1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（卷）文科数学试题一、选择题：3 i z ，则 z =1设1 2iA 2 B 3 C 2 D 12已知集合 U 1,2,3,4,5,6,7 ，A 2,3,4,5 ，B 2,3,6,7 ，则A 1,6 B 1,7 C 6,7 D 1,6,73已知0.2 0.3a log 0.2, b 2 ,c 0.2 ，则2A a b c B a c b C c a b D b c a4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 12（ 5 120.618，称为黄金分割比例 )，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽
2、喉至肚脐的长度之比也是 5 12若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是A 165 cm B175 cm C185 cm D 190 cm5函数 f(x)=sincosx x2x x在- ， 的图像大致为A BC D6某学校为了解1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2， ， 1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面4 名学生中被抽到的是A 8 号学生 B200 号学生 C616 号学生 D 815 号学生7tan255 =A - 2- 3 B- 2
3、+ 3 C2- 3 D 2+ 3第 1 页8已知非零向量 a，b 满足 a = 2 b ，且（a- b） b，则 a 与 b 的夹角为A6B3C23D569如图是求212112的程序框图，图中空白框中应填入AA=12 ABA=21ACA=11 2ADA=112A10双曲线 C：2 2x y 2 2 1(a 0,b 0)a b的一条渐近线的倾斜角为 130，则 C 的离心率为A 2sin40 B2cos40 C1sin50D1cos5011ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA- bsinB=4 csin C，cosA=-14，则bc=A 6 B5 C4 D 31
4、2已知椭圆 C 的焦点为 F1( 1,0), F2(1,0) ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若| AF2 | 2| F2B |，| AB | | BF1 |，则 C 的方程为A 2x22 1y B2 2x y3 21C2 2x y4 31D2 2x y5 41二、填空题：13曲线2 ) xy 3(x x e 在点 (0,0) 处的切线方程为 _314记 Sn为等比数列 an的前 n 项和.若 1 3a 1，S ，则 S4=_415函数3f (x) sin(2 x ) 3cos x 的最小值为 _216已知 ACB= 90 ，P 为平面 ABC 外一点， PC=2，点 P 到AC
5、B 两边 AC，BC 的距离均为 3 ，那么 P 到平面ABC 的距离为 _第 2 页三、解答题：17（ 12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意男顾客 40 10女顾客 30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K22 n( ad bc)(a b)( c d )(a c)( b d)P（K 2 k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82818（ 12 分）记Sn为
6、等差数列 an 的前 n 项和，已知S9=- a5（1）若 a3=4，求 an 的通项公式；（2）若 a10，求使得 Sn an 的 n 的取值范围19（12 分）如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1 的底面是菱形， AA1=4，AB=2，BAD =60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 .（1）证明： MN平面 C1DE；（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离第 3 页20（ 12 分）已知函数 f（x） =2sinx- xcosx- x，f （x）为 f（ x）的导数（1）证明： f （x）在区间（ 0， ）存在唯一零点；（2）若 x 0，时 ， f（ x） ax，求
7、 a 的取值范围0.3 （12 分）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称， AB=4， M 过点 A，B 且与直线x+2=0 相切（1）若 A 在直线x+ y=0 上，求 M 的半径；（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时， MA- MP为定值？并说明理由22选修4- 4：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为22 1 t1 t 4tx， t O x（ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为y21t极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的
