1、模拟训练1（理科）第I卷（选择题）评卷人得分一、选择题（题型注释）1设集合，则等于（ ）A. B. C. D.2复数（ ）A. B. C. D.3如图所示，该程序运行后输出的结果为（ ）A. B. C. D.4函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A. B. C. D.5已知，则与的夹角为（ ）A. B. C. D.6数列的首项为，为等差数列且.若，则（ ）A. B. C. D.7如图所示，直线垂直于所在的平面，内接于，且为的直径，点为线段的中点.现有结论：；平面；点到平面的距离等于线段的长.其中正确的是（ ）A. B. C. D.8已知、是圆上的两个点，是线段上的动点，当的面积最大时，
2、则的最大值是（ ）A. B. C. D.第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题9某社区有个家庭，其中高收入家庭户，中等收入家庭户，低收入家庭户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 .10一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为_.11曲线在点处的切线方程为_.12下列命题中所有真命题的序号是_.“”是“”的充分条件；“”是“”的必要条件；“”是“”的充要条件.13在中，则的值为_.14已知数列的前项和为，且，则_.评卷人得分三、解答题15设，其中，曲线在点
3、处的切线垂直于轴.（1）求的值；（2）求函数的极值.16如图，在三棱锥中，平面，为侧棱上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示.（1）证明：平面；（2）在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长.17已知向量，函数.将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，把所得到的图象再向左平移个单位，得到函数的图象.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值.18在三棱锥中，侧棱长均为，底边，、分别为、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求二面角的平面角.19已知数列，为数列的前项和，为数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）求证：.20已知函数，.（1
4、）若，是否存在、，使为偶函数，如果存在，请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；（2）若，求在上的单调区间；（3）已知，对，有成立，求的取值范围.参考答案1D【解析】试题分析：，所以，故，选D.考点：集合的基本运算2A【解析】试题分析：，选A.考点：复数的乘法运算3A【解析】试题分析：第一次循环，不成立；第二次循环，不成立；第三次循环，不成立；第七次循环，成立，跳出循环体，输出，故选A.考点：算法与程序框图4A【解析】试题分析：由题意知，函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为，故选A.考点：1.分段函数；2.定积分5C【解析】试题分析：，平方得，所以，选C.考点：平面向量的数量积6B【解
5、析】试题分析：设等差数列的公差为，则，所以，选B.考点：累加法求数列通项7B【解析】试题分析：对于结论，由于是以为直径的圆上一点，所以，因为平面，于是可以得到，结合直线与平面垂直的判定定理可以得到平面，因此，所以结论正确；对于结论，由于、分别为、的中点，由中位线原理可知，利用直线与平面平行的判定定理可以得到平面，所以结论正确；对于结论，由结论知，平面，所以结论正确，故选B.考点：1.直线与平面垂直；2.直线与平面平行8C【解析】试题分析：，故当时，的面积取最大值，故为等腰三角形，且，由于点在线段上，则存在，使得，故当时，取最大值.考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的线性表示；3.二次函数
6、的最值9.【解析】试题分析：设在中等收入家庭应抽取的户数为，则.考点：分层抽样10.【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是一个球体中切去部分所形成的几何体，该几何体的表面由两个球的大圆的一半和原来球的表面的组成，故该几何体的表面积.考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积11或.【解析】试题分析：，所以，当时，故曲线在点处的切线方程为，即或.考点：1.复合函数的导数；2.利用导数求函数的切线方程12【解析】试题分析：对于命题，取，则，且，则“”不是“”的充分条件；对于命题，由，可得，故有，故“”是“”的必要条件，命题正确；对于命题，在不等式两边同时加上得，另一方面，在不等式两边同时减去得，故
