1、2021年北京市中学生数学竞赛初二试题（含答案） 2021年北京市中学生数学竞赛初二试题 一、选择题（每小题5分，共25分） 1在1100这100个自然数中，质数所占的百分比是（ ） （A）25% （B）24% （C）23% （D）22% 2一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（ ） （A）直角三角形 （B）钝角三角形 （C）恰有两边相等的三角形 （D）恰有一个内角为60的三角形 3已知n为正整数，S=1+2+n则S的个位数字不能取到的数字是（ ） （A）0，1，2，3 （B）3，4，5，6 （C）3，5，6，8 （D）2，4，7，9 4如图1，四边形ABCD的对角线A
2、C、BD相交于点OSAOB=4，SCOD=9则S四边形 ABCD的最小值是（ ） （A）22 （B）25 （C）28 （D）32 （1） (2) (3) 5如果a-b=1，b+c=1，a+c=2，则a+b+2c等于（ ） （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 二、填空题（每小题7分，共35分） 1如图2，大圆的两条直线AC、BC垂直相交于点O，分别以边AB、BC、CD、DA为直径向大圆外侧作四个半圆，图中四个“月形”阴影的总面积是2cm2?则大圆的半径等于_cm 22 005被两位的自然数去除，可能得到的最大余数是_ 3已知a2+bc=14，b2-2bc=-6则3a2+4b2-5bc=_ 4
3、如图3，在凸六边形ABCDEF中，AD、BE、CF三线共点于O，?每相邻三个顶点所组成的三角形的面积都等于1，则S六边形ABCDEF=_ 5有6个被12除所得余数都相同的自然数，它们的连乘积为971 425则这6?个自然数之和的最小值是_ 三、（15分）已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证： （1）a3+b3+c3=3abc； - 1 - （2）（ a?bb?cc?acab+）（+）=9. acba?bb?cc?a 四、（15分）如图，在ABC中，BAC=BCA=44，M为ABC形内一点，?使得MCA=30，MAC=16，求BMC的度数 - 2 - 五、（10分）某学生在黑板上写出了
4、17个自然数，?每个自然数的个位数码只能是0，1，2，3，4这5个数字中的一个证明：从这17个数中可以选出5个数，?它们的和能被5整除 - 3 - 参考答案 一、1A 在1100这100个自然数中，有质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个，所以，其中质数所占的百分比是25% 2C 将10分拆成三个正整数之和，有 10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4 共八种情况由“三角形两边之和大于第三边”可知，只有（2，4，4），（3
5、，3，4）两组可构成三角形由于等腰三角形两个底角都是锐角，于是，以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角以3、3、4为边的等腰三角形中，由32+3242，?知顶角也是锐角所以，以2、4、4为边的等腰三角形以及以3、3、4为边的等腰三角形都是锐角三角形，排除选项（A）、（B）?又由于等腰三角形中恰有一个内角为60时变为等边三角形，与边为（2，4，4）、（3，3，4）的条件矛盾，排除选项（D）由（2，4，4）、（3，3，4）为边的三角形是恰有两边相等的三角形 3D 由S= n(n?1)，又n、n+1是两个连续的自然数，知n（n+1）的个位数字只能取0，22，6?所以，S的个位数字只
6、能是0，1，3，5，6，8这六个数字因此，S的个位数字不能取到的是2，4，7，9 4B 如图1，设SAOD=x，SBOC=y，则S四边形ABCD=4+9+x+y13+2xy 由 x4 ?，有xy=36所以， 9y S四边形ABCD13+2xy=13+12=25 故S四边形ABCD的最小值是25 此时，ABDC，即四边形ABCD是梯形 5A 由a-b=1，知a-b=1或a-b=-1； 由b+c=1，知b+c=1或b+c=-1； 由a+c=2，知a+c=2或a+c=-2 - 4 - 这样，可以得到23=8个三元一次方程组： （1）a-b=1，b+c=1，a+c=2； （2）a-b=1，b+c=1，
7、a+c=-2； （3）a-b=1，b+c=-1，a+c=2； （4）a-b=1，b+c=-1，a+c=-2； （5）a-b=-1，b+c=1，a+c=2； （6）a-b=-1，b+c=1，a+c=-2； （7）a-b=-1，b+c=-1，a+c=2； （8）a-b=-1，b+c=-1，a+c=-2 对于（2）（7），将前两个方程相加得到的a+c的值与后一个方程不同，所以，不会出现这六种情况 对于（1），有a=2-c，b=1-c，所以， a+b+2c=3 对于（8），有a=-2-c，b=-1-c，所以， a+b+2c=-3 故a+b+2c=3 二、11 由勾股定理知AD2+CD2=AC2所以，上
8、面半个大圆的面积等于以AD、CD为直径的两个半圆的面积同理，下面半个大圆的面积等于以AB、BC为直径的两个半圆的面积?因此，正方形ABCD的面积等于四个“月形”的总面积容易计算，大圆的半径OD是1cm 285 由2 005依次被99，98，97，去除，观察所得余数的值变化得 2 005=9920+25=9820+45 =9720+65=9620+85=9521+10 =9421+31=9321+52=9221+73 =9122+3=9022+25=8922+47 =8822+69=8723+4=8623+27 =8523+50 以下的余数不会大于84，故可能得到的最大余数是85 318 3a2+4b2-5bc=3（a2+bc）+4（b2-2bc） =314+4（-6）=18 46 如图5，连结BD、CE因为 SBCD=SECD=1， 所以，BECD 因为SBAF=SEAF，所以，BEAF 因此，BEAFCD 同理，CFDEBA，ADFEBC - 5 - 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
