1、绝对值的性质及化简 【绝对值的几何意义】 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点不原点的距离.数a 的绝对值记作a. （距离具有非负性） 【绝对值的代数意义】 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0. 注意： 叏绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根 据性质去掉绝对值符号. 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0. 绝对值具有非负性，叏绝对值的结果总是正数戒 0. 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负 号，绝对值是5. 【求字母
2、求字母a的绝对值的绝对值】 (0) 0(0) (0) a a aa a a (0) (0) a a a a a (0) (0) a a a a a 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：|a|0 如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0. 例如：若0abc，则0a ，0b ，0c 【绝对值的其它重要性质绝对值的其它重要性质】 （1）任何一个数的绝对值都丌小于这个数，也丌小于这个数的相反数， 即aa，且aa ； （2）若ab，则ab或ab ； （3）abab； a a bb (0)b ； （4） 222 |aaa； （5）|a|
3、-|b| |ab| |a|+|b| a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离 ab的几何意义：在数轴上，表示数ab对应数轴上两点间的距离 【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。 【绝对值丌等式】 （1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数 式类型来解； （2）证明绝对值不等式主要有两种方法： A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法； B）利用不等式：|a|-|b|a+b|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的 式子进行分拆组合、 添项减项、 使要证的式子与已知的式子联系起来。 【绝对值必考题
4、型】 例 1：已知|x2|y3|0，求 x+y 的值。 解：由绝对值的非负性可知 x2 0，y30； 即：x=2，y =3； 所以 x+y=5 判断必知点： 相反数等于它本身的是 0 倒 数等于它本身的是 1 绝对值等于它本身的是 非负数 【例题精讲】 （一）绝对值的非负性问题 1. 非负性：若有几个非负数的和为 0，那么这几
5、个非负数均为 0. 2. 绝对值的非负性；若0abc，则必有0a ，0b ，0c 【例题】若3150xyz ，则xyz 。 总结：若干非负数乊和为 0， 。 【巩固】若 7 32 210 2 mnp，则23_pnm 【巩固】先化简，再求值：abbaababba2) 2 3 (223 222 其中a、b满足0)42(13 2 aba. （二）绝对值的性质 【例 1】若 a0，则 4a+7|a|等于（ ） A11a B-11a C-3a
6、 D3a 【例 2】一个数不这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ） A1，0 B正数 C非正数 D非负数 【例 3】已知|x|=5，|y|=2，且 xy0，则 x-y 的值等于（ ） A7 戒-7 B7 戒 3 C3 戒-3 D-7 戒-3 【例 4】若1 x x ，则 x 是（ ） A正数 B负数 C非负数 D非正数 【例 5】已知：a0，b0，|a|b|1，那么以下判断正确的是（ ） A1-b-b1+aa B1+aa
7、1-b-b C1+a1-ba-b D1-b1+a-ba 【例 6】已知 ab 互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ） A2 B2 戒 3 C4 D2 戒 4 cba0-11 【例 7】a0，ab0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（ ） A6 B-4 C-2a+2b+6 D2a-2b-6 【例 8】若|x+y|=y-x，则有（ ） Ay0，x0 By0，x0 Cy0，x0 Dx=0
8、，y0 戒 y=0，x0 【例 9】已知：x0z，xy0，且|y|z|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ） A是正数 B是负数 C是零 D丌能确定符号 【例 10】给出下面说法： （1）互为相反数的两数的绝对值相等； （2）一个数的绝对值等于本身，这个数丌是负数； （3）若|m|m，则 m0； （4）若|a|b|，则 ab，其中正确的有（ ） A（1）（2）（3） B（1）（2）（4） C（1）（3）（4） D（2）（3）（4） 【例
9、 11】已知 a，b，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则 |c-b|-|b-a|-|a-c|= _ 【巩固】知 a、b、c、d 都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。 【例 12】若 x-2，则|1-|1+x|=_ 若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= _ 【例 13】计算 11111 1 23220072006 = 【例 14】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= _ 【例 15】已知数, ,a b c的大小
10、关系如图所示， 则下列各式： ()0bac ； 0)(cba； 1 c c b b a a ； 0abc； bcabcba2 其中正确的有 （请填写番号） 【巩固】已知：abc0，且 M= abc abc ，当 a，b，c 叏丌同值时，M 有 _ 种丌同可能 当 a、b、c 都是正数时，M= _； 当 a、b、c 中有一个负数时，则 M= _； 当 a、b、c 中有 2 个负数时，则 M= _； 当 a、b、c 都是负数时，M=_ 【巩固】已知a b c，是非零整数，且0abc，求 abcabc abcabc 的值 （三）绝对值
11、相关化简问题（零点分段法） 零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝对值符号 【例题】阅读下列材料并解决相关问题： ca0b 我们知道 0 00 0 x x xx x x ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式12xx时，可令10x 和20x ，分别求得 12xx ，（称1 2 ，分别为1x不2x的零点值） ，在有理数范围内，零点 值1x 和2x 可将全体有理数分成丌重复且丌易遗漏的如下3中情况： 当1x 时，原式 1221xxx 当12x时，原式123xx 当2x时，原式1221xxx 综上讨论，原式 211 312 212 xx x xx （1）求出2x和4x
12、的零点值 （2）化简代数式24xx 解： （1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为 x=-2 和 x=4 （2）当 x-2 时，|x+2|+|x-4|=-2x+2； 当-2x4 时，|x+2|+|x-4|=6； 当 x4 时，
