1、三角函数与解三角形高考试题精选一解答题（共31小题）1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+（）证明：a+b=2c；（）求cosC的最小值2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知asinA=4bsinB，ac=（a2b2c2）（）求cosA的值；（）求sin（2BA）的值3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c（）求C；（）若c=，ABC的面积为，求ABC的周长4在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知cosA=，sinB=C（1）求tanC的值；（2）若a=，求ABC的面
2、积5在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=（）证明：sinAsinB=sinC；（）若b2+c2a2=bc，求tanB6在ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60（1）求BC的长；（2）求sin2C的值7在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc=2，cosA=（）求a和sinC的值；（）求cos（2A+）的值8ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a=，b=2，求ABC的面积9设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，ABC的面积为，求co
3、sA与a的值10如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE=1，EC=，EA=2，ADC=，BEC=（）求sinCED的值；（）求BE的长11在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB（）证明：A=2B；（）若ABC的面积S=，求角A的大小12在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2a2=c2（1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为3，求b的值13在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8（）若a=2，b=，求cosC的值；（）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且ABC的面积S=sinC
4、，求a和b的值14ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c（）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值15ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c（）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值16四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2（1）求cosB；（2）若a+c=6，
5、ABC的面积为2，求b18在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值19设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角（）证明：BA=；（）求sinA+sinC的取值范围20ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值21设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA（）证明：sinB=cosA；（）若sinCsinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C22ABC中，D是BC上的点，AD平分BA
6、C，ABD面积是ADC面积的2倍（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长23已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC（）若a=b，求cosB；（）设B=90，且a=，求ABC的面积24ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD=2DC（） 求（） 若BAC=60，求B25在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac=b，sinB=sinC，（）求cosA的值；（）求cos（2A）的值26ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积27在ABC中，角A，B，C的
7、对边分别是a，b，c（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值28在ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC（1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值29在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值30在ABC中，a=3，b=2，B=2A（）求cosA的值；（）求c的值三角函数与解三角形高考试题精选参考答案与试题解析一解答题（共31小题）1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
8、b，c，已知2（tanA+tanB）=+（）证明：a+b=2c；（）求cosC的最小值【解答】解：（）证明：由得：；两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；，带入（1）得：；a+b=2c；（）a+b=2c；（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；a2+b2=4c22ab，且4c24ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b0；由余弦定理，=；cosC的最小值为2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知asinA=4bsinB，ac=（a
9、2b2c2）（）求cosA的值；（）求sin（2BA）的值【解答】（）解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，a=2b由，得，由余弦定理，得；（）解：由（），可得，代入asinA=4bsinB，得由（）知，A为钝角，则B为锐角，于是，故3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c（）求C；（）若c=，ABC的面积为，求ABC的周长【解答】解：（）在ABC中，0C，sinC0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin
10、（A+B）=sinC，即2cosCsin（A+B）=sinC2cosCsinC=sinCcosC=，C=；（）由余弦定理得7=a2+b22ab，（a+b）23ab=7，S=absinC=ab=，ab=6，（a+b）218=7，a+b=5，ABC的周长为5+4在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知cosA=，sinB=C（1）求tanC的值；（2）若a=，求ABC的面积【解答】解：（1）A为三角形的内角，cosA=，sinA=，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=
