1、线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共28分)一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出四个选项中只有一个是符合题目要求，请将其代码填在题后括号内。错选或未选均无分。1.设行列式=m，=n，则行列式等于（ ） A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.设矩阵A=，则A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.设矩阵A=，A*是A伴随矩阵，则A *中位于（1，2）元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0B. BC时A=0 C. A0时B=CD. |A|0时B=C5.已知
2、34矩阵A行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D. 46.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，则（ ） A.有不全为0数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全为0数1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全为0数1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全为0数1，2，s和不全为0数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为
3、08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，则下列结论错误是（ ） A.1+2是Ax=0一个解B.1+2是Ax=b一个解 C.1-2是Ax=0一个解D.21-2是Ax=b一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3)阶方阵，下列陈述中正确是（ ） A.如存在数和向量使A=，则是A属于特征值特征向量 B.如存在数和非零向量，使(E-A)=0，则是A特征值 C.A2个不同特征值可以有同一个特征向量 D.如1，2，3是A3个互不相同特征值，1，2，3依次是A属于1，2，3特征向量，则1，2，
4、3有可能线性相关11.设0是矩阵A特征方程3重根，A属于0线性无关特征向量个数为k，则必有（ ） A. k3B. k312.设A是正交矩阵，则下列结论错误是（ ） A.|A|2必为1B.|A|必为1 C.A-1=ATD.A行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同特征值 D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵为（ ） A.B. C.D.第二部分 非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确答案写在每小题空格内。错填或不填均无分。15. .
5、16.设A=，B=.则A+2B= .17.设A=(aij)33，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .19.设A是34矩阵，其秩为3，若1，2为非齐次线性方程组Ax=b2个不同解，则它通解为 .20.设A是mn矩阵，A秩为r(n)，则齐次线性方程组Ax=0一个基础解系中含有解个数为 .21.设向量、长度依次为2和3，则向量+与-内积（+，-）
6、= .22.设3阶矩阵A行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .23.设矩阵A=，已知=是它一个特征向量，则所对应特征值为 .24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.设A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.26.试计算行列式.27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组1=，2=，3=，4=.试判断4是否为1，2，3线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵A=.求：（1）秩（A）；（2）A列向量组一个最大线性无关组30.设矩阵
7、A=全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=，并写出所用满秩线性变换。四、证明题32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.设0是非齐次线性方程组Ax=b一个特解，1，2是其导出组Ax=0一个基础解系.试证明（1）1=0+1，2=0+2均是Ax=b解； （2）0，1，2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10空，每空
8、2分，共20分）15. 616. 17. 418. 1019. 1+c(2-1)（或2+c(2-1)），c为任意常数20. n-r21. 522. 223. 124. 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.解（1）ABT=.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64（-2）=-12826.解 =27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以 B=(A-2E)-1A=28.解一 所以4=21+2+3，组合系数为（2，1，1）.解二 考虑4=x11+x22+x33，即 方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.2
9、9.解 对矩阵A施行初等行变换A=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B列向量组有相同线性关系，而B是阶梯形，B第1、2、4列是B列向量组一个最大线性无关组，故A第1、2、4列是A列向量组一个最大线性无关组。（A第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A属于特征值=12个线性无关特征向量为1=（2，-1，0）T， 2=（2，0，1）T.经正交标准化，得1=，2=.=-8一个特征向量为3=，经单位化得3=所求正交矩阵为 T=.对角矩阵 D=（也可取T=.）31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32
10、=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设， 即，因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)标准形 y12-2y22-5y32 .四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2 .33.证 由假设A0=b，A1=0，A2=0.（1）A1=A（0+1）=A0+A1=b，同理A2= b，所以1，2是Ax=b2个解。（2）考虑l00+l11+l22=0，即 （l0+l1+l2）0+l11+l22=0.则l0+l1+l2=0，否则0将是Ax=0解，矛盾。所以l11+l22=0. 又由假设，1，2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 .所以0，1，2线性无关。
