1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）2【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案；（2）首先证明ABPQBP，进而得出BCHBQH，即可得出PD+DH+PH=
2、AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明EFMBPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值试题解析：（1）解：如图1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPH-EPB=EBC-EBP即PBC=BPH又ADBC，APB=PBCAPB=BPH（2）证明：如图2，过B作BQPH，垂足为Q由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，在ABP和QBP中，ABPQBP（AAS），AP=QP，AB=BQ，又AB=BC，BC=BQ又C=BQH=90，BH=BH，在BCH和
3、BQH中，BCHBQH（SAS），CH=QHPHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8PDH的周长是定值（3）解：如图3，过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB又EF为折痕，EFBPEFM+MEF=ABP+BEF=90，EFM=ABP又A=EMF=90，在EFM和BPA中，EFMBPA（AAS） EM=AP设AP=x在RtAPE中，（4-BE）2+x2=BE2解得BE=2+，CF=BE-EM=2+-x，BE+CF=-x+4=（x-2）2+3当x=2时，BE+CF取最小值，AP=2考点：几何变换综合题2如图1，在ABC中，ABAC，ADBC于D，分别延长AC至
4、E，BC至F，且CEEF，延长FE交AD的延长线于G（1）求证：AEEG；（2）如图2，分别连接BG，BE，若BGBF，求证：BEEG；（3）如图3，取GF的中点M，若AB5，求EM的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：CADG，可得AEEG；（2）作辅助线，证明BEFGEC（SAS），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EMDNAC，计算可得结论【详解】证明：（1）如图1，过E作EHCF于H，ADBC，EHAD，CEHCAD，HEFG，CEEF，CEHHEF，CADG
5、，AEEG；（2）如图2，连接GC，ACBC，ADBC，BDCD，AG是BC的垂直平分线，GCGB，GBFBCG，BGBF，GCBE，CEEF，CEF1802F，BGBF，GBF1802F，GBFCEF，CEFBCG，BCECEF+F，BCEBCG+GCE，GCEF，在BEF和GCE中，BEFGEC（SAS），BEEG；（3）如图3，连接DM，取AC的中点N，连接DN，由（1）得AEEG，GAEAGE，在RtACD中，N为AC的中点，DNACAN，DANADN，ADNAGE，DNGF，在RtGDF中，M是FG的中点，DMFGGM，GDMAGE，GDMDAN，DMAE，四边形DMEN是平行四边形
6、，EMDNAC，ACAB5，EM【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键3正方形ABCD，点E在边BC上，点F在对角线AC上，连AE(1)如图1，连EF，若EFAC，4AF3AC，AB4，求AEF的周长；(2)如图2，若AFAB，过点F作FGAC交CD于G，点H在线段FG上(不与端点重合)，连AH若EAH45，求证：ECHG+FC【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由正方形性质得出ABBC
7、CDAD4，BD90，ACBACDBACACD45，得出ACAB4，求出AF3，CFACAF，求出CEF是等腰直角三角形，得出EFCF，CECF2，在RtAEF中，由勾股定理求出AE，即可得出AEF的周长；（2）延长GF交BC于M，连接AG，则CGM和CFG是等腰直角三角形，得出CMCG，CGCF，证出BMDG，证明RtAFGRtADG得出FGDG，BMFG，再证明ABEAFH，得出BEFH，即可得出结论【详解】（1）四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD4，BD90，ACBACDBACACD45，ACAB4，4AF3AC12，AF3，CFACAF，EFAC，CEF是等腰直角三角形，EFCF
8、，CECF2，在RtAEF中，由勾股定理得：AE，AEF的周长AE+EF+AF；（2）证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：则CGM和CFG是等腰直角三角形，CMCG，CGCF，BMDG，AFAB，AFAD，在RtAFG和RtADG中，RtAFGRtADG（HL），FGDG，BMFG，BACEAH45，BAEFAH，FGAC，AFH90，在ABE和AFH中，ABEAFH（ASA），BEFH，BMBE+EM，FGFH+HG，EMHG，ECEM+CM，CMCGCF，ECHG+FC【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等
