1、一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA点P是抛物线上的一个动点，过点P作PEx轴于点E，交直线BC于点D，连接PC（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PFBC于点F，试问PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由 （3）当点P在抛物线上运动时，将CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由【答案】(1) y=+
2、x+3；(2) 有最大值,;(3) 存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，）【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P（m，m2+m+3），PFD的周长为L，再利用待定系数法求直线BC的解析式为：y=x+3，表示PD=，证明PFDBOC，根据周长比等于对应边的比得：，代入得：L=（m2）2+，求L的最大值即可；（3）如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，PCQ=PCD，又知Q落在y轴上时，则CQPD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P（n， +n+3
3、），则D（n，n+3），G（0，n+3），利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论试题解析:（1）由OC=3OA，有C（0，3），将A（1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得：，解得：，故抛物线的解析式为：y=+x+3；（2）如图2，设P（m，m2+m+3），PFD的周长为L，直线BC经过B（4，0），C（0，3），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则解得：直线BC的解析式为：y=x+3，则D（m，），PD=，PEx轴，PEOC，BDE=BCO，BDE=PDF，PDF=BCO，PFD=BOC=90，PFDBOC，由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故BO
4、C的周长=12，即L=（m2）2+，当m=2时，L最大=；（3）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ，PQ=PD，PCQ=PCD，当点Q落在y轴上时，CQPD，PCQ=CPD，PCD=CPD，CD=PD，CD=DP=PQ=QC，四边形CDPQ是菱形，过D作DGy轴于点G，设P（n， +n+3），则D（n，n+3），G（0，），在RtCGD中，CD2=CG2+GD2=（n+3）32+n2=，而|PD|=|（）（n+3）|=|+3n|，PD=CD，解方程得：n=或0（不符合条件，舍去），解方程得：n=或0（
5、不符合条件，舍去），当n=时，P（，），如图3，当n=时，P（，），如图4，综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，）点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题2如图所示，抛物线的顶点为，与轴交于、两点，且，与轴交于点求抛物线的函数解析式；求的面积；能否在抛物线第三象限的图象上找到一点，使的面积最大？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由【答案】 ；点的坐标是【解析】
6、【分析】(1)设顶点式并代入已知点即可；(2)令y=0，求出A、B和C点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点作轴于点，交于点，线段PF的长度即为两函数值之差，将的面积计算拆分为即可.【详解】设此函数的解析式为，函数图象顶点为，又函数图象经过点，解得，此函数的解析式为，即；点是函数的图象与轴的交点，点的坐标是，又当时，有，解得，点的坐标是，则；假设存在这样的点，过点作轴于点，交于点设，则，设直线的解析式为，直线过点，解得，直线的解析式为，点的坐标为，则，当时，有最大值，此时点的坐标是【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为P
7、F最大进行理解.3如图，在平面直角坐标系中，ACB=90，OC=2OB，tanABC=2，点B的坐标为（1，0）抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE求点P的坐标；在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x23x+4；（2）P（1，6），存在，M（1，3+）或（1，3）或（1，1）或（1，）【解析】【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）先得AB的解析式
8、为：y=-2x+2，根据PDx轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），根据PE=DE，列方程可得P的坐标；先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标【详解】解：（1）B（1，0），OB=1，OC=2OB=2，C（2，0），RtABC中，tanABC=2， ， AC=6，A（2，6），把A（2，6）和B（1，0）代入y=x2+bx+c得：，解得：，抛物线的解析式为：y=x23x+4；（2）A（2，6），B（1，0），AB的解析式为：y=2x+2， 设P（x，x23x+
9、4），则E（x，2x+2），PE=DE， x23x+4（2x+2）=（2x+2），x=-1或1（舍）， P（1，6）；M在直线PD上，且P（1，6），设M（1，y）， B（1，0），A（2，6）AM2=（1+2）2+（y6）2=1+（y6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2， AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当AMB=90时，有AM2+BM2=AB2，1+（y6）2+4+y2=45， 解得：y=3，M（1，3+）或（1，3）；ii）当ABM=90时，有AB2+BM2=AM2，45+4+y2=1+（y6）2， y=1，M（1，1），iii）当BAM=90时，有AM2+AB
