1、燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University假设假设:(1)杆的横截面在振动时始终杆的横截面在振动时始终保持为平面，并作整体运动；保持为平面，并作整体运动；(2)略去杆纵向伸缩引起的横略去杆纵向伸缩引起的横向变形。向变形。已知已知:(1)杆的单位体积的质量为杆的单位体积的质量为(x)，截面积为，截面积为A(x)，杆长为杆长为L，弹性模量为弹性模量为E；(2)杆受分布力杆受分布力f(x,t)作用作纵向振动。作用作纵向振动。3.2 杆的纵向振动杆的纵向振动坐标：坐标：以以u(x,t)表示杆表示杆x截面在时刻截面在时刻t的
2、位移，即位移是截的位移，即位移是截面位置面位置x和时间和时间t的二元函数。的二元函数。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University在杆上在杆上取微段取微段dx。微元受力如图。微元受力如图所示。微元纵向应变为所示。微元纵向应变为 ddxuxuxxuux截面上的内力为截面上的内力为N；x+dx截面上的内力为截面上的内力为dNNxx xuExAExAxAtxN,内力内力N是是x,t的函数的函数根据牛顿根据牛顿运动定律得运动定律得 22d,dd,ddux A xxtNNf x txNxNf x txxxx杆纵向振动的杆纵向振
3、动的偏微分方程为偏微分方程为 txfxuxEAxtuxAx,22燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University 若 杆 的 单 位 体 积 质 量若 杆 的 单 位 体 积 质 量(x)=常 数，截 面 积常 数，截 面 积A(x)=A=常数，常数，杆纵向振动杆纵向振动的偏微分方程简化为的偏微分方程简化为如果如果f(x,t)=0，则杆纵向自由振动的偏微分方程为，则杆纵向自由振动的偏微分方程为 22222uuatxa为弹性波沿为弹性波沿x轴的传播速度。轴的传播速度。aE txfxuxEAxtuxAx,22txfAxuEt
4、u,12222燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University 类似于弦的横向振动，仍然采用分离变量法求解杆类似于弦的横向振动，仍然采用分离变量法求解杆纵向振动的偏微分方程。设纵向振动的偏微分方程。设u(x，t)表示为表示为 tFxUtxu,22222uuatx 0dd222tFttF 222d00dU xU xxLxa杆纵向自由振动的偏杆纵向自由振动的偏微分方程可以分解为微分方程可以分解为两个常微分方程两个常微分方程燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan U
5、niversity式中：式中：C,D为待定常为待定常数，由两个端点的边数，由两个端点的边界条件决定。界条件决定。两个常微分方程的解两个常微分方程的解 0dd222tFttF 222d00dU xU xx Lxa tBtAtFcossin xaDxaCxUcossin式中：式中：A,B为为待定常待定常数，由两个初始条件数，由两个初始条件决定。决定。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University固有频率为固有频率为 1,2,rELrLarr振型函数为振型函数为 sin 1,2,rrUxxrL边界条件对固有频率、振型的影响边
6、界条件对固有频率、振型的影响(1)两端固定两端固定固定端的变形必须为零，所以固定端的边界条件为固定端的变形必须为零，所以固定端的边界条件为 00LUU xaDxaCxUcossin将边界条件代将边界条件代入振型函数入振型函数 00U0D sin0CLa 0U L D=0C=1燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan UniversityC=0D=1固有频率为固有频率为 1,2,rELrLarr振型函数为振型函数为 cos 1,2,rrUxxrL(2)两端自由两端自由0C 自由端的应力为零，即应变为零，自由端的边界条件为自由端的应力为零
7、，即应变为零，自由端的边界条件为 0dddd0LxxxxUxxU 0d0dxUxx d0dxLUxx=0=0，杆作刚杆作刚体纵向平动体纵向平动0sin0Lasin0DLaa sincoscossinU xCxDxaadU xCxDxdxaaaa燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan UniversityD=0C=1(3)一端固定一端自由的杆一端固定一端自由的杆边界条件为边界条件为 00d0dxLUUxx由此得由此得 0D0cosLaaC频率方程为频率方程为 0cosLa固有频率为固有频率为 2121 1,2,22rrarErLL振型
8、函数为振型函数为 sinco s21sin 1,2,2rrrUxCxDxaarxrL sincoscossinU xCxDxaadU xCxDxdxaaaa燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University对于上述三种边界条件：对于上述三种边界条件：两端固定的杆；两端固定的杆；两端自由的杆；两端自由的杆；一端固定、一端自由的杆。一端固定、一端自由的杆。前三阶振型图为：前三阶振型图为：燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University解：上端固定的边界条