8、最小值23选修4- 5：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足abc=1证明：（1）1 1 1a b c2 2 2a b c；（2）3 3 3(a b) (b c) (c a) 24 第 4 页2019年全国高考卷文科数学 参考答案一、选择题1C 2C 3B 4B 5D 6C7D 8B 9A 10 D 11 A 12B二、填空题13y=3x 145815- 4 16 2三、解答题17解：（ 1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为40500.4，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.8女顾客中对该商场服务满意的比率为30500.6，因此女顾客对该商场服务满意的
9、概率的估计值为 0.6（2）22 100 (40 20 30 10)K 4.762 50 50 70 30由于 4.762 3.841，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18解：（ 1）设an 的公差为 d 由 S9 a5 得 a1 4d 0 由a3=4得 a1 2d 4 于是 a1 8,d 2 因此a 的通项公式为 an 10 2nn（2）由（ 1）得a1 4d ，故n(n 9)da (n 5)d,S .n n2由a1 0 知 d 0，故 Sn an 等价于2 11 10 0n n , ，解得 1n 10所以 n的取值范围是 n |1剟n 10, n N 119解 ：
10、（ 1）连结B1C,ME .因为 M，E分别为 BB1, BC 的中点， 所以 ME B1C ，且 ME B1C .又因为 N为 A1D 21的中点，所以ND A D .12AB DC ，可得BC AD ，故 ME= ND由题设知，因此四边形MNDE 为平行四边形， MNED .1 1= 1 = 1又 MN 平面 C1DE ，所以 MN 平面 C1DE .（2）过C作C1E的垂线，垂足为 H.由已知可得 DE BC ，DE C C ，所以 DE平面 C1CE ，故 DECH.1第 5 页从而 CH平面C DE ，故 CH的长即为 C到平面 C1DE 的距离，1由已知可得 CE =1， C1C=
11、4，所以C1E 17 ，故4 17CH .17从而点 C到平面C DE 的距离为14 1717.20解：（ 1）设g(x) f (x) ，则g(x) cos x x sin x 1,g ( x) x cos x .当x (0, ) 时， g (x) 0；当2x 时， g (x) 0，所以 g(x) 在, 2 (0, ) 2单调递增， 在,2单调递减.又g g g ，故 g( x) 在 (0, ) 存在唯一零点 .(0) 0, 0, () 22所以 f (x) 在 (0, ) 存在唯一零点 .（2）由题设知 f () a, f () 0 ，可得 a 0.由（ 1）知， f (x) 在 (0, )
12、 只有一个零点，设为 x ，且当0x 0,x 时， f (x) 0；当 x x0 ,时， f (x) 0，0所以 f (x) 在0,x 单调递增，在 x0,单调递减.0又 f (0) 0, f () 0，所以，当 x 0, 时， f ( x) 0 .又当 a, 0,x 0, 时， ax 0，故 f ( x) ax .因此， a的取值范围是( ,0 .21解：（ 1）因为 M 过点 A,B ，所以圆心M 在 AB 的垂直平分线上 .由已知 A 在直线 x +y=0 上，且 A,B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 y x上，故可设M (a, a) .因为 M 与直线 x+2=0相切，所以
13、 M 的半径为 r | a 2| .由已知得 |AO |=2 ，又 MO AO，故可得2 22a 4 (a 2) ，解得 a=0或 a=4.故 M 的半径 r =2 或 r =6.（2）存在定点 P (1,0) ，使得 | MA | |MP |为定值 .第 6 页理由如下：设M (x, y) ，由已知得 M 的半径为 r =| x+2|,|AO|=2 .由于 MO AO，故可得2 2 4 ( 2)2x y x ，化简得 M的轨迹方程为2 4y x .因为曲线2C : y 4x 是以点 P(1,0) 为焦点，以直线 x 1为准线的抛物线，所以 |MP |=x +1.因为 |MA| |MP |=r
14、 |MP |=x+2 (x+1)=1 ，所以存在满足条件的定点 P.22 解 ：（ 1 ） 因 为21 t1 121 t， 且2x22 2 2y 1 t 4t2 22 1 t 1 t21， 所 以 C 的 直 角 坐 标 方 程 为2y2 1( 1) x x .4l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 .（2）由（ 1）可设 C的参数方程为xycos ,2sin（ 为参数， ）.C上的点到 l 的距离为4cos 11| 2cos 2 3 sin 11| 37 7.当2时，34cos 11 3取得最小值 7，故C上的点到 l 距离的最小值为 7 .23解：（1）因为2 2 2 , 2 2 2 , 2 2 2a b ab b c bc c a ac ，又 abc 1，故有2 2 2 ab bc ca 1 1 1a b c ab bc caabc a b c.所以1 1 1a b c2 2 2a b c.（2）因为 a, b, c 为正数且 abc 1，故有3 3 3 3 3 3 3(a b) (b c) (c a) 3 (a b) (b c) (a c)=3( a +b)( b+c)(a +c)3 (2 ab ) (2 bc) (2 ac)=24.所以3 3 3(a b) (b c) (c a) 24 .第 7 页