9、腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键4如图1，在正方形ABCD中，AD=6，点P是对角线BD上任意一点，连接PA，PC过点P作PEPC交直线AB于E（1） 求证：PC=PE;（2） 延长AP交直线CD于点F.如图2，若点F是CD的中点，求APE的面积；若APE的面积是，则DF的长为 （3） 如图3，点E在边AB上，连接EC交BD于点M,作点E关于BD的对称点Q，连接PQ，MQ，过点P作PNCD交EC于点N，连接QN，若PQ=5，MN=，则MNQ的面积是 【答案】（1）略；（2）8，4或9；（3）【解析】【分析】（1）利用正方形每个角都是90，对角线平分对角的性质，三角形外角等于
10、和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得证;（2）作出ADP和DFP的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得到PAE的底和高，并求出面积.第2小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可;（3）根据已经条件证出MNQ是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积.【详解】(1) 证明：点P在对角线BD上，ADPCDP,AP=CP, DAP =DCP,PEPC，EPC=EPB+BPC=90,PEA=EBP+EPB=45+90-BPC=135-BPC,PAE=90-DAP90-DCP,DCP=BPC-PDC=BPC-45,PAE=90-(BPC-45)= 135-BPC,PEA=PAE,PC=P
11、E;（2）如图2，过点P分别作PHAD,PGCD,垂足分别为H、G.延长GP交AB于点M.四边形ABCD是正方形，P在对角线上，四边形HPGD是正方形，PH=PG,PMAB,设PH=PG=a,F是CD中点，AD6，则FD=3,=9,=,解得a=2,AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,又PA=PE, AM=EM,AE=4,=,设HPb,由可得AE=2b,MP=6-b,=,解得b=2.4,=,当b=2.4时，DF=4；当b3.6时，DF9,即DF的长为4或9;（3）如图，E、Q关于BP对称，PNCD,12，2+3BDC=45,1+4=45,3=4,易证PEMPQM, PNQPNC,5=6
12、, 7=8 ,EM=QM,NQ=NC,6+7=90,MNQ是直角三角形,设EM=a,NC=b列方程组,可得ab=,【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.要注意运用数形结合思想.5如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF连接DE，过点E作EGDE，使EG=DE，连接FG，FC（1）请判断：FG与CE的关系是_；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断
13、并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断【答案】（1）FG=CE，FGCE；（2）成立；（3）成立.【解析】试题分析：（1）只要证明四边形CDGF是平行四边形即可得出FG=CE，FGCE；（2）构造辅助线后证明HGECED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=C，FGCE；（3）证明CBFDCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形试题解析：解：（1）FG=CE，FGCE；（2）过点G作GHCB的延长线于点HEGDE，GEH+DEC=90GEH+HGE=90，DEC=HE在HG
14、E与CED中，GHE=DCE，HGE=DEC，EG=DE，HGECED（AAS），GH=CE，HE=CDCE=BF，GH=BFGHBF，四边形GHBF是矩形，GF=BH，FGCH，FGCE四边形ABCD是正方形，CD=BC，HE=BC，HE+EB=BC+EB，BH=EC，FG=EC；（3）四边形ABCD是正方形，BC=CD，FBC=ECD=90在CBF与DCE中，BF=CE，FBC=ECD，BC=DC，CBFDCE（SAS），BCF=CDE，CF=DEEG=DE，CF=EGDEEG，DEC+CEG=90CDE+DEC=90，CDE=CEG，BCF=CEG，CFEG，四边形CEGF平行四边形，F
15、GCE，FG=CE6（1）问题发现：如图，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为 ；（2）深入探究：如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使ABC=AMN，AM=MN，连接CN，试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN=，试求EF的长【答案】（1）NCAB；理由见解析；（2）ABC=
16、ACN；理由见解析；（3）；【解析】分析：（1）根据ABC，AMN为等边三角形，得到AB=AC，AM=AN且BAC=MAN=60从而得到BAC-CAM=MAN-CAM，即BAM=CAN，证明BAMCAN，即可得到BM=CN（2）根据ABC，AMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且ABC=AMN，根据相似三角形的性质得到，利用等腰三角形的性质得到BAC=MAN，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）如图3，连接AB，AN，根据正方形的性质得到ABC=BAC=45，MAN=45，根据相似三角形的性质得出，得到BM=2，CM=8，再根据勾股定理即可得到答案详解：（1）NCAB，理由如下：ABC
