1、2019届广东省江门市高考模拟（第一次模拟）考试数学（理）试题一、单选题1是虚数单位，若是纯虚数，则实数 （ ）ABCD【答案】B【解析】根据复数的除法运算法则得到复数的化简式子，再由实部为0得到结果.【详解】若是纯虚数，化简虚数得到 ，纯虚数即实部等于0即可，2m+2=0解得m=-1.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及实部和虚部的概念，题型较为基础.2设集合，则 （ ）ABCD【答案】C【解析】先由补集的概念得到，再由交集的概念得到结果即可.【详解】根据题干得到，则.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，题型较为基础.3某地气象局把当地某月（共30
2、天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图，假设该月温度的中位数为，众数为，平均数为，则（ ）ABCD【答案】D【解析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小【详解】由图知众数5由中位数的定义知，得分的中位数为me，是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15个数是5，第16个数是6，5.5，（23+34+105+63+37+28+29+210）5.97，me，故答案为：D【点睛】本题考查了众数，中位数与平均数，要注意中位数是
3、中间两个数的平均数4直角坐标系中，已知两点，点满足，其中，且则点的轨迹方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】由已知向量等式可知C在AB所在的直线上，由直线方程的两点式得答案【详解】由，且+1，得，即，则C、A、B三点共线设C（x，y），则C在AB所在的直线上，A（2，1）、B（4，5），AB所在直线方程为 ，整理得：故P的轨迹方程为：故选：A.【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用，考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题5根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）据此预测，本年度内，需求量超过万件的月份是（ ）A5月、6月B6月、7月C7月、
4、8月D8月、9月【答案】C【解析】现根据题意得到第n个月时的需求量，再由需求量大于5得到n的范围，进而得到结果.【详解】日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）,则第n个月的需求量为， 故答案为：C.【点睛】这个题目考查了数列通项的求法中已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项；也考查了不含参的二次不等式的求法，较为基础.6一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若，且这个四棱锥的体积，则这个四棱锥的侧面积（ ）ABCD【答案】B【解析】根据三视图得到原图，根据边长关系和图形特点得到侧面积.【详解】根据三视图得到原图：，底面边长为，高为h，体积为侧面积为4个三角形，
5、根据题目得到 故侧面积一共为32.故答案为：B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7若，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据解析式得到函数的周期和对称轴，对称中心，进行估算，结合函数的单调性和图像得到结果.【详解】根
6、据函数解析式得到函数的周期为，对称轴和对称中心为，估算，结合函数的图像可得到故答案为：A.【点睛】这个题目考查了三角函数的单调性的应用，以及函数的对称中心和对称轴的求解，题目难度中等.8若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则（ ）ABCD或【答案】D【解析】先根据和曲线相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值.【详解】设在函数处的切点设为（x,y）,根据导数的几何意义得到，故切点为（1，0），可求出切线方程为y=x-1,直线和 也相切，故,化简得到,只需要满足 故答案为：D.【点睛】求切线方程的方法：求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用
7、点斜式写出切线方程；求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.9在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，只考虑二项式系数即可，写出二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，得到概率【详解】有题意知本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，我们只考虑二项式系数即可二项式系数
8、为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，任取一项，该项的系数为奇数的概率p故选：B【点睛】本题考查等可能事件的概率和二项式系数的特点，本题解题的关键是看出二项式的展开式中所有的二项式系数的值，本题比较特殊，因为二项式的系数等于项的系数10直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到 故答案为