10、2=BM2，1+（y6）2+45=4+y2， y=，M（1，）；综上所述，点M的坐标为：M（1，3+）或（1，3）或（1，1）或（1，）【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用4如图，抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PEPC时，求点P的坐标【答案】（1）yx2+2x+3；（2）点P的坐
11、标为（2，2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标【详解】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，解得，所求的抛物线的函数表达式为yx2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE抛物线的对称轴为x1当x1时，y4，点D的坐标为（1，4）设直线BD的解析式为ykx+b，则， 解得直线BD的解析式为：y2x+6，设点P的坐标为（x
12、，2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2x2+（3+2x6）2，PE2（x1）2+（2x+6）2，PCPE，x2+（3+2x6）2（x1）2+（2x+6）2，解得，x2，则y22+62，点P的坐标为（2，2）【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键5如果一条抛物线yax2+bx+c(a0)与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，a，b，c称为“抛物线系数”(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；(2)若一条抛物线系数为1
13、，0，2，则其“抛物线三角形”的面积为 ；(3)若一条抛物线系数为1，2b，0，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQx轴于点Q，使得BPQOAB？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）假；（2）；（3）yx22x 或yx22x；（4）P（1，1）或P（1，3）或P（1，3）或（1，1）【解析】分析：（1）当0时，抛物线与x轴有两个交点，由此可得出结论；（2）根据“抛物线三角形”定义得到，由此可得出结论；（3）根据“抛物线三角形”定义得到yx22bx，它与
14、x轴交于点（0，0）和（2b，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，由抛物线顶点为（b，b2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，解方程即可得到结论；（4）分两种情况讨论：当抛物线为yx22x 时，当抛物线为yx22x 时详解：（1）当0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：，令y=0，得：x=， S=；（3）依题意：yx22bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形 yx22bx=，顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上
15、的中线等于斜边的一半得到：，解得：b0（舍去）或b1，yx22x 或yx22x（4）当抛物线为yx22x 时AOB为等腰直角三角形，且BPQOAB，BPQ为等腰直角三角形，设P（a，a22a），Q（a，0），则a22a2a，即a20，a=1，P（1，1）或（1， 3）当抛物线为yx22x 时AOB为等腰直角三角形，且BPQOAB，BPQ为等腰直角三角形，设P（a，a22a），Q（a，0），则a22a2+a，即a+20，a=1，P（1，3，）或（1，1）综上所述：P（1，1）或P（1，3）或P（1，3，）或（1，1）点睛：本题是二次函数综合题考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义解题的关
16、键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论6如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（
17、2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明OMPPNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把
18、A（0，3）代入得：3=3a，a=1，抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），OE平分AOB，AOB=90，AOE=45，AOE是等腰直角三角形，AE=OA=3，E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PGy轴，交OE于点G，G（m，m），PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，S四边形AOPE=SAOE+SPOE，=33+PGAE，=+3（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，-0，当m=时，S有最大值是；（3）如图3，过P作MNy轴，交y轴于M，交l于N，OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得OMPPNF，OM=PN，P
19、（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，P的坐标为（，）或（，）；如图4，过P作MNx轴于N，过F作FMMN于M，同理得ONPPMF，PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐标为（，）或（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题7如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点（1）求这个二次函
20、数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使POB=90？若存在，求出点P的坐标，并求出POB的面积；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x23x。（2）点B的坐标为：（4，4）。（3）存在；理由见解析；【解析】【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对