9、件为解：上端固定的边界条件为 00 0,0Utu或 下端具有附加质量下端具有附加质量M，在振动时产生对杆端的惯性，在振动时产生对杆端的惯性力。取质块为研究对象，杆对质块的作用力方向向上，力。取质块为研究对象，杆对质块的作用力方向向上，下端点的边界条件为下端点的边界条件为22,ttLuMxtLuEA例例-1 求如图所示的上端固定、下端有一附求如图所示的上端固定、下端有一附加质量加质量M的等直杆作纵向振动的固有频率和的等直杆作纵向振动的固有频率和振型函数。振型函数。实例实例燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University考虑
10、到考虑到 tFxLUxtLudd,故下端边界条件为故下端边界条件为 LMUxLUEA2dd由顶端边界条件由顶端边界条件 U(0)=0 tFLUttFLUttLu22222dd,sincosF tAt Bt xaDxaCxUcossin0D由下端边界条件由下端边界条件 xaaDxaaCxxUsincosddLaMLaaEAsincos2固有频率方程固有频率方程燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University因因a2=E/。整理后得。整理后得aLaLMALtg上式为特征方程，即固有频率方程。方程左边为杆的质上式为特征方程，即
11、固有频率方程。方程左边为杆的质量与附加质量的比值。当给定比值后，通过数值法可以量与附加质量的比值。当给定比值后，通过数值法可以求得各个固有频率求得各个固有频率 r的数值解，也可以用作图求出。的数值解，也可以用作图求出。LaaLMaEALtg2LaMLaaEAsincos2固有频率方程变化为固有频率方程变化为1tgEALMaa燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University设质量比设质量比 AL/M=1，=L/a，则特征方程简化为，则特征方程简化为1tg86.0143.32 86.011ELLaELLa43.322作出作出
12、tg 和和1/两个图形，两个图形，如图所示。两个图形的如图所示。两个图形的交点交点 1和和 2,，便是各阶，便是各阶固有频率。固有频率。M=0，即一端固定、一端自由的杆，即一端固定、一端自由的杆1 2ELaLaLMALtg燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University与一端固定一端自由的等直杆比较，杆下端的附加质与一端固定一端自由的等直杆比较，杆下端的附加质量增加了系统质量，从而使固有频率明显地降低。量增加了系统质量，从而使固有频率明显地降低。如果杆的质量相对附加质量很小，如果杆的质量相对附加质量很小，AL/M1，1亦
13、亦为小值，可近似地取为小值，可近似地取tg 1 1，因此特征方程可以简化为，因此特征方程可以简化为由此计算得基频由此计算得基频MkLMEAMALLa1式中式中k=EA/L为杆本身的抗拉刚度，为杆本身的抗拉刚度，M为附加质量。为附加质量。2111tgALLLtgMaaMAL21因因 =L/aaE燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University这一结果与单自由度系统的结果相同，这一结果与单自由度系统的结果相同，说明在计算基频时，如果杆本身质量比悬说明在计算基频时，如果杆本身质量比悬挂的质量小得多时，可以略去杆的质量。挂的质量
14、小得多时，可以略去杆的质量。若进一步取进一步取31113tgMAL331113311ALMALMALMAL将第一次的近似将第一次的近似 =AL/M代入上式，可得代入上式，可得21例如，当例如，当 AL/M=1/10时，误差仅为时，误差仅为1.25。1kM31211MAL燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University所以基频所以基频 1为为3/3/3/1ALMkALMLEAALMALLa上式就是将杆质量的三分之一加到质量上式就是将杆质量的三分之一加到质量M上所得的单自由度系上所得的单自由度系统的固有频率计算公式。统的固有
15、频率计算公式。和瑞利法所得的结果相一致。和瑞利法所得的结果相一致。例如，附加质量例如，附加质量M等于杆的质量时，有等于杆的质量时，有EL866.01因此，只要杆的质量不大于附加质量，由简化公式计算的基频能因此，只要杆的质量不大于附加质量，由简化公式计算的基频能够满足工程实际应用的要求。够满足工程实际应用的要求。精确解时，系数为精确解时，系数为0.860.86，误差仅为，误差仅为0.70.7。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University例例2 求如图所示的一端固定一端弹性支承的杆作纵向振求如图所示的一端固定一端弹性支承
