1、平面向量1.（2020全国卷文 5）已知单位向量a ， b 的夹角为 60，则在下列向量中，与b 垂直的是（） A. a + 2bB. 2a + bC. a - 2bD. 2a - b=2.（2020海南 3）若D 为ABC 的边AB 的中点，则 CBA. 2CD - CAB. 2CA - CDC. 2CD + CAD. 2CA + CD3.（2020全国卷理 6）已知向量 a，b 满足| a |= 5 ，| b |= 6 ， a b = -6 ，则cos a, a + b= （） A. - 3135B. - 19C. 173535D. 19 354.（2020山东 7）已知 P 是边长为 2
2、 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB的取值范用是（） A. (-2, 6)B. (-6, 2)C. (-2, 4)D. (-4, 6)5.（2020全国卷理 13）已知单位向量 , 的夹角为 45，与垂直，则 k= . abk a- ba6.（2020全国卷文 14）设向量a = (1, -1),b = (m +1, 2m - 4)，若a b ，则m = .7.（2020全国卷理 14）设 a, b 为单位向量，且| a + b |= 1，则| a - b |= .18.（2020北京 13）已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足 AP = ； PB PD = ( A
3、B + AC) ，则| PD |=29.（2020天津 15）如图，在四边形 ABCD 中， B = 60,AB = 3 ， BC = 6 ，且，则实数l 的值为2，若 M , N 是线段 BC 上的动点，且| MN |= 1，则 DM DN 的最小值为 10.（2020浙江 17）设e1 ， e2 为单位向量，满足| 2e1 - e2 |夹角为q ，则cos2 q 的最小值为 2 ， a = e1 + e2 ， b = 3e1 + e2 ，设a ， b 的11.（2020江苏 13）在ABC 中， AB = 4，AC = 3，BAC=90 D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得AP=9
4、，若 PA = mPB + ( 3 - m)PC （m 为常数），则 CD 的长度是 2平面向量参考答案1. 【答案】D【解析】由已知可得： a b = a b cos 60 = 11 1 = 1 .22A：因为(a + 2b) b = a b + 2b=+ 21 = 0 ，所以本选项不符合题意； 21522B：因为(2a + b) b = 2a b + b= 2+1 = 2 0 ，所以本选项不符合题意； 212213C：因为(a - 2b) b = a b - 2bD：因为(2a - b) b = 2a b - b故选：D.2. 【答案】A3. 【答案】D=- 21 = - 0 ，所以本选项
5、不符合题意； 2122= 2-1 = 0 ，所以本选项符合题意.2【解析】a = 5 ， b= 6 ， a b = -6 ，a (a + b) = a 2 + a b = 52 - 6 = 19 .= 7 ， 故选：D.4. 【答案】A【解析】AB 的模为 2，根据正六边形的特征， 可以得到 AP 在 AB 方向上的投影的取值范围是(-1, 3) ， 结合向量数量积的定义式， 可知 AP AB 等于 AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积， 所以 AP AB 的取值范围是(-2, 6) ， 故选：A.5. 【答案】22 【解析】由题意可得： a b =11cos 45， 2 由向量垂
6、直的充分必要条件可得： k a- b a = 0 ， 2即： k a - a b = k -= 0 ，解得： k =.22故答案为：2 26. 【答案】5【解析】由a b 可得a b = 0 ， 又因为a = (1, -1),b = (m +1, 2m - 4)， 所以a b = 1(m +1) + (-1) (2m - 4) = 0 ， 即 m = 5 ， 故答案：5.7. 【答案】【解析】因为a, b 为单位向量，所以 a = b = 1 所 以 a + b =(a + b)2 =22a + 2a b + b=2 + 2a b = 1 解得： 2a b = -1 所 以 a - b =(a
7、 - b)2 =22a - 2a b + b=3 故答案为：8. 【答案】(1).(2). -1【解析】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点 A(0, 0) 、 B (2, 0) 、C (2, 2) 、 D (0, 2) ， ()AP = 1 AB + AC = 1 (2, 0) + 1 (2, 2) = (2,1) ， 222则点 P (2,1) ， PD = (-2,1) ， PB = (0, -1) ， 因此，故答案为：9. 【答案】； -1.1(1).6=(2).5 ， PB PD = 0 (-2) +1(-1)
8、= -1.132【解析】， AD/BC ，BAD = 180， = l 6 3 - 1 = -9l = - 3 ， 2 2解得l = 1 ， 6以点 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 xBy ， BC = 6，C (6, 0) , AB = 3, ABC = 60 ， A 的坐标为 A 3 , 3 3 , 22 又 AD = 1 BC ,则 D 5 , 3 3 ，设 M ( x,0) ，则 N ( x +1, 0) （其中0 x 5 ）， 6 22 DM = x - 5 , - 3 3 ， DN = x - 3 , - 3 3 ， 22 22 5 3 3
9、 3 212132DM DN = x - x - + = x2 - 4x += ( x - 2) +， 2 2 2 2213所以，当 x = 2 时， DM DN 取得最小值 2 .1故答案为：6； 13 .22810. 【答案】29【解析】| 2e1 - e2 |2 ， 4 - 4e1 e2 +1 2 ， 3e1 e2 4 ， 2 q = (a b)2 =(4 + 4e e )2= 4(1+ e e )22cos 12 12 ab(2 + 2e1 e2 )(10 + 6e1 e2 )5 + 3e1 e2= 4 (1-325 + 3e1 e228) 4 (1- 325 + 3 34) = 28
10、29 .故答案为：.291811. 【答案】5【解析】 A, D, P 三点共线， 可设 PA = l PD (l 0) ， PA = mPB + 3 - m PC ， 2 3 l PD = mPB +- m PC ，即， 2ll若 m 0 且m 3 ，则 B, D, C 三点共线， 2 3 - m 3 m 2，即l =， l + l = 12 AP = 9 ， AD = 3， AB = 4 , AC = 3 , BAC = 90 ， BC = 5 ， 设CD = x ， CDA = q ，则 BD = 5 - x ， BDA = p -q .qAD2 + CD2 - AC2x根据余弦定理可得cos =2AD CD6AD2 + BD2 - AB2(p q )， cos-=2AD BD(5 - x)2 - 76(5 - x) ， cosq + cos(p -q ) = 0 ， x(5 - x)2 - 7 18+= 0 ，解得 x =， 66(5 - x)518 CD 的长度为 5 .当 m = 0 时，PA = 3 PC ， C, D 重合，此时CD 的长度为0 ， 2当 m = 3 时， PA = 3 PB ， B, D 重合，此时 PA = 12 ，不合题意，舍去. 2218故答案为：0 或5
