1、2021年高三查漏补缺试题（数学）说明：查漏补缺题是在海淀的五次统练基础上的补充，绝非猜题押宝，每道题的选择都有其选题意图，有的侧重知识、有的侧重方法、有的侧重题型、有的侧重选题内容，请老师根据选题意图，有所选择、有所侧重地训练学生.最后阶段的复习，应是梳理知识、梳理解题方法的基础上查漏补缺.三角函数1在中，、所对的边长分别是、.满足. （1）求的大小； （2）求的最大值.命题意图：在已知边角关系中既有边又有角的等式，一般要进行边角统一，边化角常用正弦定理，角化边常用正弦、余弦定理；熟练掌握的变形；另外对于函数的图象和性质要掌握好;已知三角函数值求角时，一定要注意角的取值范围，注意细节.2已知
2、. （1）求的对称轴方程； （2）将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，若的图象关于点对称，求的最小值.命题意图：对于三角公式，重中之重是倍角公式、降幂公式及辅助角公式.如果三角函数解答题要求单调性、对称性、周期等，一般暗示着“化一”的过程，即通过恒等变形把函数化为；另外会从“数”和“形”两方面来分析这个函数的性质和几何特点,即以图引导思维；注意平移问题的处理，如函数平移，按向量平移，曲线的平移问题.提示：要求学生记清诱导公式，“特殊角”的三角函数值. 数列1设数列的前项和为，且满足. （）求证：数列为等比数列； （）求通项公式； （）设,求证：. 命题意图：数列既是高中数学的重点，也是难点
3、.掌握好等差、等比数列的通项公式和前项和公式，能用概念判断是否为等差、等比数列.常见考点：与的关系（注意讨论）；递推猜想数学归纳法证明；迭加；迭乘；裂项求和；错位相减等；数列不等式证明中注意放缩法的运用.2无穷数列满足：（为常数）. （1）若且数列为等比数列，求； （2）已知，若，求； （3）若存在正整数，使得当时，有，求证：存在正整数，使得当时，有命题意图：数列中涉及恒成立或存在性的问题，往往和最大（小）值及单调性有关，常见做法是用和进行作差、作商、比较或构造函数来判断；通过本题的练习，希望学生能根据题目的条件和结论获取信息，抓住特点，进行代数推理论证；本题第（3）问也可用反证法说明，解题中
4、要重视它的运用. 立体几何1在直平行六面体中，是菱形，. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的大小.命题意图：熟悉立体几何中常见问题及处理方法，要求学生敏锐把握所给图形特征，制定合理的解决问题策略.立体几何主要是两种位置关系（平行、垂直），两个度量性质（夹角、距离）.解决问题的方法也有两种：几何方法和向量方法.两种方法各有优缺点，前者难在“找”和“作”的技巧性，后者难在建系和计算上，究竟用哪种方法，到时根据自己的情况决断.2如图，二面角为直二面角，PCB=90, ACB=90，PMBC，直线AM与直线PC所成的角为60，又AC=1,BC=2，PM=1. （）求
5、证：ACBM; （）求二面角M-AB-C的正切值； （III）求点P到平面ABM的距离. 命题意图：用综合法解答立体几何问题，要注意步骤的规范性，如求二面角的大小，点到面的距离，要先证明，再计算.用向量方法解答，要注意两向量的夹角与所求角的关系，即相等、互补、互余等，还要注意所求角的范围，如斜线和平面所成角一定是锐角；要注意“体积法”在处理较难的角与距离问题中的灵活运用.注意：立体几何重在通性、通法的熟练，逻辑的严谨，计算准确上.概率1理：某自助银行共有4台ATM机，在某一时刻A、B、C、D四台ATM机被占用的概率分别为、，设某一时刻这家自助银行被占用的ATM机的台数为 （）如果某客户只能使用
6、A或B型号的ATM机，求该客户需要等待的概率； （）求至多有三台ATM机被占用的概率； （）求的分布列和数学期望.命题意图：概率主要考查两个公式（加法、乘法公式）、两个模型（古典概型、贝努里概型）（可以提醒学生“摸球”问题中的放回与不放回的区别）.但要注意答题的规范性，不要只列一个算术式子来解答；注意两个公式适用的条件，互斥和独立；注意两个模型的辨别；对于“至多”，“至少”问题，常用对立事件计算.2文：某自助银行共有4台ATM机，在某一时刻A、B、C、D四台ATM机被占用的概率分别为、. （）如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，求该客户需要等待的概率； （）求至多有三台ATM机被占用的概率