21、称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OBOP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标求POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出BOP的面积。【详解】解：（1）函数的图象与x轴相交于O，0=k+1，k=1。这个二次函数的解析式为y=x23x。（2）如图，过点B做BDx轴于点D，令x23x=0，解得：x=0或3。AO=3。AOB的面积等于6，AOBD=6。BD=4。点B在函数y=x23x的图象上，4=x23x，解得：x=4或x=1（舍去）。又顶点坐标为：（ 1.5，2.25），且2.254，x轴下方不存在B点。点B的坐
22、标为：（4，4）。（3）存在。点B的坐标为：（4，4），BOD=45，。若POB=90，则POD=45。设P点坐标为（x，x23x）。若，解得x=4 或x=0（舍去）。此时不存在点P（与点B重合）。若，解得x=2 或x=0（舍去）。当x=2时，x23x=2。点P 的坐标为（2，2）。POB=90，POB的面积为：POBO=8。8已知：如图，抛物线yax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，PAB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E，
23、连接DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）yx22x+3 （2）（，） （3）存在，P（2，3）或P（，）【解析】【分析】（1）用待定系数法求解；（2）过点P作PHx轴于点H，交AB于点F，直线AB解析式为yx+3，设P（t，t22t+3）（3t0），则F（t，t+3），则PFt22t+3（t+3）t23t，根据SPABSPAF+SPBF写出解析式，再求函数最大值；（3）设P（t，t22t+3）（3t0），则D（t，t+3），PDt23t，由抛物线yx22x+3（x+1）2+4，由对称轴为直线x1，PEx轴交抛物线于点E，得yEy
24、P，即点E、P关于对称轴对称，所以1，得xE2xP2t，故PE|xExP|22t|，由PDE为等腰直角三角形，DPE90，得PDPE，再分情况讨论：当3t1时，PE22t；当1t0时，PE2+2t【详解】解：（1）抛物线yax2+bx+3过点B（3，0），C（1，0） 解得：抛物线解析式为yx22x+3（2）过点P作PHx轴于点H，交AB于点Fx0时，yx22x+33A（0，3）直线AB解析式为yx+3点P在线段AB上方抛物线上设P（t，t22t+3）（3t0）F（t，t+3）PFt22t+3（t+3）t23tSPABSPAF+SPBFPFOH+PFBHPFOB（t23t）（t+）2+点P运动
25、到坐标为（，），PAB面积最大（3）存在点P使PDE为等腰直角三角形设P（t，t22t+3）（3t0），则D（t，t+3）PDt22t+3（t+3）t23t抛物线yx22x+3（x+1）2+4对称轴为直线x1PEx轴交抛物线于点EyEyP，即点E、P关于对称轴对称1xE2xP2tPE|xExP|22t|PDE为等腰直角三角形，DPE90PDPE当3t1时，PE22tt23t22t解得：t11（舍去），t22P（2，3）当1t0时，PE2+2tt23t2+2t解得：t1，t2（舍去）P（，）综上所述，点P坐标为（2，3）或（，）时使PDE为等腰直角三角形 【点睛】考核知识点：二次函数的综合.数形
26、结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.9如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系yat25tc，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是s时，足球离地面最高，
27、最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=2.82+52.8+=2.252.44，于是得到他能将球直接射入球门解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），解得：，抛物线的解析式为：y=t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=2.82+52.8+=2.252.44
28、，他能将球直接射入球门考点：二次函数的应用10如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC/x轴，交y轴与点C（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与AOC相似，求出对应点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）P点坐标为（4 ,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）【解析】【分析】（1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出解析式；（2）设P坐标为，表示出AD与PD，由相似
29、分两种情况得比例求出x的值，即可确定出P坐标；（3）存在，求出已知三角形AOC边OA上的高h，过O作OMOA，截取OM=h,与y轴交于点N，分别确定出M与N坐标，利用待定系数法求出直线MN解析式，与抛物线解析式联立求出Q坐标即可【详解】（1）把，和点，代入抛物线得：，解得：，则抛物线解析式为；（2）当在直线上方时，设坐标为，则有，当时，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当时，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当点时，也满足；当在直线下方时，同理可得：的坐标为，综上，的坐标为，或，或，或；（3）在中，根据勾股定理得：， ，边上的高为，过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：在中，即，过作轴，在中，即，设直线解析式为，把坐标代入得：，即，即，联立得：，解得：或，即，或，则抛物线上存在点，使得，此时点的坐标为，或，【点睛】二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键
