韦达定理：y1 y3=3，则y3=3a，故P(293，aa)，9分 Q，N，P三点共线，故QNNPkk，代入得：4222145aaxaa，解得：426xa，2102()，QNaa，2153()，QPaa，
9、即23QNQP，故13NPQP ，则132311 1163165=(3)()=()33 262MNPMQPSSQByyaaaaaa，10分 令365()h aaaa，则424518()aah aa，当25972a时，h(a)取得最小值，11分 故M的横坐标为5972 12分 22解：（1）可得圆C的标准方程为：22(2)4xy，圆C是以C（2，0）为圆心，2为半径的圆，2分 圆C的参数方程为：22cos2sinxy（为参数）5分（2）2 2|AB，可得2ACB，6分 不妨设点A所对应的参数为，则点B所对应的参数为2，(22cos2sin)，A，则(22cos()2sin()22，B，即B22s
10、in2cos，7分 1122cos2sinxy，222 2sin2cos-xy，1212x xy y=22cos)(22sin)2sin2cos（8分=44(cossin)=4+42cos()4，9分 0 2，则9444，当cos()4=1，即=74时，1122x yx y的最大值为44 2 10分 23解：（1）由a=1，则2b+3c=3，由柯西不等式，得222(11()()2323)()+bbcc，2分 2115()3()232bc，3分 102bc，当且仅当92105，bc时等号成立 5分（2）a+2b+3c=4，即2b+3c=4a，又2abc，则2bca，6分 又由（1）可知：22211(23)()()()23bcbc，7分 25(4)(2)6aa，即112440aa，8 分 令a=t，所以2112440tt，解得：2211 t，即44121 a，9 分 又 2b+3c=4a，且 b0，c0，4a0，即 a4，综上可得，44121a 10 分