7、； （）求恰有两台ATM机被占用的概率. 命题意图：概率主要考查两个公式（加法、乘法公式）、两个模型（古典概型、贝努里概型）.但要注意答题的规范性，不要只列一个算术式子来解答；注意两个公式适用的条件，互斥和独立；注意两个模型的辨别；对于“至多”，“至少”问题，常用对立事件计算.3小明一家三口都会下棋.在假期里的每一天，父母都交替与小明下三盘棋，已知小明胜父亲的概率是，胜母亲的概率是. （1）如果小明与父亲先下，求小明恰胜一盘的概率； （2）父母与小明约定，只要他在三盘中能至少连胜两盘，就给他奖品，那么小明为了获胜希望更大，他应该先与父亲下，还是先与母亲下？请用计算说明理由.命题意图：用数据说理
8、和决策的意识.通过合理的分类、恰当的分步把复杂事件用相对简单（或已知概率）事件表示的能力，尤其是对（2）中 划线部分的理解；还要注意概率和不等式等其它数学知识的交汇.解析几何1已知动点P到直线的距离是到定点（）的距离的倍. （）求动点P的轨迹方程； （）如果直线与P点的轨迹有两个交点A、B，求弦AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围.命题意图：对解析几何两大基本问题：求轨迹；通过方程研究曲线性质进行再梳理.轨迹方程的求法一般分为直接法和间接法.直接法的步骤：建系设点，找等量关系，列方程，化简，检验；间接法的关键是找参数.如果明确说直线与圆锥曲线有两个不同的交点，一般是考查判别式与根系关系的应
9、用.取值范围一般是函数的值域或不等式（组）的解集. 2已知点分别是直线和的动点（在轴的同侧），且的面积为，点满足. （1）试求点的轨迹的方程； （2）已知，过作直线交轨迹于两点，若，试求的面积. （3）理：已知，矩形的两个顶点均在曲线上，试求矩形 面积的最小值.命题意图：本题抓住解析几何重点研究问题设问，熟悉巩固通性通法，典型几何条件如长、角等的代数转换方法，让学生理解解析几何的基本思想与策略.解析几何要把握好条件的等价翻译，理顺各量间的关系，计算准确，进而得出正确结论.取值范围、最值、存在性、定值等问题是高中数学的重点题型，要重视.最值问题一般要建立函数关系（求哪个量的最值，这个量一般是因变
10、量，关键是找到主动变化的量，即自变量），并且指出函数的定义域（定义域往往和判别式有关）.解析几何考最值要注意均值定理、导数和二次函数的运用.函数、导数1设，曲线y = f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y = x+3. （1）求f(x)的解析式； （2）若x2,3时，f(x)bx恒成立，求实数b的取值范围.命题意图：切线方程要注意“在点”和“过点”的区别；恒成立问题，存在性问题一般和最值、值域、单调性密切相关，当不等式两端都为变量时，一般要先分离变量.2（理）已知函数（，R） （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值命题意图：导数的应用，重点是单调性、极值、最值问题（
11、或方程、不等式等可转化为最值的问题），要注意通性通法的落实.如果有参数，常常需要分类讨论：提取常数系数时，要注意系数是否可能为零；导数为零的的值有多个时，要注意它们的大小关系是否是确定的等. 2（文）设函数 （）求的最小值； （）若对恒成立，求实数的取值范围命题意图：使文科学生熟悉导数的基本应用，巩固处理此类问题的通性通法.本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用 不等式1已知函数和的图象关于y轴对称，且 （I）求函数的解析式； （）解不等式；命题意图：引导学生复习对称性（轴对称、中心对称）问题的处理方法.解不等式的方法可以概括为“化归”的过程，即转化为有理不等式.含有绝对值的不等式，
12、就是要根据绝对值的意义去掉绝对值符号，根据不同情况进行分类讨论，但要分清楚各个步骤是求交集还是并集.2已知不等式的解集为，不等式的解集为. （1）求集合及； （2）若，求实数的取值范围.命题意图：复习简单不等式的解法，注意分式不等式的等价转化，弄清集合间的关系，注意分类讨论的思想方法.参考答案三角函数1解：（1）由正弦定理及得， . 在中， ，即. 又，. （2）由（1）得，即.，. 当时，取得最大值.2解：（1） 由得. 的对称轴方程为. （2）由题意可设则又因为的图象关于点对称，则有，即.所以当时，数列1证明：（）,. 又,是首项为，公比为的等比数列且. （）时，,时， .故. （） .2
13、解：（）由为等比数列，知与无关，故.当时，数列是以为首项，以为公比的等比数列. （）当时，.取为，累乘得:（）.当时，.而， （）当时，说明异号，此时不存在正整数，使得当时，有.当时，必存在正整数（取大于的正整数即可），使得当时，有，即存在正整数，使得当时，有；因为存在正整数，使得当时，恒有成立，取为与的较大者，则必存在正整数，使得当时，.存在正整数，使得当时，有立体几何1证明：（1）连接交于，连结.在平行四边形中，四边形为平行四边形. .平面，平面，平面. （2）在直平行六面体中，平面，.四边形为菱形，.，平面，平面，平面.平面，平面平面. （3）过作交于.平面平面，平面平面，平面.为在平面