11、得：cosC=，sinC=，sinB=cosC=，a=，由正弦定理=得：c=，则SABC=acsinB=5在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=（）证明：sinAsinB=sinC；（）若b2+c2a2=bc，求tanB【解答】（）证明：在ABC中，+=，由正弦定理得：，=，sin（A+B）=sinC整理可得：sinAsinB=sinC，（）解：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得cosA=sinA=，=+=1，=，tanB=46在ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60（1）求BC的长；（2）求sin2C的值【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC22ABA
12、CcosA=4+9223=7，所以BC=（2）由正弦定理可得：，则sinC=，ABBC，BC=，AB=2，角A=60，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，2，角C角A，角C为锐角sinC0，cosC0则cosC=因此sin2C=2sinCcosC=2=7在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc=2，cosA=（）求a和sinC的值；（）求cos（2A+）的值【解答】解：（）在三角形ABC中，由cosA=，可得sinA=，ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又bc=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c22bccosA，可得a=8，解得sinC
13、=；（）cos（2A+）=cos2Acossin2Asin=8ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a=，b=2，求ABC的面积【解答】解：（）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB=0，由正弦定理可知：sinAsinBsinBcosA=0，因为sinB0，所以tanA=，可得A=；（）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，可得7=4+c22c，解得c=3，ABC的面积为：=9设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，ABC的面积为，求cosA与
14、a的值【解答】解：b=3，c=1，ABC的面积为，=，sinA=，又sin2A+cos2A=1cosA=，由余弦定理可得a=2或210如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE=1，EC=，EA=2，ADC=，BEC=（）求sinCED的值；（）求BE的长【解答】解：（）设=CED，在CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED22CDDEcosCDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD6=0，解得CD=2或CD=3，（舍去），在CDE中，由正弦定理得，则sin=，即sinCED=（）由题设知0，由（）知cos=，而AEB=，cosAEB=cos（）=coscos+sinsin=，在RtE
15、AB中，cosAEB=，故BE=11在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB（）证明：A=2B；（）若ABC的面积S=，求角A的大小【解答】（）证明：b+c=2acosB，sinB+sinC=2sinAcosB，sinB+sin（A+B）=2sinAcosBsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosBsinB=sinAcosBcosAsinB=sin（AB）A，B是三角形中的角，B=AB，A=2B；（）解：ABC的面积S=，bcsinA=，2bcsinA=a2，2sinBsinC=sinA=sin2B，sinC=cosB，B+C=90，或
16、C=B+90，A=90或A=4512在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2a2=c2（1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为3，求b的值【解答】解：（1）A=，由余弦定理可得：，b2a2=bcc2，又b2a2=c2bcc2=c2b=c可得，a2=b2=，即a=cosC=C（0，），sinC=tanC=2或由A=，b2a2=c2可得：sin2Bsin2A=sin2C，sin2B=sin2C，cos2B=sin2C，sin=sin2C，sin=sin2C，sin2C=sin2C，tanC=2（2）=3，解得c=2=313在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b
17、、c，且a+b+c=8（）若a=2，b=，求cosC的值；（）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且ABC的面积S=sinC，求a和b的值【解答】解：（）a=2，b=，且a+b+c=8，c=8（a+b）=，由余弦定理得：cosC=；（）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA+sinB=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，a+b+c=8，a+b=6，S=absinC=sinC，a
18、b=9，联立解得：a=b=314ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c（）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值【解答】解：（）a，b，c成等差数列，2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，sinB=sin（A+C）=sin（A+C），sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（）a，b，c成等比数列，b2=ac，cosB=，当且仅当a=c时等号成立，cosB的最小值为15ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c（）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=
19、2sin（A+C）；（）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值【解答】解：（）a，b，c成等差数列，a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，sinB=sin（A+C）=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（）a，b，c成等比数列，b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，由余弦定理得：cosB=16四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积【解答】解：（1）在BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD22BCCDcosC=1312cos
20、C，在ABD中，AB=1，DA=2，A+C=，由余弦定理得：BD2=AB2+AD22ABADcosA=54cosA=5+4cosC，由得：cosC=，则C=60，BD=；（2）cosC=，cosA=，sinC=sinA=，则S=ABDAsinA+BCCDsinC=12+32=217ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2（1）求cosB；（2）若a+c=6，ABC的面积为2，求b【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，sinB=4（1cosB），sin2B+cos2B=1，16（1cosB）2+cos2B=1，16（1cosB）2+cos2B1=0
