1、一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，O的半径为6cm，经过O上一点C作O的切线交半径OA的延长于点B，作ACO的平分线交O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E（1）求证：ACOD；（2）如果DEBC，求的长度【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分ACO，易证得ACD=ODC，即可证得ACOD；（2）BC切O于点C，DEBC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得AOC是等边三角形，则可得：AOC=60，继而求得弧AC的长度试题解析：（1）证明：OC=OD，OCD=ODCCD平分ACO，OCD=ACD，ACD=ODC，ACO
2、D；（2）BC切O于点C，BCOCDEBC，OCDEACOD，四边形ADOC是平行四边形OC=OD，平行四边形ADOC是菱形，OC=AC=OA，AOC是等边三角形，AOC=60，弧AC的长度=2点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用2（1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，AOC=BOD，求证：AO=OB；（2）如图2，AB是O的直径，PA与O相切于点A，OP与O相交于点C，连接CB，OPA=40，求ABC的度数【答案】（1）证明见解析；（2）25.【解析】试题分析： （1）根据等量代换可求得AOD=BO
3、C，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知A=B=90，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得AODBOC，从而得证结论（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角POA的度数，然后利用圆周角定理来求ABC的度数试题解析：（1）AOC=BOD AOC -COD=BOD-COD即AOD=BOC 四边形ABCD是矩形A=B=90，AD=BC AO=OB （2）解：AB是的直径，PA与相切于点A，PAAB，A=90. 又OPA=40，AOP=50，OB=OC，B=OCB. 又AOP=B+OCB，. 3如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作O，O交BC于点D，交CA的延长线
4、于点E过点D作DFAC，垂足为F（1）求证：DF为O的切线；（2）若AB4，C30，求劣弧的长【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】分析：（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得ADB=90，然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出ODDF，进而根据切线的判定证明即可；（2）连接OE，根据三角形的外角求出BAE的度数，然后根据圆周角定理求出BOE的度数，根据弧长公式求解即可.详解：（1）连接AD、ODAB是直径，ADB90ABAC，BDCD， 又OAOB，OD是ABC的中位线，ODAC， DFAC，ODDF即ODF90DF为O的切线； （2）连接OEABA
5、C，BC30，BAE60， BOE2BAE，BOE120，4 点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键4如图，ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，PAC=B，AD为O的直径，过C作CGAD于E，交AB于F，交O于G（1）判断直线PA与O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2=AFAB；（3）若O的直径为10，AC=2，AB=4，求AFG的面积.【答案】（1）PA与O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3.【解析】试题分析：（1）连接CD，由AD为O的直径，可得ACD=90，由圆周角定理，证得B=
6、D，由已知PAC=B，可证得DAPA，继而可证得PA与O相切（2）连接BG，易证得AFGAGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.（3）连接BD，由AG2=AFAB，可求得AF的长，易证得AEFABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案试题解析：解：（1）PA与O相切理由如下：如答图1，连接CD，AD为O的直径，ACD=90.D+CAD=90.B=D，PAC=B，PAC=D.PAC+CAD=90，即DAPA.点A在圆上，PA与O相切（2）证明：如答图2，连接BG，AD为O的直径，CGAD，.AGF=ABG.GAF=BAG，AGFABG.AG：AB=AF：AG. AG2
7、=AFAB.（3）如答图3，连接BD，AD是直径，ABD=90.AG2=AFAB，AG=AC=2，AB=4，AF=.CGAD，AEF=ABD=90.EAF=BAD，AEFABD. ，即，解得：AE=2.，.考点：1. 圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3. 相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.5在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1x2，y1y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”（1）已知点A（2，0），B（0，2），则以AB为边的
8、“坐标菱形”的最小内角为 ；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）O的半径为，点P的坐标为（3，m）若在O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围【答案】（1）60；（2）y=x+1或y=x+3；（3）1m5或5m1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60； （2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45，得D（4，5）或（2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=x+3； （3）分两种情况： 先作直线y=x，再作圆的两
9、条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求PB=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标； 先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图4，同理可得结论详解：（1）点A（2，0），B（0，2），OA=2，OB=2在RtAOB中，由勾股定理得：AB=4，ABO=30 四边形ABCD是菱形，ABC=2ABO=60 ABCD，DCB=18060=120，以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60 故答案为：60； （2）如图2以CD为边的“坐标菱形”为正方形，直线CD与直线y=5的夹角是45 过点C作CEDE于E，D（4，5）或（2，5），直线CD的表达式为：y=x+
10、1或y=x+3； （3）分两种情况： 先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3O的半径为，且OQD是等腰直角三角形，OD=OQ=2，PD=32=1 PDB是等腰直角三角形，PB=BD=1，P（0，1），同理可得：OA=2，AB=3+2=5 ABP是等腰直角三角形，PB=5，P（0，5），当1m5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形； 先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图4 O的半径为，且OQD是等腰直角三角形，OD=OQ=2，BD=32=1 PDB是等腰直角三角形，PB=BD=1，P（0，1），同理可得：OA=2，AB=3+2=5 ABP是等腰直角三角
