1、2019年泰州市初中数学青年教师解题比赛试题说明：1本试卷共4页，10大题，满分为150分，考试时间为120分钟；2所有试题一律在答题纸上作答，尺规作图请规范操作1（本题满分10分）已知，求k的值2（本题满分10分）关于x的一元二次方程有实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程0与方程有一个相同的根，求此时m的值3（本题满分10分）图是一幅藏宝图，海岛（图中空白处）上某处藏匿了宝藏，但没有任何标志，只有A、B两块天然巨石通过查找资料知道，A、B两块巨石的直角坐标分别是（2，1）和（6，6），藏宝地C的坐标是（8，2）请用尺规作图在海岛上确定藏宝地C的位置，并
2、简要说明确定点C位置的方法（图是由相同的小正方形组成的网格，供选用）AB4（本题满分15分）观察下列等式：=；=；=解决下列问题：（1）根据上面3个等式的规律，写出第个式子，并通过计算进行验证；（2）用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明；（3）利用上述结果计算：+5（本题满分15分）城市许多街道相互垂直或平行，有时不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy对两点M（，）和N（，），用以下方式定义两点间距离：d（M，N）|+|已知点A的坐标是（2，1），l是过点（0，3）且平行于x轴的一条直线，P为直线l上一点（
3、1）d（O，A） ；（2）若d（A，P）3，求点P的坐标；AxlyO（3）设原点O为快递揽收点，A为快递仓储点，直线l是一条公路，今欲在公路l上修建一个快递中转中心P，快递小哥们从点O处出发，按照“直角拐弯”的方式，将市民送来的快递运送到P处，再将从外地送来的快递运送到A处要使快递小哥的路程最短，请确定快递中转中心P的位置，并求出最短路程6（本题满分15分）DABPCOGMN如图，线段AB=a，ABG=60，点P为射线BG上的一个动点，以AP为边作菱形APCD，使APC=60，且点C、D落在ABG内部，过点A、P、C的O与线段AB相交于点M，CM交AP于点N（1）求证：CMBG；（2）求线段C
4、M的长；（3）求线段MN的最大值7（本题满分15分）已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上两个动点，且EAF=45，EMAC，FNAC，点M、N为垂足，AE、AF交BD于点G、H当BG=3时，GH=5（1）求正方形ABCD的边长；（2）设AM=x，AN=y，求y与x的函数关系式及x的取值范围ABCDEGMNFH8（本题满分20分）已知：ABC的内切圆O与BC相切于点D，且BD=p，CD=q（1）若，试判断ABC的形状，并说明理由ADBCO60（2）如图，若A=60，用含p、q的代数式表示ABC的面积；9（本题满分20分）已知A（1，3）、B（3，-1）为平面直角坐标系xOy内两
5、点（1）过原点O作直线l，设点A、B到直线l的距离分别为、=，求l的函数表达式； 若点A、B在直线求l两侧，且+最大，求l的函数表达式；OA(1，3)xyB(3，-1)（2）若二次函数的顶点E在OAB内（包括边界），点A、B到点E的最短距离分别为、，求的值10（本题满分20分）已知一次函数与二次函数（a0）的图像相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴相交于点C（1）若AOB=90，点A的横坐标为，BC=9AC，求点B的坐标；（2）过点B作BDx轴，垂足为D延长BD、AO相交于点Q，求证：DQ=CO；yxOACB（3）在y轴上是否存在一点P，使CP平分APB?如果存在，说明点P与点C
6、的位置关系；如果不存在，请说明理由019年泰州市初中数学青年教师解题比赛试题答案1（本题满分10分）若，则，所以若，方法一：有=；方法二：有，+得：，所以，故k的值为或ABCyxOABCEF2（本题满分10分）（1）；（2）满足的最大整数为2，此时方程为，解得两根为和2把和2分别代入方程解得和1，而方程为一元二次方程，有0即m1，所以3（本题满分10分）（1）在图的网格中建立如图所示的直角坐标系；（2）在该坐标系中描出点A（2，1）、B（6，6），C（8，2）；分别连接AB、BC、CA；（3）在图中，作BAE=A，ABF=B，射线AE与BF相交于点C则C点就是藏宝地4（本题满分15分）（1）=
7、；（2）=（n为正整数）证明如下：=（3）原式=+=+=5（本题满分15分）（1）3；（2）设P（a，3），则d（A，P）|a+2|+|3-1|=3，解得a=-1或-3，P（-1，3）或（-3，3）；（3）d（O，P）+ d（A，P）|a-0|+|3-0|+|a+2|+|3-1|=|a+2|+|a|+5=，显然，当时的最小值为7，当时的最小值也为7，故d（O，P）+ d（A，P）最小值为7，此时-2a0，即快递中转中心P建于公路l上横坐标在-2与0之间（包括-2与0）的所有位置都满足要求DABPCOGMN6（本题满分15分）（1）证明略；（2）连接PM，证CPMAPB，从而有CM=AB=a；（
8、3）设PB=MB=x，易证AMNCMP，所以，所以，所以MN=，故MN最大为ABDGPH7（本题满分15分）（1）如图，因为BAD=90，AD=AB，故将ADH绕点A顺时针旋转90至ABP位置，连接PG，易证PBG=90，所以；可证APGAHG，有PG=HG，所以，ABCDEMNF而当BG=3时，GH=5，故此时HD=4即BD=12，所以正方形的边长为（2）如图，易证AEMAFD，ABEANF，所以，所以， 有=，即，所以（）8（本题满分20分）ADFCOqBEqpp（1）设AB=c，AC=b，O与AB、AC相切于点F、E，由条件知：，由AE=AF得，所以，所以，所以，所以=即，所以ABC为直
9、角三角形ADBCOFEH（2）如图，设O的半径为r，与AB、AC相切于点F、E，连接AO、BO、CO、OD、OE、OF，作CHAB，易证OFAB，ODBC，OEAC，则AF=AE=，BF=BD=p，CE=CD=q，所以CH=，而=+，所以=，整理得：，所以=9（本题满分20分）（1）如图，满足条件的直线l有两条，一条是与AB平行，一条是经过AB的中点P，表达式为或；（2）如图，作AGl，BHl，过点A作l直线l，延长BG交l于点G，则+=BG，根据垂线段最短有+=BPAB，显然当lAB时+最大，此时直线l恰好经过AB的中点，故直线l的表达式为；yxOMd2d1ABNyxOl1l2d1d2d2d
10、1ABPyxOlld2d1ABd1GHP（3）二次函数图像的顶点为S（，），设，有，即S是直线上的动点点S在OAB内，故S在直线与AB、OB交点间的线段上，AB的表达式为，OB的表达式为，从而有与AB的交点M（2，1），N（，）且MNOB，故=BN=，=，所以=10（本题满分20分）设直线AB表达式为，A、B的坐标分别为（，）、（，）.（1）作AEx轴、BFx轴，E、F为垂足，易证AOEOBF， 所以得=，从而=，由题意，所以，因为a0，所以，所以二次函数为，当时，故点B（，）（2）如图，在中，令x=0，有y=d，则CO=|d|；直线AO的关系式为=，令得，联列直线AB与抛物线的关系式得，有，所以=，所以DQ=|=|=|=|d|故有DQ=COyxOAEBCFyxOAGBHCPyxOACBQD（3）如图，设点P的坐标为（0，m），作AGy轴、BHy轴，G、H为垂足，由题意知：点C的坐标为（0，d），则tanAPC- tanBPC=，联列与有，则，所以tanAPC-tanBPC =，欲APC=BPC，而k为任意实数，只有，即，此时点P与点C关于原点对称