17、与MN是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60，BAM=CAN，在ABM与ACN中， ，ABMACN（SAS），B=ACN=60，ANC+ACN+CAN=ANC+60+CAN=180，ANC+MAN+BAM=ANC+60+CAN=BAN+ANC=180，CNAB； （2）ABC=ACN，理由如下：=1且ABC=AMN，ABCAMN，AB=BC，BAC=（180ABC），AM=MNMAN=（180AMN），ABC=AMN，BAC=MAN，BAM=CAN，ABMACN，ABC=ACN；（3）如图3，连接AB，AN，四边形ADBC，AMEF为正方形，ABC=BAC=45，MAN=4
18、5，BACMAC=MANMAC即BAM=CAN，ABMACN，=cos45=，BM=2，CM=BCBM=8，在RtAMC，AM=，EF=AM=2点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键7已知点O是ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作OBFC，连接OF与BC交于点H，再连接EF（1）如图1，若ABC为等边三角形，求证：EFBC；EF=BC；（2）如图2，若ABC为等腰直角三角形（
19、BC为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；（3）如图3，若ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系【答案】（1）见解析；（2）EFBC仍然成立；（3）EF=BC【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等边三角形的性质得到AB=BC，AHBC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；（2）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性质得到AB=BC，AHBC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；（3）由平行四边形的性质得到BH=HC
20、=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性质和AB=AC=kBC得到AB=BC，AHBC，根据勾股定理得到AH=BC，即可试题解析：（1）连接AH，如图1，四边形OBFC是平行四边形，BH=HC=BC，OH=HF，ABC是等边三角形，AB=BC，AHBC，在RtABH中，AH2=AB2BH2，AH=BC，OA=AE，OH=HF，AH是OEF的中位线，AH=EF，AHEF，EFBC，BC=EF，EFBC，EF=BC；（2）EFBC仍然成立，EF=BC，如图2，四边形OBFC是平行四边形，BH=HC=BC，OH=HF，ABC是等腰三角形，AB=BC，AHBC，在RtABH中，AH2=AB2BH2=（B
21、H）2BH2=BH2，AH=BH=BC，OA=AE，OH=HF，AH是OEF的中位线，AH=EF，AHEF，EFBC，BC=EF，EFBC，EF=BC；（3）如图3，四边形OBFC是平行四边形，BH=HC=BC，OH=HF，ABC是等腰三角形，AB=kBC，AHBC，在RtABH中，AH2=AB2BH2=（kBC）2（BC）2=（k2-）BC2，AH=BH=BC，OA=AE，OH=HF，AH是OEF的中位线，AH=EF，AHEF，EFBC，BC=EF，EF=BC考点：四边形综合题8倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径下面是一案例，请同学们
22、认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题习题 如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由解答：正方形ABCD中，AB=AD，BAD=ADC=B=90，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADE，点F、D、E在一条直线上EAF=90-45=45=EAF，又AE=AE，AF=AFAEFAEF（SAS）EF=EF=DE+DF=BE+DF类比猜想：（1）请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当BAD=120，EAF=60时，还有EF=BE+DF吗？请说明理由（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上
23、，当AB=AD，B+D=180，EAF=BAD时，EF=BE+DF吗？请说明理由【答案】证明见解析【解析】试题分析：（1）把ABE绕点A逆时针旋转120至ADE，如图（2），连结EF，根据菱形和旋转的性质得到AE=AE，EAF=EAF，利用“SAS”证明AEFAEF，得到EF=EF；由于ADE+ADC=120，则点F、D、E不共线，所以DE+DFEF，即由BE+DFEF；（2）把ABE绕点A逆时针旋转BAD的度数至ADE，如图（3），根据旋转的性质得到AE=AE，EAF=EAF，然后利用“SAS”证明AEFAEF，得到EF=EF，由于ADE+ADC=180，知F、D、E共线，因此有EF=DE+