21、，16（cosB1）2+（cosB1）（cosB+1）=0，（17cosB15）（cosB1）=0，cosB=；（2）由（1）可知sinB=，SABC=acsinB=2，ac=，b2=a2+c22accosB=a2+c22=a2+c215=（a+c）22ac15=361715=4，b=218在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值【解答】（1）证明：b+c=2acosB，sinB+sinC=2sinAcosB，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinB=sinAcosBco
22、sAsinB=sin（AB），由A，B（0，），0AB，B=AB，或B=（AB），化为A=2B，或A=（舍去）A=2B（II）解：cosB=，sinB=cosA=cos2B=2cos2B1=，sinA=cosC=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB=+=19设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角（）证明：BA=；（）求sinA+sinC的取值范围【解答】解：（）由a=btanA和正弦定理可得=，sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，+A（，），B=+A，BA=；（）由（）知C=（A+B）=（A+A）=2A0，A（0，），s
23、inA+sinC=sinA+sin（2A）=sinA+cos2A=sinA+12sin2A=2（sinA）2+，A（0，），0sinA，由二次函数可知2（sinA）2+sinA+sinC的取值范围为（，20ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值【解答】解：因为ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=，结合平方关系sin2A+cos2A=1，由解得27sin2A6sinA16=0，解得sinA=
24、或者sinA=（舍去）；由正弦定理，由可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=121设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA（）证明：sinB=cosA；（）若sinCsinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C【解答】解：（）证明：a=btanA=tanA，由正弦定理：，又tanA=，=，sinA0，sinB=cosA得证（）sinC=sin（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinCsinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，sin2B=，0B，sinB=，B为钝角，B=，又c
25、osA=sinB=，A=，C=AB=，综上，A=C=，B=22ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长【解答】解：（1）如图，过A作AEBC于E，=2BD=2DC，AD平分BACBAD=DAC在ABD中，=，sinB=在ADC中，=，sinC=；=6分（2）由（1）知，BD=2DC=2=过D作DMAB于M，作DNAC于N，AD平分BAC，DM=DN，=2，AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，BAD=DAC，cosBAD=cosDAC，由余弦定理可得：=，x=1，AC=1，BD的长为，AC的长为123已知a，b
26、，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC（）若a=b，求cosB；（）设B=90，且a=，求ABC的面积【解答】解：（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：0，代入可得（bk）2=2akck，b2=2ac，a=b，a=2c，由余弦定理可得：cosB=（II）由（I）可得：b2=2ac，B=90，且a=，a2+c2=b2=2ac，解得a=c=SABC=124ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD=2DC（） 求（） 若BAC=60，求B【解答】解：（）如图，由正弦定理得：，AD平分BAC，BD=2DC，；（）C=180（BAC+B），BAC=60
27、，由（）知2sinB=sinC，tanB=，即B=3025在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac=b，sinB=sinC，（）求cosA的值；（）求cos（2A）的值【解答】解：（）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入ac=b，得：ac=c，即a=2c，cosA=；（）cosA=，A为三角形内角，sinA=，cos2A=2cos2A1=，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A）=cos2Acos+sin2Asin=+=26ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积【解答】解：（
28、）cosA=，sinA=，B=A+sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，b=sinB=3（）sinB=，B=A+cosB=，sinC=sin（AB）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=（）+=，S=absinC=33=27在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值【解答】解：（1）因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60（2）由及a2=b2+c22bccosA得a2=b2c2故ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=28在ABC中，角A，B，C的对边
29、是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC（1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值【解答】解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2b2；2abcosc=a2+b2c2；代入3acosA=ccosB+bcosC； 得cosA=；（2）cosA= sinA= cosB=cos（A+C）=cosAcosC+sinAsinC=cosC+sinC 又已知 cosB+cosC= 代入 cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得 sinC=已知 a=1正弦定理：c=29在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB
30、（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值【解答】解：（1）bsinA=acosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，sinA0，sinB=cosB，B（0，），可知：cosB0，否则矛盾tanB=，B=（2）sinC=2sinA，c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，9=a2+c2ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，30在ABC中，a=3，b=2，B=2A（）求cosA的值；（）求c的值【解答】解：（）由条件在ABC中，a=3，B=2A，利用正弦定理可得 ，即=解得cosA=（）由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA，即 9=+c222c，即 c28c+15=0解方程求得 c=5，或 c=3当c=3时，此时a=c=3，根据B=2A，可得 B=90，A=C=45，ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去当c=5时，求得cosB=，cosA=，cos2A=2cos2A1=cosB，B=2A，满足条件综上，c=5