11、形，PB=5，P（0，5），当5m1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形； 综上所述：m的取值范围是1m5或5m1点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目6如图，已知AB为O直径，D是的中点，DEAC交AC的延长线于E，O的切线交AD的延长线于F（1）求证：直线DE与O相切；（2）已知DGAB且DE=4，O的半径为5，求tanF的值【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：
12、ODBC；由OB为O的直径，可得：BCAC，根据DEAC，可证ODDE，从而可证DE是O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tanF的值试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，D是弧BC的中点，OD垂直平分BC，AB为O的直径，ACBC，ODAEDEAC，ODDE，OD为O的半径，DE是O的切线；（2）解：D是弧BC的中点，EAD=BAD，DEAC，DGAB且DE=4，DE=DG=4，DO=5，GO=3，AG=8，tanADG=2，BF是O的切线，ABF=90，DGBF，tanF=tanADG=2点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得
13、出AG，DG的长是解题关键7如图所示，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P沿BA方向，从点B运动到点A，速度为1cm/s，若，点O到AC的距离为4cm（1）求弦AC的长；（2）问经过多长时间后，APC是等腰三角形【答案】（1）AC=6；（2）t=4或5或s时，APC是等腰三角形；【解析】【分析】（1）过O作ODAC于D，根据勾股定理求得AD的长，再利用垂径定理即可求得AC的长；（2）分AC=PC、AP=AC、AP=CP三种情况求t值即可.【详解】（1）如图1，过O作ODAC于D，易知AO=5，OD=4，从而AD=3，AC=2AD=6；（2）设经过t秒APC是等腰三角形，则AP=10t如图2，若A
14、C=PC，过点C作CHAB于H，A=A，AHC=ODA=90，AHCADO，AC：AH=OA：AD，即AC： =5：3，解得t=s，经过s后APC是等腰三角形；如图3，若AP=AC，由PB=x，AB=10，得到AP=10x，又AC=6，则10t=6，解得t=4s，经过4s后APC是等腰三角形；如图4，若AP=CP，P与O重合，则AP=BP=5，经过5s后APC是等腰三角形综上可知当t=4或5或s时，APC是等腰三角形【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当BPC是等腰三角形时，点P的位置有三种情况8如图，点A，B，C，D，E在O上，ABCB于点B，ta
15、nD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=，CH.（1）求证：AH是O的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；（3）在（2）的条件下，求EF的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3） 【解析】【分析】（1）连接AC，由ABCB可知AC是O的直径，由圆周角定理可得C=D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在RtABC中，由勾股定理得：AC2= 40，从而可得AC2+AH2=CH2，根据勾股定理的逆定理可得ACAH，问题得证；（2）连接DE、BE，由弦切角定理可知ABD=HAD，由D是的中点，可得CED=EBD，再由圆周角定理可得ABE=AD
16、E，结合三角形的外角即可证明HAF=AFH，从而可证得AH=HF；（3）由切割线定理可得EH=，由（2）可知AF=FH=，从而可得EF=FHEH=-【详解】（1）如图1所示：连接ACABCB，AC是O的直径，C=D，tanC=3，AB=3BC=32=6，在RtABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40，又AH2=10，CH2=50，AC2+AH2=CH2，ACH为直角三角形，ACAH，AH是圆O的切线；（2）如图2所示：连接DE、BE，AH是圆O的切线，ABD=HAD，D是的中点，CED=EBD，又ABE=ADE，ABE+EBD=ADE+CED，ABD=AFE，HAF=AFH，AH=
17、HF；（3）由切割线定理可知：AH2=EHCH，即（）2=5EH，解得：EH=，由（2）可知AF=FH=，EF=FHEH=-【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.9如图，ABC中，ACBC10，cosC，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的P与边AB的另一个交点为D，过点D作DECB于点E（1）当P与边BC相切时，求P的半径（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围（3）在
18、（2）的条件下，当以PE长为直径的Q与P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）;（2）;（3）.【解析】【分析】（1）设P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HPBC，cosC，则sinC，sinC，即可求解；（2）首先证明PDBE，则，即：，即可求解；（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AGEPBD，即：ABDB+ADAG+AD4，即可求解【详解】（1）设P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HPBC，cosC，则sinC，sinC，解得：R；（2）在ABC中，ACBC10，cosC，设APPDx，AABC，过点B作BHAC，则BHAC
19、sinC8，同理可得：CH6，HA4，AB4，则：tanCAB2，BP，DAx，则BD4x，如下图所示，PAPD，PADCABCBA，tan2，则cos，sin，EBBDcos（4x）4x，PDBE，即：，整理得：y；（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，两个圆交于点G，则PGPQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，点Q是弧GD的中点，DGEP，AG是圆P的直径，GDA90，EPBD，由（2）知，PDBC，四边形PDBE为平行四边形，AGEPBD，ABDB+ADAG+AD4，设圆的半径为r，在ADG中，AD2rcos，DG，AG2r，+2r4，解得：2r，则：D
20、G5010，相交所得的公共弦的长为5010【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大10如图，已知四边形ABCD内接于O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，ACB=BAE=45（1）求证：AE是O的切线；（2）若AB=AD，AC=，tanADC=3，求BE的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接OA、OB，由圆周角定理得出AOB=2ACB=90，由等腰直角三角形的性质得出OAB=OBA=45，求出OAE=OAB+BAE=90,即可得出结论；（2）过点A作
21、AFCD于点F,由AB=AD，得到ACD=ACB=45，在RtAFC中可求得AF3，在RtAFD中求得DF1，所以AB ，CD= CF+DF=4，再证明ABECDA，得出，即可求出BE的长度；试题解析：（1）证明：连结OA，OB，ACB=45，AOB=2ACB= 90，OA=OB，OAB=OBA=45，BAE=45，OAE=OAB+BAE=90，OAAE点A在O上，AE是O的切线 （2）解：过点A作AFCD于点F，则AFC=AFD=90AB=AD， = ACD=ACB=45，在RtAFC中，AC=，ACF=45，AF=CF=ACsinACF =3， 在RtAFD中， tanADC=，DF=1， 且CD= CF+DF=4， 四边形ABCD内接于O，ABE=CDA，BAE=DCA，ABECDA， ， ，