9、：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).11是球内接正四面体，若球的半径为，则 （ ）ABCD【答案】B【解析】根据正四面体的各个棱长都相等，以及外接球这一条件得到 ，而由正四棱锥的结论得到外界球半径和棱长的关系，进而得到结果.【详解】根据正四面体的性质，以及外接球的半径都是1，OA=OB=OC=OD，故得到三角形OAB和三角形OBC，OAC，OAD是全等的三角形，则 设四棱锥的边长为a,则外接
10、球的半径为高的四分之三，高是棱的边长的 本题中半径为1，棱长为，三角形OAB的顶角的余弦值为 .故答案为：B.【点睛】本题考查四面体的外接球问题，考查了空间想象能力，正四面体即各个侧棱都相等，各侧面都是等边三角形，它有很多性质，例如：外接球的半径是高的四分之三，内切球的半径是高的四分之一，对棱互相垂直.12若直线与曲线在第一象限无交点，则正整数的最大值是ABCD【答案】C【解析】函数图像无交点转化为函数和x轴无交点，对函数求导得到函数的单调性和图像的变化趋势，进而得到结果.【详解】直线与曲线在第一象限无交点,即函数和x轴无交点，是增函数，导函数存在一个零点为，函数在，使得函数和轴没有交点只需要
11、依次代入k=1,2,3,均满足不等式，k=4不再满足不等式，因为对数的变化非常快，故从4之后也没有满足题意的值.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了函数图像的交点问题，它和函数的零点问题是等价的，将图像的交点转化为函数的零点；通过导数研究函数的单调性和极值，进而得到函数的大致变化趋势，得到结果.二、填空题13命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是_【答案】在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面【解析】根据逆否命题的写法得到结果即可.【详解】逆否命题是既否条件又否结论，在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.故答案为：在空间中，若四点中存在三点共线，则
12、这四点共面.【点睛】这个题目考查了逆否命题的写法，题目较为简单.14甲、乙、丙、丁、戊名学生进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，人的名次排列可能有_种不同的情况（用数字作答）【答案】【解析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果【详解】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A33种排法故共
13、有33A33=54种不同的情况故答案为：54【点睛】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑15已知、是锐角内角、的对边，是的面积，若，则_【答案】【解析】根据三角形的面积公式得到角C的正弦值，进而得到角C的值，再由余弦定理得到边c的值.【详解】根据三角形面积公式得到，因为三角形为锐角三角形，故得到角C为，再由余弦定理得到 故答案为：7.【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方
14、便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16在直角坐标系中，记表示的平面区域为，在中任取一点，的概率_【答案】【解析】根据不等式组画出可行域，再由几何概率的计算公式得到结果.【详解】根据不等式组得到可行域为：图中染色部分，满足的是黑色部分，在中任取一点，的概率黑色部分的面积除以总的染色面积， 故答案为：.【点睛】这个题目考查了简单的线性规划的可行域的画法，以及几何概型的面积型的计算.在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、
15、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在的区域（事实也是角）任一位置是等可能的三、解答题17已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1） ；（2） .【解析】（1）弦化切求得方程的根可得到数列的通项；（2）通过第一问得到数列是周期为4的数列，通过观察列举得到和的规律，进而得到结果.【详解】（1） ,解得， ,依题意，.（2）是周期的数列 ,， ,， ,从而，所以是周期为4的数列,（）.【点睛】这个题目考查了数列的通项公示的求法以及
16、数列的和的求法；采用的是观察法，得到数列的周期，进而得到数列的和.18如左图，平面五边形中，将沿折起，得到如右图的四棱锥（1）证明：；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】(1)通过图中的集合关系得到，进而得到线线垂直；（2）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量得到线面角.【详解】（1）取的中点，连接、。由已知，左图是正方形，因为正方形的对角线互相垂直平分，所以（即）、,因为，所以 ,，所以 ,（2）由（1）和平面平面知，平面 ,从而、两两互相垂直，以为原点，以、为单位正交基底建立空间直角坐标系 ,则、 ,设是平面的一个法向量，则 ,取
17、，则，故 , ,直线与平面所成角的正弦值为 .【点睛】求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。19已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，椭圆的离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）、是椭圆上另外两点，若的重心是坐标原点，试证明的面积为定值（参考公式：若坐标原点是的重心，则）【答案】（1） ；（2）证明见解析.【解析】(1)根据题意得到，得，进而得到方程；（2）设出直线AB的方程，联立直线和椭圆方程，求得弦长AB，再由点到直线的距离得到，根据点P在曲线上得到参数k和m