16、的杆作纵向振动的固有频率和振型函数。动的固有频率和振型函数。解：左端为固定端，边界条件为解：左端为固定端，边界条件为 00 00U,tu或 右端联结一刚度为右端联结一刚度为k的弹簧。弹簧力与杆轴向内力的弹簧。弹簧力与杆轴向内力大小相等，方向相反，即大小相等，方向相反，即)(dd ),(,LkUxxUEAtLkuxtxuEALxLx或燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan UniversityLakLaaEAsincos由此得由此得令令=-EA/kL，则，则由上式可求得各个固有频率由上式可求得各个固有频率 r的数值解。的数值解。xax
17、Urrsin,2,1r由左端边界条件由左端边界条件U(0)=0 xaDxaCxUcossin0D d()dx LU xEAkU Lx由右端边界条件由右端边界条件与各个与各个 r相应的振型函数为相应的振型函数为kLEAaLaLtantanL aL a燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University例例3 如图所示的一端固定一端自由的均质杆。设在自由如图所示的一端固定一端自由的均质杆。设在自由端作用轴向力端作用轴向力F，在，在t=0时释放。求杆运动规律时释放。求杆运动规律u(x,t)。解：一端固定一端自由杆的固解：一端固定一
18、端自由杆的固有频率和振型函数为有频率和振型函数为,2,1r xLrxUELrrr212sin 212121(21)(21)(,)sinsincos222rrrrrarau x txAtBtLLL因因11(,)()()()()()sinsinrrrrrrrrru x tU x F tU x F tU xAtBt燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University常数常数Ar和和Br决定于初始条件决定于初始条件EAFxxu0,0,0txu第一个条件给出了第一个条件给出了t=0时是均匀初始应变；因在时是均匀初始应变；因在t=0时释
19、放此力，时释放此力，所以第二个条件表示初始速度为零。所以第二个条件表示初始速度为零。0rA故杆的位移故杆的位移u(x,t)可以表示为可以表示为1212cos 212sin,rrtLarBxLrtxu tLarLarBtLarLarAxLrttFxUtt,xurrr212sin212212cos212212sindd1故由第二个初始条件得故由第二个初始条件得燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University由第一个初始条件得由第一个初始条件得xLrBEAFxrr212sin1用用 乘以上式的两边。考虑到三角函数的正乘以上式的
20、两边。考虑到三角函数的正交性，在交性，在0 x L上积分，可得的上积分，可得的Br的值，有的值，有 xLr212sinxxLrEAFxxxLrBLLrd2)12(sind2)12(sin002由上述方程可得由上述方程可得,rEArFLBrr321 1128122燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University所以杆的纵向运动为所以杆的纵向运动为1212212cos212sin1218,rrtLarxLrrEAFLtxu在自由端在自由端x=L处振幅最大，即处振幅最大，即2)12(sin)12()1(81212maxrrEA
21、FLurrEAFLEAFLEAFL88)251911(8222这正是杆在静拉力这正是杆在静拉力F作用下自由端的位移。作用下自由端的位移。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University22222uuatx运动微分方程的解运动微分方程的解上节课内容回顾上节课内容回顾杆纵向振动杆纵向振动 txfxuxEAxtuxAx,22222221,uuafx ttxA杆纵向振动的偏微分方程为杆纵向振动的偏微分方程为均质等截面杆纵向振动的偏微分方程为均质等截面杆纵向振动的偏微分方程为均质等截面杆纵向自由振动的偏微分方程为均质等截面杆纵向自
22、由振动的偏微分方程为 tFxUtxu,sincossinF tAtBtEt xaDxaCxUcossin11(,)()()()sinsinrrrrrrrrru x tU x F tU xAtBt燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University例例4 求图示组合杆柱纵向振动的固有频率求图示组合杆柱纵向振动的固有频率燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University解：第解：第1种情况种情况边界条件：顶端弹性约束；底端自由边界条件：顶端弹性约束；底端自由
23、0(0,)0 xexLuEAK utxuEAx用振型函数表示为用振型函数表示为0(0)0 xexLdUEAK UdxdUEAdx sincos=cossinU xCxDxaadU xCxDxdxaaaa燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University0(0)0 xexLdUEAK UdxdUEAdx sincos=cossinU xCxDxaadU xCxDxdxaaaaeKtgLaaEA由边界条件由边界条件1eEACK Da由边界条件由边界条件2cossin0CLDLaaaatanCLaDeKCaDEA固有频率方程固有
