1、知识点过关培优训练：相交弦定理（圆）一选择题1如图，O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）APCCAPBBDBCEAEBEEDCCECDBEBADPBPDPCPA2如图，在O中，弦AC，BD交于点E，连结AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE，AC5，BE3，则BD的长为（）ABC5D3如图，O的弦AB、CD相交于点P，若AP6，BP8，CP4，则CD长为（）A16B24C12D不能确定4如图，正方形ABCD内接于O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q若QPQO，则的值为（）ABCD5如图，矩形ABCD为O的内接四边形，AB2，BC3，点E为
2、BC上一点，且BE1，延长AE交O于点F，则线段AF的长为（）A B5C +1D 6如图，O的弦AB、CD相交于点P，若AP3，BP4，CP2，则CD长为（）A6B12C8D不能确定7如图，O的直径AB与弦CD交于点，AE6，BE2，CD2，则AED的度数是（）A30B60C45D368如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PCOP，PC交O于C，且O的半径为3若AP4，PB1，则OP的长是（）A2B2CD9如图，AB为O的直径，AB10cm，弦CDAB，垂足为E，且AE：EB2：3，则AC（）A3cmB4cmC cmD cm10如图，O的直径AB8，弧AC弧BC，E为OB上一点，AE
3、C60，CE的延长线交O于D，则CD的长为（）A6B4CD11如图在一次游园活动中有个投篮游戏，活动开始时四个人A、B、C、D在距篮筐P都是5米处站好，篮球放在AC和BD的交点O处，已知取篮球时A要走6米，B要走3米，C要走2米，则D要走（）A2米B3米C4米D5米12如图，已知AB为O的直径，C为O上一点，CDAB于D，AD9，BD4，以C为圆心，CD为半径的圆与O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PEEQ的值是（）A24B9C6D27二填空题13如图，在O中，弦BC，DE交于点P，延长BD，EC交于点A，BC10，BP2CP，若，则DP的长为 14如图，O中两条弦AB、CD相交于点P，
4、已知PA3，PB4，PC2，那么PD长为 15如图，O的弦AB、CD相交于点E，若AE：DE3：5，则AC：BD 16如图，O中弦AB，CD相交于点P，已知AP3，BP2，CP1，则DP 17已知弦AB和弦CD相交于O内一点P，AP8，BP3，PDPC，则CD 18在O中，弦AB，CD相交于点E，AE2cm，BE6cm，DE3cm，则CE cm；学以致用：点P是直径为10的Q中一点且PQ2，过点P作弦HK，则线段PH与线段PK的积等于 19O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD6cm，则直径AB的长是 cm20如图，O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE2：3，则AE：DE
5、三解答题21如图，弦AB与CD相交于O内一点P，PCPD（1）试说明：PACPDB；（2）设PA4，PB3，CD8，求PC、PD的长22如图，在O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知ADBC，ADCB（1）求证：ABCD；（2）如果O的直径为10，DE1，求AE的长23如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M（1）求证：AMMBCMMD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM2，求AMMB的值24已知G是ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2GCGD25如图，（1）已知：P为半径为5的O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP （2）在（1）的条件下，
6、若O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PMPN与PAPB的大小关系，且写出比较过程你能用一句话归纳你的发现吗？（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD，求PC、PD的长26已知：如图所示，BC为圆O的直径，A、F是半圆上异于B、C的一点，D是BC上的一点，BF交AH于点E，A是弧BF的中点，AHBC（1）求证：AEBE；（2）如果BEEF32，AD6，求DE、BD的长27如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC1），连接BC，以BC
7、为边在第四象限内作等边CBD，直线DA交y轴于点E（1）试问OBC与ABD全等吗？并证明你的结论；（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设ACm，AFn，用含n的代数式表示m参考答案一选择题1解：PP，AD，PABPDC，PBPDPCPA，故选：D2解：ECACAE，由相交弦定理得，AEECDEBE，则DE，BDDE+BE，故选：B3解：APBPCPDP，PD，AP6，BP8，CP4，PD12，CDPC+PD12+416故选：A4解：如图，设O的半径为r，QOm，则QPm