24、DF=BE+DF；根据前面的条件和结论可归纳出结论试题解析：（1）当BAD=120，EAF=60时，EF=BE+DF不成立，EFBE+DF理由如下：在菱形ABCD中，BAD=120，EAF=60，AB=AD，1+2=60，B=ADC=60，把ABE绕点A逆时针旋转120至ADE，如图（2），连结EF，EAE=120，1=3，AE=AE，DE=BE，ADE=B=60，2+3=60，EAF=EAF，在AEF和AEF中，AEFAEF（SAS），EF=EF，ADE+ADC=120，即点F、D、E不共线，DE+DFEFBE+DFEF；（2）当AB=AD，B+D=180，EAF=BAD时，EF=BE+DF
25、成立理由如下：如图（3），AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转BAD的度数至ADE，如图（3），EAE=BAD，1=3，AE=AE，DE=BE，ADE=B，B+D=180，ADE+D=180，点F、D、E共线，EAF=BAD，1+2=BAD，2+3=BAD，EAF=EAF，在AEF和AEF中，AEFAEF（SAS），EF=EF，EF=DE+DF=BE+DF；归纳：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，B+D=180，EAF=BAD时，EF=BE+DF考点：四边形综合题9已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N（1）求证：
26、ABMCDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形 AMCN是菱形，证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）当ABAF时，四边形AMCN是菱形证明见解析；【解析】试题分析：（1）由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN，再由AB=CD，B=D=90，利用HL即可证明；（2）若四边形AMCN为菱形，则有AM=AN，从已知可得BAM=FAN，又B=F=90，所以有ABMAFN，从而得AB=AF，因此当ABAF时，四边形AMCN是菱形试题解析：（1）四边形ABCD是矩形，BD90，ABCD，ADBC四边形AECF是矩形，AECF四边形AMCN是平行四边形AM
27、CN在RtABM和RtCDN中，ABCD，AMCN，RtABMRtCDN（2）当ABAF时，四边形AMCN是菱形四边形ABCD、AECF是矩形，BBADEAFF90BADNAMEAFNAM，即BAMFAN又ABAF，ABMAFNAMAN由（1）知四边形AMCN是平行四边形，平行四边形AMCN是菱形考点：1矩形的性质；2三角形全等的判定与性质；3菱形的判定10如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度（090），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG（1）求证：AOGADG；（2）求PAG的
28、度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当1=2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析（2）PAG =45，PG=OG+BP理由见解析（3）y=x3（4）、【解析】试题分析：(1)由AO=AD，AG=AG，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出AOGADG即可(2)首先根据三角形全等的判定方法，判断出ADPABP，再结合AOGADG，可得DAP=BAP，1=DAG；然后根据1+DAG+DAP+BAP=90，求出
29、PAG的度数；最后判断出线段OG、PG、BP之间的数量关系即可(3)首先根据AOGADG，判断出AGO=AGD；然后根据1+AGO=90，2+PGC=90，判断出当1=2时，AGO=AGD=PGC，而AGO+AGD+PGC=180，求出1=2=30；最后确定出P、G两点坐标，即可判断出直线PE的解析式(4)根据题意，分两种情况：当点M在x轴的负半轴上时；当点M在EP的延长线上时；根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，求出M点坐标是多少即可试题解析：(1)在RtAOG和RtADG中，（HL） AOGADG(2)在RtADP和RtABP中，ADPABP， 则DAP=BAP；AOGADG， 1
30、=DAG； 又1+DAG+DAP+BAP=90，2DAG+2DAP=90， DAG+DAP=45， PAG=DAG+DAP， PAG=45； AOGADG， DG=OG， ADPABP， DP=BP， PG=DG+DP=OG+BP(3)解：AOGADG， AGO=AGD， 又1+AGO=90，2+PGC=90，1=2，AGO=PGC， 又AGO=AGD， AGO=AGD=PGC，又AGO+AGD+PGC=180， AGO=AGD=PGC=1803=60，1=2=9060=30； 在RtAOG中， AO=3， OG=AOtan30=3=，G点坐标为（，0），CG=3， 在RtPCG中，PC=3（1），P点坐标为：（3，33 ）， 设直线PE的解析式为：y=kx+b， 则，解得：， 直线PE的解析式为y=x3(4)如图1，当点M在x轴的负半轴上时， AG=MG，点A坐标为（0，3），点M坐标为（0，3）如图2，当点M在EP的延长线上时， 由（3），可得AGO=PGC=60，EP与AB的交点M，满足AG=MG， A点的横坐标是0，G点横坐标为，M的横坐标是2，纵坐标是3， 点M坐标为（2，3）综上，可得 点M坐标为（0，3）或（2，3）考点：几何变换综合题