24、频率方程eLKLtgLaaEA燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University解：第解：第2种情况种情况分析：分析：如何选择坐标系？如何选择坐标系？如何建立运动微分方程？如何建立运动微分方程？燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University边界条件：顶端弹性约束；底端自由边界条件：顶端弹性约束；底端自由连续性条件：两杆连接处位移相同、内力相同连续性条件：两杆连接处位移相同、内力相同坐标系：每级杆柱独立坐标系。坐标系：每级杆柱独立坐标系。222111
25、112212222222222200uuaxLtxuuaxLtx运动微分方程：运动微分方程：1221121110112222112121122012(0,)00 xexLxLxuE AKutxuEAxuLtutuuE AEAxx（，）（，）燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University振型函数表示的边界条件与连续性条件振型函数表示的边界条件与连续性条件1221121110112222112121122012(0)00 xexLxLxdUE AK UdxdUE AdxULUdUdUE AE Adxdx（）（）111111
26、1111111111111sincos=cossinUxCxDxaadUxCxDxdxaaaa2222222222222222222sincos=cossinUxCxDxaadUxCxDxdxaaaa1111122222222111121111111122211112cossin0sincoscossineE A CK DaCLDLaaaaCLDLDaaE ACLDLE A Caaaaa燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University固有频率方程固有频率方程1121112121222111211112122111()()
27、()()()eeE AaE AtgL tgLtgL tgLaaE A aKaaaE A E A atgLE AKa aa燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University解：第解：第3种情况种情况边界条件与边界条件与连续性条件：连续性条件：坐标系：每级杆坐标系：每级杆柱独立坐标系。柱独立坐标系。222111112212222222222222233333223000uuaxLtxuuaxLtxuuaxLtx 运动微分方程：运动微分方程：1331122231110113333112121122012223322233023(
28、0,)000 xexLxLxxLxuE AKutxuEAxuLtutuuE AEAxxuLtutuuEAEAxx（，）（，）（，）（，）燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University固有频率方程固有频率方程221213233123132112313222311111113313311122112332121133132111322111()()()()1()()11()1()1()1eeeE AtgL tgLtgL tgLa E AaaaaaaE AtgL tgLa a E AaaE AE AE AtgLE A aE
29、A aKaaE AE A ptgLE A aKaaE AtgLcKaaaE Atga a E A a123123()()()L tgL tgLaaa燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University圆轴扭转振动示意图。圆轴扭转振动示意图。6.3 6.3 轴的扭转振动轴的扭转振动 已知：已知：(x)为为轴单位体积的质量；轴单位体积的质量；I(x)为轴单位长度的转动惯量；为轴单位长度的转动惯量；J(x)为轴横为轴横截面的极惯性矩截面的极惯性矩；f(x，t)为作用于轴上为作用于轴上的分布扭矩。的分布扭矩。L为轴长为轴长；G为为剪
30、切弹性模量。剪切弹性模量。以以(x，t)表示表示x截面的角位移。截面的角位移。微元受力图微元受力图燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan UniversityxxxGJxxxGJxxMMttd)()(d xxGJMt假设：假设：(1)理想弹性体；理想弹性体；(2)轴的横截面在扭转振动中仍保持轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体运动，即忽略扭转振为平面作整体运动，即忽略扭转振动时截面的翘曲。动时截面的翘曲。取微段取微段dx，由材料力学知，轴的扭转应变为，由材料力学知，轴的扭转应变为 ，作用于微段作用于微段dx两侧截面上的扭矩分别为