18、的等量关系，得证.【详解】（1）依题意，由得， ，椭圆的标准方程为 .（2）最多只有1条边所在直线与轴垂直，不妨设所在直线与轴不垂直，其方程为（因为的重心是，所以不在直线上，）由得， ,设、，则，且， 从而 ,设，由得， , ,点在椭圆上，所以即，且符合 .点到直线的距离 ,的面积 ,由即得，为常数 .【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应
19、注意不要忽视判别式的作用20甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪元，每单提成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分每单提成元，大于单的部分每单提成元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表 乙公司送餐员送餐单数频数表（1）若将大于单的工作日称为“繁忙日”，根据以上频数表能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“繁忙日”与公司有关？（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘，你会推荐小
20、王去哪家？为什么？参考公式和数据：【答案】（1）能 ；（2） ；从更高收入角度考虑推荐小王去乙公司应聘；因为乙公司比甲公司繁忙，故从工作闲适角度考虑推荐小王去甲公司应聘【解析】(1)根据题干写出列联表，再由公式得到卡方值，进而得到结果；（2）先由送餐单数得到不同的日工资，再根据题干中的表格的频数得到相应的频率，进而列出分布列；从日工资的均值考虑，做出抉择即可.【详解】（1）依题意得，公司与“繁忙日”列联表 ,，所以，能在犯错误的概率不超过的前提下认为“繁忙日”与公司有关 .（2）设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，当时，当时，当时，当时， .所以，的所有可能取值为、，的分布列为： .依题意，甲公
21、司送餐员日平均送餐单数为 ,所以甲公司送餐员日平均工资为（元）,因为，故从更高收入角度考虑推荐小王去乙公司应聘；因为乙公司比甲公司繁忙，故从工作闲适角度考虑推荐小王去甲公司应聘【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如
22、果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.21设函数，是自然对数的底数，是常数（1）若，求的单调递增区间；（2）讨论曲线与公共点的个数【答案】（1）的单调递增区间为（或）；（2）或时，两曲线无公共点；或时，两曲线有一个公共点；时，两曲线有两个公共点 .【解析】（1）将参数值代入表达式，对函数求导得到函数的单调性进而得到函数的增区间；（2）曲线与公共点的个数即函数零点的个数，对函数求导分情况讨论即可.【详解】（1） ,当时，当时，当时，,的单调递增区间为（或）.（2）曲线与公共点的个数即函数零点的个数，. （I）时，有一个零点 .(II)时，由解得，
23、当时，；当时，在取最小值 ,时，有一个零点.时，无零点 .时，由知，在有一个零点，即在有一个零点；由指数函数与幂函数单调性比较知，当且充分大时，所以在有一个零点，即在有一个零点从而有两个零点 .（III）时，单调递减，所以在有一个零点，从而在定义域内有一个零点 .（IIII）时，无零点 .（IIIII）时，由解得，当时，；当时，在取最小值因为，无零点综上所述，或时，两曲线无公共点；或时，两曲线有一个公共点；时，两曲线有两个公共点 .【点睛】有关函数零点(方程根)的问题，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数
24、法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题22在直角坐标系中，曲线：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）分别求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）是曲线和的一个交点，过点作曲线的切线交曲线于另一点，求【答案】（1），；（2） .【解析】（1）由、得曲线的直角坐标方程，由得，曲线的普通方程；（2）联立两圆的方程得到P点坐标，则，进
25、而得到直线PQ的直线方程，结合垂径定理得到结果.【详解】（1）由得，曲线的普通方程为 , 由、得，曲线的直角坐标方程为 .（2）解得， ,根据圆的对称性，不妨设，则， ,直线的方程为，即 ,圆心到直线的距离 ,所以， .【点睛】这个题目考查了参数方程和极坐标方程化为普通方程的化法，也涉及圆的知识的应用，关于圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。23已知函数，是常数（1）解关于的不等式；（2）若曲线与无公共点，求的取值范围【答案】（1）；（2） .【解析】（1）原式等价于，由绝对值的几何意义得到解集；（2）依题意，无零点，去掉绝对值得到该函数的最小值为4进而得到结果.【详解】（1）依题意， ,由得， ,，解得， ,解得，或 ,不等式的解集为 .（2）依题意，无零点 ,的最小值为4，所以，的取值范围是 .【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的解法，一般可以采用零点分区间去掉绝对值的方法来解，也可以采用绝对值的几何意义来解.