14、上的射影.是与平面所成的角.设，在菱形中，.在Rt中，.，. （3）解法二：连交于，分别以,所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.设，在菱形中，,.则（0，0），（0，0），（1，0，2），（0，0，2）.（0，2），（1，2）.设平面的法向量（，），则.令，则.（0，）.设与平面所成的角为.2解：（）平面平面，平面,平面平面 平面.又平面,. （）取的中点，则连接、平面平面，平面平面，平面，从而平面作于，连结，则由三垂线定理知从而为二面角的平面角直线与直线所成的角为60， 在中，由勾股定理得在中，在中，在中，故二面角的大小为 （）如图以为原点建立空间直角坐标系设，由题意可知，由直
15、线与直线所成的角为60，得即，解得，设平面的一个法向量为，则由，取，得.取平面的一个法向量为则由图知二面角为锐二面角，故二面角的大小为 （）因为，所以，所以，因为平面，所以平面.所以P点到平面ABM的距离等于N点到平面ABM的距离,，又，由等积可知，解得，P点到平面ABM的距离为.方法二、，所以P点到平面ABM的距离.概率1解：（）设“如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，则该客户需要等待” 为事件 答：如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，该客户需要等待的概率为. （）设“至多有三台ATM机被占用” 为事件答：至多有三台ATM机被占用的概率为. （）的可能取值为0，1，2，3，4.,01
16、234.2解：（）设“如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，则该客户需要等待” 为事件. .答：如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，该客户需要等待的概率为. （）设“至多有三台ATM机被占用” 为事件.答：至多有三台ATM机被占用的概率为. （）设“恰有两台ATM机被占用” 为事件.答：恰有两台ATM机被占用的概率为.3解：(1) 记“小明在第i盘胜父亲”为事件Ai，“小明在第i盘胜母亲”为事件Bi， 则，. 所以小明恰胜一盘的概率为 答：小明恰胜一盘的概率为. （2）若与父亲先下，则小明获胜的概率为；若与母亲先下，则小明获胜的概率为.,小明应先与父亲下.解析几何1解：（）设动点，由题意
17、知.即动点P的轨迹方程是.（）联立方程组得：.从而 弦AB的中点坐标为：弦AB的线段垂直平分线方程为.所以垂直平分线在y轴上的截距为：，.故弦AB的线段垂直平分线在y轴上的截距的取值范围为.2解：（1）设，则由可得因为的面积为，所以.得：.所以，点的轨迹的方程为. （2）显然为的右焦点，设其左焦点为.连接，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，故.设，.则由双曲线定义得： ，即.在中，由余弦定理得： =.两式作差得：.所以，的面积. （3）（理）当直线轴时，所以，直线的方程为，此时，矩形面积为.设直线，代入，消去得：.设，则由得：.矩形面积若，显然，若，则令，故.综上所述，可知当直线轴时，矩
18、形面积最小为.函数、导数1解：（1）由条件得f(2)=5，则（2，5）在上，有即 （2）x2,3时，f(x)bx恒成立等价于恒成立，令 x2,3，所以2解：（1） ，故若，则，因此在上是增函数若，则由得，因此的单调递增区间是，单调递减区间是 （2）若，则（），因此在上是增函数那么在上的最小值是，最大值是； 若，则（），因此在上是减函数那么在上的最小值是，最大值是 若，则x18-0+极小值所以在上的最小值是，当，即时，最大值是；当时，最大值是2解：（），当时，取最小值，即 （）令，由得，（不合题意，舍去）当变化时，的变化情况如下表：递增极大值递减在内有最大值 在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为不等式1解：（I）设函数图象上任意一点，由已知点P关于y轴对称点一定在函数图象上， 代入得，所以 （II）或或 2解：（1）由，得即. 解得. . 由，得. 若，则（2，）； 若，则； 若，则（，2）. （2）要使，则. 并且. 所以，当时，.24998 61A6 憦C21064 5248 剈23743 5CBF 岿3(Q22488 57D8 埘31696 7BD0 篐28293 6E85 溅337054 90BE 邾30525 773D 眽