7、“”是“”的充要条件，命题正确，故真命题的序号是.考点：1.不等式的性质；2.充分必要条件13.【解析】试题分析：由余弦定理得，即，整理得，由于，解得，由正弦定理得.考点：1.余弦定理；2.正弦定理14.【解析】试题分析：由题意知，所以，下式减上式得.考点：错位相减求和15（1）；（2）在处取得极大值.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，将题中的条件“曲线在点处的切线垂直于轴”转化得到，从而求出参数的值；（2）在（1）的基础上求出函数的解析式，利用导数求出函数的极值即可.试题解析：（1）， ，由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即， ； （2）由（1）知，令，故在上为增函数；令，
8、故在上为减函数；故在处取得极大值.考点：1.导数的几何意义；2.函数的极值16（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）先利用三视图将几何体进行还原，证明平面，要证明垂直于平面内的两条相交直线，由正视图可以知道为等腰三角形，且为底边的中点，利用三线合一可以得到，再利用，结合直线与平面垂直的判定定理证明平面，于是得到，最终利用直线与平面垂直的判定定理得到平面；（2）注意到点为的中点，因此可以以、为邻边构造平行四边形，连接交于点，利用中位线证明，再结合直线与平面平行的判定定理可以得到平面，最终利用勾股定理求的长度.试题解析：（1）因为平面，所以，又，所以平面，所以由三视图得，在中，为
9、中点，所以，平面；（2）取的中点，连接并延长至，使得，点即为所求 因为为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，连接、，四边形的对角线互相平分，所以为平行四边形，所以，又平面，所以在直角中， 考点：1.直线与平面垂直；2直线与平面平行；3.勾股定理17（1）函数的单调递增区间为；（2）.【解析】试题分析：（1）先利用平面向量数量积的运算求出函数的解析式，结合辅助角公式将函数的解析式化简为，在，的前提下，解不等式得到函数的单调递增区间；（2）先利用得到的值，然后利用函数图象变换求出函数的解析式，并利用二倍角公式求出的值.试题解析：（1），解得：，所以的单调递增区间为；（2），由（1）得，将函数的
10、图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，得： ，再向左平移个单位，得.考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的单调区间；3.三角函数图象变换；4.二倍角公式18（1）三棱锥的体积为；（2）二面角的平面角的大小为.【解析】试题分析：（1）由于三棱锥的侧棱长都相等，可以得到点在平面内的射影点为的外心，而由于的三条底边满足勾股定理，可知为直角三角形的斜边，从而可以知道的中点即为直角三角形的外心，然后利用勾股定理求出，并且计算出直角三角形的面积，最后利用锥体的体积公式计算此三棱锥的体积；（2）解法一是在（1）中的基础上，利用平面，得到平面平面，然后在平面内作于点，利用平面与平面垂直的性质定
11、理得到平面，从而得到，再从点在平面内作于点，并连接，利用三垂线法得到为二面角的平面角，最后在直角三角形中计算的大小；解法二是以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的平面角的大小.试题解析：（1）取的中点，连接， 易得：， ,.又 平面，（2）法一：作，于点，连接 平面,平面,又 平面.， 又 平面，为二面角的平面角.,由（）知，.，,， 法二：以为原点，以为轴建系，则， 设为平面的法向量，则有，又为平面的法向量，,二面角的平面角为. 考点：1.三棱锥的体积；2.三垂线法求二面角；3.利用空间向量法求二面角19（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）解法一是根
12、据数列递推式的结构选择累加法求数列的通项公式；解法二是在数列的递推式两边同时除以，然后利用待定系数法求数列的通项公式，进而求出数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，然后根据数列的通项结构，选择裂项相消法求数列的前项和；（3）对数列中的项利用放缩法，然后利用累加法即可证明所要证的不等式.试题解析：（1）法一：，法二： （2）（3）证明：，.考点：1.累加法求数列的通项公式；2.待定系数法求数列的通项公式；3.裂项相消法求数列的和；4.利用放缩法证明数列不等式20（1）存在，如，；（2）函数的增区间为，减区间为； （3）实数的取值范围是.【解析】试题分析：（1）直接举例并利用定义进行验证即可；（2）将，代入函数的解析式，去绝对值符号，将函数的解析式利用分段函数的形式表示出来，然后利用导数求出函数在相应区间上的单调区间；（3）先将绝对值符号去掉，得到，并根据题中的意思将问题转化为，然后利用导数进行求解，从而求出参数的取值范围.试题解析：（1）存在使为偶函数，证明如下：此时：， ，为偶函数，（注：也可以（2），当时，在上为增函数，当时，令则，当时，在上为减函数，当时，在上为增函数，综上所述：的增区间为，减区间为； （3），成立。即：当时，为增函数或常数函数， 综上所述：.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调区间；3.全称命题与特称命题
