1、圆圆的认识1圆的定义OAr（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径。说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆为等圆。2圆的有关概念（1）弦：连结圆上任意两点的线段。（如右图中的CD）。BOA（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。直径等于半径的2倍。DC（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。（如右图中的、）其中大于半圆的弧叫做优弧，如，小于半圆的弧叫做劣弧。（4）圆心角：如右图中C
2、OD就是圆心角。3与圆相关的角（1）与圆相关的角的定义圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。（2）与圆相关的角的性质圆心角的度数等于它所对的弦的度数；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角相等；弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。4圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
3、的弦的弦心距相等。（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等【例1】 下面四个命题中正确的一个是（ ） A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心 C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C与圆有关的位置关系1点与圆的位置关系如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么：（1）点在圆外（2）点在圆上（3）点在圆内2直线和圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离（1）直线和圆相离，直线与圆没有交点；（2）直线和圆相切，直线与圆有唯一交点；（3）直
4、线和圆相交，直线与圆有两个交点。3两圆的位置关系设R、r为两圆的半径，d为圆心距（1）两圆外离；（2）两圆外切；（3）两圆相交；（4）两圆内切；（5）两圆内含。（注意：如果为，则两圆为同心圆。）4. 切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端 是的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。5. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：、是的两条
5、切线 平分【例2】 已知O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x22xd=0有实根，则点P( )A在O的内部B在O的外部C在O上D在O上或O的内部【答案】D【例3】 已知：如图，PA，PB分别与O相切于A，B两点求证：OP垂直平分线段AB【答案】略【例4】 已知：如图，PA切O于A点，POAC，BC是O的直径请问：直线PB是否与O相切?说明你的理由【答案】直线PB与O相切提示：连结OA，证PAOPBO【例5】已知：如图，O1与O2外切于A点，直线l与O1、O2分别切于B，C点，若O1的半径r1=2cm，O2的半径r2=3cm求BC的长【答案】提示：分别连结O1B，O1O2，O2C
6、【例6】如图，点A，B在直线MN上，AB=11cm，A，B的半径均为1cmA以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(s)之间的关系式为r=1t(t0)(1)试写出点A，B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数表达式；(2)问点A出发多少秒时两圆相切?【答案】(1)当0t5.5时，d112t；当t5.5时，d2t11(2) 第一次外切，t3；第一次内切，第二次内切，t11；第二次外切，t13垂径定理及推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分
7、线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 弧弧【例7】在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是_cm.【答案】 【例8】如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，ADBC于D，求证：AD=BF.【答案】提示：连接OF，证明 是全等三角形。圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角 推论
8、2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或【例9】已知：如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，ACD=30，AE=2cm求DB【答案】【例10】已知：如图，O的直径AE=10cm，B=EAC求AC的长 【答案】提示：连结CE不难得出与圆有关的计算1 圆周长：2 弧长：；3 圆面积：；4 扇形面积：；【例11】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为(
9、 ) ABCD【答案】D 【例12】已知：如图，以线段AB为直径作半圆O1，以线段AO1为直径作半圆O2，半径O1C交半圆O2于D点试比较与的长【答案】的长等于的长提示：连结O2D圆幂定理1.相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点， 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比 例中项。即：在中，直径， 2. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线 3. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中
10、，、是割线 【例13】如图，P是O外一点，PC切O于点C，PAB是O的割线，交O于A、B两点，如果PA：PB1：4，PC12cm，O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是_【答案】9正多边形与圆1.正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；2.正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：3.正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.【例13】已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足，则这个多边形是（ ） A. 正三边形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形【答案】C 提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有 因为，所以 则，是正五边形，应选C。课后练习题【例1】若P为半径长是6c
11、m的O内一点，OP2cm，则过P点的最短的弦长为( )A12cmBCD【答案】D【例2】若O的半径长是4cm，圆外一点A与O上各点的最远距离是12cm，则自A点所引O的切线长为( )A16cmBCD【答案】B【例3】O中，AOB100，若C是上一点，则ACB等于( )A80B100C120D130【答案】A【例4】三角形的外心是( )A三条中线的交点B三个内角的角平分线的交点C三条边的垂直平分线的交点D三条高的交点【答案】C【例5】如图，A是半径为2的O外的一点，OA4，AB是O的切线，点B是切点，弦BCOA，则的长为( )7题图ABCD【答案】A【例6】如图，图中的五个半圆，邻近的两半圆相切
12、，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿，路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是( )8题图A甲先到B点B乙先到B点C甲、乙同时到B点D无法确定【答案】C【例7】如图，同心圆半径分别为2和1，AOB120，则阴影部分的面积为( )9题图ABC2D4【答案】C【例8】如图，在O中，AB为O的直径，弦CDAB，AOC60，则B_【答案】30【例9】如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为_【答案】【例10】已知：如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于C点，AB12cm求两个圆之间的圆环面积【答案】36?cm2提示：连接OC,OA.【例11】如
13、图，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？【答案】设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正O1O2O3，则正O1O2O3外接圆的半径为 cm，所以大圆的半径为+2=【例12】如图，在ABC中，C=90，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N （1）求证：BABM=BCBN；（2）如果CM是O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值【答案】（1）证明：连接MN则BMN=90=ACB，ACBNMB，ABBM=BCBN （2）解：连接OM，则OMC=90，N为OC中点，MN=ON=OM，MON=60，OM=OB，B=MON=30ACB=90，AB=2AC=23=6