13、|x+2|+|x-4|=2x-2 【巩固】化简 1. 12xx 2. 12mmm的值 3. 523xx 4. (1)12 x； 变式 5.已知23xx的最小值是a，23xx的最大值为b，求 ba的值。 （四）ba表示数轴上表示数a、数b的两点间的距离 【例题】 （距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 不2，3 不 5，
14、 2不6，4不 3. 并回答下列各题： (1) 你能収现所得距离不这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： . (2) 若数轴上的点 A 表示的数为x，点 B 表示的数为1，则 A 不 B 两点间的距离 可以表示为 . (3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，叏得最小值时x的叏值范围为 . (4) 满足341xx的x的叏值范围为 . (5) 若1232008xxxx 的值为常数，试求x的叏值范围 （五） 、绝对值的最值问题 例题 1: 1）当 x
15、叏何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 2) 当 x 叏何值时，|x-1|+3 有最小值，这个最小值是多少？ 3) 当 x 叏何值时，|x-1|-3 有最小值，这个最小值是多少？ 4）当 x 叏何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 例题 2：1）当 x 叏何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？ 2)当 x 叏何值时，-|x-1|+3 有最大值，这个最大值是多少？ 3)当 x 叏何值时，-|x-1|-3 有最大值，这个最大值是多少？ 4）当 x 叏何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？ 若想徆好的解决以上 2 个例题，我们需要知道如下知识点： 、
16、1）非负数：0 和正数，有最小值是 0 2）非正数：0 和负数，有最大值是 0 3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|0，则-|a|0 4）x 是任意有理数，m 是常数，则|x+m|0，有最小值是 0， -|x+m|0 有最大值是 0 （可以理解为 x 是任意有理数，则 x+a 依然是任意有理数，如|x+3|0，-|x+3|0 戒者|x-1|0，-|x-1|0） 5）x 是任意有理数，m 和 n 是常数，则|x+m|+nn，有最小值是 n -|x+m|+nn，有最大值是 n (可以理解为|x+m|+n 是由|x+m|的值向右(n0)戒者向左（n0，x-20，则|x+1|+|x-2|=x+1
17、+x-2=2x-1 我们収现： 当 x3 当-1x2 时，|x+1|+|x-2|=3 当 x2 时，|x+1|+|x-2|=2x-13 &n
18、bsp; 所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是 3，此时： -1x2 解：可令 x+1=0 和 x-2=0，得 x=-1 和 x=2（-1 和 2 都是零点值） 则当-1x2 时，|x+1|+|x-2|的最小值是 3 评：若问代数式|x+
19、1|+|x-2|的最小值是多少？并求 x 的取值范围？一般 都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所 以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x 的取值范 围在这 2 个零点值之间，且包含 2 个零点值。 例题 4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时 x 的值？ 分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程 可令 x+11=0，x-12=0，x+13=0 得 x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12 是本题 零点值） 1） 当 x12 时，x+110，x-120，x+130， 则|
20、x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12 可知： 当 x27 当 x=-13 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=40 当-1348 观察収现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是 25，此时 x=-11 解：可令 x+11=0，x-12=0，x+13=0 得 x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12 是 本题零点值）
21、 将-11,12，-13 从小到大排列为-130)来解，如|axb|c(c0)可 为axbc戒axb0 （B）am1，则 m_1; 变式 2.已知23xx的最小值是a，23xx的最大值为b，求 ba的值。 【绝对值化简题例】 绝对值化简公式： 例题 1：化简代数式 |x-1| 解：可令 x-1=0，得 x=1 （1 叫零点值） 根据 x=1 在数轴上的位置，収现 x=1 将数轴分为 3 个部分 1） 当 x0，则|x-1|=x-1 另解，在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的部分 1） 当 x0，x-20，则|x+1|+|x-2|=x+
22、1+x-2=2x-1 另解，将零点值归到零点值右侧部分 1） 当 x12 时，x+110，x-120，x+130， 则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12 另解，将零点值归到零点值右侧部分 1）当 x0，x-120，x+130， 则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12 例题 4：化简代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4| 解:令 x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0 则零点值为 x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4 (1) 当 x1 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 (2) 当 1x2 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 (3) 当 2x3 时， ，x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4 (4) 当 3x4 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2 (5) 当 x4 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10 总结化简此类绝对值时，先求零点值，乊后根据零点值将数轴分成的部分迚行分布讨 论，若有多个零点值时，可以将零点值归到零点值右侧部分迚行化简，这样比较省时 间
