1、平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.举例1 已知，则把向量按向量平移后得到的向量是_. 结果：2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量
2、不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；三点共线共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.举例2 如下列命题：（1）若，则.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若，则是平行四边形.（4）若是平行四边形，则.（5）若，则.（6）若，则.其中正确的是 . 结果：（4）（5）二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3.坐标表示：在平面内建立直
3、角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理 设同一平面内的一组基底向量，是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使.（1）定理核心：；（2）从左向右看，是对向量的分解，且表达式唯一；反之，是对向量的合成.（3）向量的正交分解：当时，就说为对向量的正交分解举例3 （1）若，则 . 结果：.（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.， B.， C.， D.，（3）已知分别是的边，上的中线,且，,则可用向量表示为 . 结果：.（
4、4）已知中，点在边上，且，则的值是 . 结果：0.四、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）模：；（2）方向：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，当时，注意：.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量，作，则把称为向量，的夹角.当时，同向；当时，反向；当时，垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）中，则_. 结果：.（2）已知，与的夹角为，则 _. 结果：1.（3）已知
5、，则_. 结果：.（4）已知是两个非零向量，且，则与的夹角为_. 结果：.3.向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0.举例5 已知，且，则向量在向量上的投影为_. 结果：.4.的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：（1）；（2）当、同向时，特别地，；是、同向的充要分条件；当、反向时，是、反向的充要分条件；当为锐角时，且、不同向，是为锐角的必要不充分条件；当为钝角时，且、不反向；是为钝角的必要不充分条件.（3）非零向量，夹角的计算公式：；.举例6 （1）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_. 结果：或且；（2）已知的面积
6、为，且，若，则，夹角的取值范围是_. 结果：；（3）已知，且满足（其中）.用表示；求的最小值，并求此时与的夹角的大小. 结果：；最小值为，.六、向量的运算1.几何运算（1）向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则.运算形式：若，则向量叫做与的和，即；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.（2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若，则，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简： ； ； . 结果：；（2）若正方形的边长为1，则 . 结果：；（3）若是所在平面内一点，且满足，则的形状为. 结果：直角三角形；（4）若为的
7、边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为 . 结果：2；（5）若点是的外心，且，则的内角为 . 结果：.2.坐标运算：设，则（1）向量的加减法运算：，.举例8 （1）已知点，若，则当_时，点在第一、三象限的角平分线上. 结果：；（2）已知，且，则 .结果：或；（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 . 结果：.（2）实数与向量的积：.（3）若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设，且，则的坐标分别是_. 结果：.（4）平面向量数量积：.举例10 已知向量，.（1）若，求向量、的夹角；（2）若，函数的最大值为，求的值.结果：（1）；（2）
8、或.（5）向量的模：.举例11 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么 . 结果：. （6）两点间的距离：若，则.举例12 如图，在平面斜坐标系中，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与轴、轴同方向的单位向量，则点斜坐标为.（1）若点的斜坐标为，求到的距离；（2）求以为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程.结果：（1）2；（2）.七、向量的运算律1.交换律：，；2.结合律：，；3.分配律：，.举例13 给出下列命题： ； ； ； 若，则或；若则；.其中正确的是 . 结果：.说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以
9、一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件.举例14 (1)若向量，当_时，与共线且方向相同. 结果：2.（2）已知，且，则 . 结果：4.（3）设，则 _时，共线. 结果：或11.九、向量垂直的充要条件.特别地.举例15 (1)已知，若，则 .结果：；（2）以原点和为两个顶点作等腰直角三角形，则点的坐标是 .结果：(1,3)或（3，1）；（3）已知向量，且，则的坐标是 .结果：或.十、线段的定比分点1.定义：设点是直线上异于、的任意一点，
10、若存在一个实数 ，使，则实数叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点.2.的符号与分点的位置之间的关系（1）内分线段，即点在线段上；（2）外分线段时，点在线段的延长线上，点在线段的反向延长线上.注：若点分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比为.举例16 若点分所成的比为，则分所成的比为 . 结果：.3.线段的定比分点坐标公式：设，点分有向线段所成的比为，则定比分点坐标公式为. 特别地，当时，就得到线段的中点坐标公式说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根
11、据这些点确定对应的定比.举例17 （1）若，且，则点的坐标为 . 结果：；（2）已知，直线与线段交于，且，则 . 结果：或.十一、平移公式如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点_. 结果：；（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则_. 结果：.十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：.（1）右边等号成立条件：同向或中有；（2）左边等号成立条件：反向或中有；（3）当不共线.3.三角形重心公式在中，若，则其重心的坐标为.举例19 若的三边的中点分别为、，则的重心的坐标为 .结果：.5.三角形“三心”的向量表示（1）为的重心，特别地为的重心.（2）为的垂心.（3）为的内心；向量所在直线过的内心.6.点分有向线段所成的比向量形式设点分有向线段所成的比为，若为平面内的任一点，则，特别地为有向线段的中点.7. 向量中三终点共线存在实数，使得且举例20 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足,其中且,则点的轨迹是 . 结果：直线.
