1、数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，简记作 。（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，：说明：表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =； 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：从函数观点
2、看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值，通常用来代替，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）数列的前项和与通项的关系：二、等差数列(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差
3、等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或例：等差数列， (二)、等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。例：1.已知等差数列中，等于（ ）A15 B30 C31 D642.是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差数列，则为 为 （填“递增数列”或“递减数列”）(三)、等差中项的概念：定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，成等差数列 即： （）例：1（全国I）设是公差为正数的等差数列，若，则
4、 （ ）A B C D(四)、等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列中，对任意，；（4）在等差数列中，若，且，则；(五)、等差数列的前和的求和公式：。(是等差数列 )递推公式： 例：1.如果等差数列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）352.（湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，则等于( )A13 B35 C49 D 63 3.（全国卷） 设等差数列的前项和为，若,则= 4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（
5、 ）A.13项B.12项C.11项D.10项5.已知等差数列的前项和为，若 6.（全国卷）设等差数列的前项和为，若则 7.已知数列是等差数列，其前10项的和，则其公差等于( ) C. D.8.（陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则 9（全国）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn。(六).对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有项，则偶奇； ；（2）若项数为奇数，设共有项，则奇偶；。 1.一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比_2.一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差d3.一个等
6、差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是，则它的首项与公差分别是_(七).对与一个等差数列，仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.2602.一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为 。3已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设为等差数列的前项和，= 5（全国II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则A B C D(八)判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：是等差数列中项法：是等差数列通项公式法：是等差数列前项和公式法：是等
7、差数列例：1.已知数列满足，则数列为 （ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列的通项为，则数列为 （ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列的前n项和，则数列为（ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断4.已知一个数列的前n项和，则数列为（ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.已知一个数列满足，则数列为（ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断6.数列满足=8， （）
8、求数列的通项公式；7（天津理，2）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列(九).数列最值（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：若已知，的最值可求二次函数的最值；可用二次函数最值的求法（）；或者求出中的正、负分界项，即：若已知，则最值时的值（）可如下确定或。 例：1等差数列中，则前 项的和最大。 2设等差数列的前项和为，已知 求出公差的范围， 指出中哪一个值最大，并说明理由。3（上海）设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，
9、S6S7S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与S7均为Sn的最大值4已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是 5.已知是等差数列，其中，公差。（1）数列从哪一项开始小于0？（2）求数列前项和的最大值，并求出对应的值(十).利用求通项1.数列的前项和（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？ 2.设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；3.（安徽文）设数列的前n项和，则的值为（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）644、北京卷）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2
10、，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 三、等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：(一)、递推关系与通项公式1 在等比数列中,，则 2 在等比数列中,则 3.（07重庆文）在等比数列an中，a28，a164，则公比q为（ ）（A）2（B）3（C）4（D）84.在等比数列中，则= 5.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则（ ）A 33 B 72 C 84 D 189(二)、等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必
11、要而不充分条件.例：1.和的等比中项为( ) 2.（重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ） A B CD(三)、等比数列的基本性质，1.（1）（2）（3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4）既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.例：1在等比数列中,和是方程的两个根,则( ) 2. 在等比数列，已知，则= 3.等比数列的各项为正数，且（ ） A12 B10 C8 D2+ 4.（广东卷）已知等比数列满足，且，则当时， （ ） A. B. C. D. (四)、等比数列的前n项和，例：1.已知等比数列的首相，公比，则其前n项和 2（北京卷）设，则
12、等于（ ）AB C D3（全国文，21）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q； (五). 等比数列的前n项和的性质若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列.例：1.（辽宁卷）设等比数列 的前n 项和为，若 =3 ，则 = A. 2 B. C. D.32.一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（ ）A83 B108 C75 D633.已知数列是等比数列，且 (六)、等比数列的判定法（1）定义法：为等比数列；（2）中项法：为等比数列； （3）通项公式法：为等比数列； （4）前项和法：为等比数列。 为等比数列。例：1.已知数列的通项为，则数
13、列为 （ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列满足，则数列为 （ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列的前n项和，则数列为（ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断四、求数列通项公式方法（1）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列满足：， 求；2.等比数列的各项均为正数，且，求数列的通项公式3.已知数列满足 （），求数列的通项公式；4. 已知数列满足且（），求数列的通项公式；5.数列已知数列满足则数列的通项公式= （2）
14、累加法1、累加法 适用于： 若，则 两边分别相加得 例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。2. 已知数列满足，求数列的通项公式。3. 已知数列满足，求数列的通项公式。（3）累乘法适用于： 若，则两边分别相乘得，例：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。2. 已知数列满足，求。3.已知， ，求。（4） 待定系数法 适用于例：1. 已知数列中，求数列的通项公式。2. （重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_3.已知数列满足求数列的通项公式；（5）递推公式中既有 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。1. （北京卷）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1
15、，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 2.（山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列(6)取倒数法。五、数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。 公比含字母时一定要讨论2错位相减法求和：如：例：1求和 2.求和：3裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项： 数列是等差数列，数列的前项和例：1.数列的前项和为，若，则等于（）A1 B C D2.已知数列的通项公式为，求前项的和；4.已知数列的通项公式为，设，求5求。3.已知等差数列满足, .(1)求数列的通项公式及 （2）求数列的前n项和7.已知等差数列满足：，的前n项和（1）求及（2）令（），求数列前n项和