31、两侧截面上的扭矩分别为x燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University微段运动微分方程为微段运动微分方程为 tttMxxMMxtxftxxIdd,d22整理得整理得 txfxxGJxtxI,22上式为圆轴扭转振动的偏微分方程。上式为圆轴扭转振动的偏微分方程。若单位长度的转动惯量若单位长度的转动惯量I(x)=I=常数，单位体积的质量常数，单位体积的质量(x)=常数，截面极惯性矩常数，截面极惯性矩J(x)=J=常数，且有常数，且有I=J。则则轴扭转振动的偏微分方程轴扭转振动的偏微分方程为为txfxGJtI,2222 xxG
32、JMt燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University弦的横向振动、杆的纵向振动以及轴的扭转振动具有弦的横向振动、杆的纵向振动以及轴的扭转振动具有相同形式的偏微分方程。相同形式的偏微分方程。当当f(x，t)=0，圆，圆轴扭转自由振动偏微分方程为轴扭转自由振动偏微分方程为2222xGJtI22222xat或或式中式中Ga a表示剪切弹性表示剪切弹性波沿波沿x轴的传播轴的传播速度。速度。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University同样，式中有同样，
33、式中有四个待定常数四个待定常数。系数系数C,D决定于边界条件；决定于边界条件；系数系数A，B取决于初始条件。取决于初始条件。,sincos(sincos)x tx F tCxDxAtBtaa 扭转振动偏微分方程的解为扭转振动偏微分方程的解为求轴扭转振动的固有频率和振型函数的方法与上两节求轴扭转振动的固有频率和振型函数的方法与上两节完全相同，需要利用边界条件解出固有频率完全相同，需要利用边界条件解出固有频率，并确定，并确定振型函数；其边界条件与杆的纵向振动相似。振型函数；其边界条件与杆的纵向振动相似。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yansh
34、an University固定端固定端 (0,t)=0 (L,t)=0自由端自由端 0,0 xxtx0,Lxxtx惯性载荷惯性载荷0022,xxxtxGJttxILxLxxtxGJttxI,22弹性载荷弹性载荷 0,0 xtxtxGJtkLxtxtxGJtLk,其中其中kt为扭为扭转 弹 簧 刚转 弹 簧 刚度。度。轴扭转振动的边界条件轴扭转振动的边界条件燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University因为系统是线性的，故系统的全解是由无限阶固有振因为系统是线性的，故系统的全解是由无限阶固有振型叠加而成，即型叠加而成，即
35、)cossin(cossin),(1tBtAxaDxaCtxrrrrrrrrr则有则有 11sincossincosrrrrrrrrrrrrrfxCxDxBaag xCxDxAaa设给定初始条件为设给定初始条件为 xfx0,xgx,0解上述立方程即可确定积分常数解上述立方程即可确定积分常数Ar和和Br。振型函数由边界振型函数由边界条件确定。条件确定。结合系统的固有频率结合系统的固有频率 r和振型函数和振型函数 r(x)，便求得系，便求得系统的位移响应。统的位移响应。将将Ar和和Br带回通解带回通解方程。方程。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,
36、Yanshan University例例1 设轴一端固定，另一端附有圆盘，如图所示，圆盘设轴一端固定，另一端附有圆盘，如图所示，圆盘转动惯量为转动惯量为I，求扭转振动的固有频率与振型函数。，求扭转振动的固有频率与振型函数。解：轴扭转振动可表示为解：轴扭转振动可表示为(x,t)=(x)F(t)且有且有 tBtAtFcossin xaDxaCxcossin左端为固定端，边界条件为左端为固定端，边界条件为(0,t)=0 或 (0)=0燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University轴在轴在L端的边界条件可由端的边界条件可由L端
37、截面的扭矩等于圆盘的惯性力矩得出端截面的扭矩等于圆盘的惯性力矩得出22,ttLIxtLGJ LIxLGJ2dd用振型函数表示为用振型函数表示为按截面扭矩的正负规定来判断上面等式的按截面扭矩的正负规定来判断上面等式的“”号：在号：在L端的扭矩以逆时针为正，所以作用在圆盘端的扭矩以逆时针为正，所以作用在圆盘I上的扭矩顺上的扭矩顺时针为正；截面角位移时针为正；截面角位移(x，t)逆时针为正，以圆盘逆时针为正，以圆盘I为为研究对象，即可列出园盘运动微分方程研究对象，即可列出园盘运动微分方程22tIMt 即为轴在即为轴在L端的边界条件。端的边界条件。燕山大学机械工程学院School of Mechani
38、cal Engineering,Yanshan University轴扭转振动的特征方程为轴扭转振动的特征方程为 tan=因为因为a2=G/。并引入。并引入aLILJ 的物理意义：轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比。对的物理意义：轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比。对于给定于给定 值，可以求出轴扭转振动固有频率的数值解。值，可以求出轴扭转振动固有频率的数值解。(0)=0 xaDxaCxcossin0D LIxLGJ2ddLaILaGJasincos2tanGJLaIa2tanGJ LLJLLaaIaI燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan
39、University 0.01 0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 1.00 1.50 1 0.10 0.32 0.52 0.65 0.75 0.82 0.86 0.98 2.00 3.00 4.00 5.00 10.0 20.0 100 1 1.08 1.20 1.27 1.32 1.42 1.52 1.57 /2 实际上，通常基频振动最为重要。根据轴扭转振动的实际上，通常基频振动最为重要。根据轴扭转振动的特征方程，可以求得不同特征方程，可以求得不同 值时的基本特征值值时的基本特征值 1。当当 值很小时，即轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比值很小时，即轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比
40、很小时，可以近似地取很小时，可以近似地取tan 1 1。轴扭转振动特征方程。轴扭转振动特征方程的简化。的简化。或写为或写为IkILGJILJLa1式中式中k=GJ/L为轴的扭转弹性刚度为轴的扭转弹性刚度。对基频的影响对基频的影响2 tan=aL燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University该式为略去轴的质量后所得的单自由度该式为略去轴的质量后所得的单自由度系统的固有频率公式。系统的固有频率公式。如果轴的转动惯量与圆盘的转动惯量相近，由单自由如果轴的转动惯量与圆盘的转动惯量相近，由单自由度理论所述的瑞利法，将轴转动惯量的
41、三分之一加到圆度理论所述的瑞利法，将轴转动惯量的三分之一加到圆盘的转动惯量盘的转动惯量I上，再按单自由度系统计算基频，可得较上，再按单自由度系统计算基频，可得较好的近似值。好的近似值。例如当例如当=1时，有时，有用上式计算所得的基频近似值的误差还不到用上式计算所得的基频近似值的误差还不到1。1kI显然，固有频率近似解的误差约为显然，固有频率近似解的误差约为5。当当=0.3时，时，1的近似解的近似解 tan=21=0.551的数值解的数值解1=0.52331LJILGJIIk近似解近似解1=0.866数值解数值解1=0.864燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engi
42、neering,Yanshan University例例2 如图所示的等直圆轴，长为如图所示的等直圆轴，长为L，以等角速度，以等角速度 转动，转动，某瞬时左端突然固定，求轴的扭转振动响应。某瞬时左端突然固定，求轴的扭转振动响应。解：一端固定一端自由解：一端固定一端自由的圆轴的边界条件为的圆轴的边界条件为(0,t)=0 或 (0)=00,xtL 0ddxL或根据边界条件，可得根据边界条件，可得0D0cosLaCa哪个力学模型？哪个力学模型？xaDxaCxcossin燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan UniversitytLarB
43、tLarAxLrtxrrr2)12(cos2)12(sin2)12(sin),(1式中常数取决定于初始条件式中常数取决定于初始条件00,x0,x将其代入位移响应表达式，得将其代入位移响应表达式，得0rB12121sin22rrrarAxLL211 22rrar,L固有频率：固有频率：,rraL21 212振型函数：振型函数：sin1xCxCa燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University将上式两边同时前乘以将上式两边同时前乘以 并沿轴全长积并沿轴全长积分。利用固有振型的正交性，解出分。利用固有振型的正交性，解出xLr2
44、12sin,rarLAr21 12822代入扭转振动响应代入扭转振动响应(x,t)表达式，得表达式，得tLarxLrraLtxr212sin212sin1218,12212121sin22rrrarAxLL燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University弦的横向振动弦的横向振动弦横向振动、杆纵向振动与轴扭转振动弦横向振动、杆纵向振动与轴扭转振动22222xyatyTa 杆的纵向振动杆的纵向振动22222uuaaEtx轴的扭转振动轴的扭转振动22222aaGtx tFxYtxy,通解通解 xExDxYcossin sincosF tAtBt燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University弦横向振动、杆纵向振动、轴扭转振动弦横向振动、杆纵向振动、轴扭转振动燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University弦横向振动、杆纵向振动、轴扭转振动弦横向振动、杆纵向振动、轴扭转振动