8、，QCr+m，QArm在O中，根据相交弦定理，得QAQCQPQD即（rm）（r+m）mQD，所以QD连接DO，由勾股定理，得QD2DO2+QO2，即，解得所以，故选：D5解：四边形ABCD是矩形，B90，AE，BC3，BE1，CE2，由相交弦定理得：AEEFBECE，EF，AFAE+EF；故选：A6解：APBPCPDP，PD，AP3，BP4，CP2，PD6，CDPC+PD2+68故选：C7解：连接OD，过圆心O作OHCD于点HDHCHCD（垂径定理）；CD2，DH又AE6，BE2，AB8，OAOD4（O的半径）；OE2；在RtODH中，OH（勾股定理）；在RtOEH中，sinOEH，OEH45
9、，即AED45故选：C8解：延长CP交圆于一点D，连接OC，PCOP，PCPD，PC2PAPB，AP4，PB1，PC241，PC2，OP故选：C9解：CDAB，CEDE，CE2AEBE，AB10cm，且AE：EB2：3，AE4cm，EB6cm，CE2cm，AC2cm故选：D10【解答】解：连接OC、OD，过点O作OFCD于点FAB是O的直径，C为弧AB的中点，AOCBOC90（等弧所对的圆心角相等）；又O是圆心，OFCD，CFDFCD，（垂径定理）；在RtOEC中，AEC60，OCE30（直角三角形的两个锐角互余）；在RtOCF中，CFOCcos30；又AB8，OC4；CF42CD2CF4故选
10、：D11解：根据题意得：A、B、C、D在以P为圆心，半径是5米的圆上OAOCOBOD，即 623OD解得 OD4故选：C12解：延长DC交C于M，延长CD交O于NCD2ADDB，AD9，BD4，CD6在O、C中，由相交弦定理可知，PEEQDEEMCEEN，设CEx，则DE6x，EN6x+6则（6x）（x+6）x（6x+6），解得x3所以，CE3，DE633，EM6+39所以PEEQ3927故选：D二填空题（共8小题）13解：如图，作CHDE交AB于H设DP2aPDCH，CH3a，BD：AD2：3，AH：AD2：3，CHDE，DEa，PEa2aa，BC10，BP：PC2：1，PB，PC，PBPC
11、PDPE，5a2，a（负根已经舍弃），PD2a故答案为14解：两条弦AB、CD相交于点P，PDPCPAPB，PD6故答案为615解：弦AB、CD相交于点E，CB，AD，ACEDBE，故答案为：3：516解：由相交弦定理得，APBPCPDP，则DP6，故答案为：617解：弦AB和弦CD相交于O内一点P，PAPBPCPD，而AP8，BP3，PDPC，PC28324，PC2，CD2PC4故答案为418解：AEBECEDE，263CE，CE4；如图，过P点的直径为MN，PQ2，PMQMPQ523，PNQN+PQ5+27，PHPKPMPN，PHPK3721故答案为4；2119解：AB为O的直径，ABCD
12、，CD6cm，CPPD3cm，P是半径OB的中点，设PBx，则AP3x，由相交弦定理得，CPPDAPPB，即333xx，解得xcm，AP3cm，PBcm，直径AB的长是3+4cm20解：O的弦AB、CD相交于点E，AEBECEDE，AE：DECE：BE2：3，故答案为：2：3三解答题（共7小题）21（1）证明：由圆周角定理得，AD，CB，PACPDB；（2）解：由相交弦定理得到，PAPBPCPD，即34PC（8PC），解得，PC2或6，则PD6或2，PC2或6，PD6或222（1）证明：如图，ADBC，即，ABCD；（2）如图，过O作OFAD于点F，作OGBC于点G，连接OA、OC则AFFD，
13、BGCGADBC，AFCG在RtAOF与RtCOG中，RtAOFRtCOG（HL），OFOG，四边形OFEG是正方形，OFEF设OFEFx，则AFFDx+1，在直角OAF中由勾股定理得到： x2+（x+1）252，解得 x5则AF3+14，即AEAF+3723解：（1）AC，DB，ADMCBM，即AMMBCMMD（2）连接OM、OCM为CD中点，OMCD在RtOMC中，OC3，OM2CDCM，由（1）知AMMBCMMDAMMB524证明：延长GP至F，使PFPG，连接AD，BF，CF，G是ABC的重心，AG2GP，BPPC，PFPG，四边形GBFC是平行四边形，GF2GP，AGGF，BGCF，
14、12过A、G的圆与BG切于G，3D，又23，123D，A、D、F、C四点共圆，GAGFGCGD，即GA2GCGD25解：（1）连接OP，过点P作CDOP于点P，连接OD根据题意，得CD8，OD5根据垂径定理，得PD4，根据勾股定理，得OP3；（2）根据平行线的性质和垂线的性质，知O、P、Q三点共线根据（1）的求解方法，得OQ4，则PQ1或7；（3）连接AM、BNAN，MB，APMNPB，即PMPNPAPB；（4）作直径AB，根据相交弦定理，得PCPDPAPB（53）（5+3）16，又CD，设PCx，则PDx，则有x（x）16，解得x3或x即PC3或，PD或326解：（1）连接AB；BC是直径，
15、且BCAH，；A是的中点，；BAEABE；AEBE；（2）易知DHAD6；AE6DE，EH6+DE；由相交弦定理，得：AEEHBEEF，即：（6DE）（6+DE）32，解得DE2；RtBDE中，BEAEADDE4，DE2；由勾股定理，得：BD227解：（1）两个三角形全等AOB、CBD都是等边三角形，OBACBD60，OBA+ABCCBD+ABC，即OBCABD；OBAB，BCBD，OBCABD；（2）点E位置不变OBCABD，BADBOC60，OAE180606060；在RtEOA中，EOOAtan60，或AEO30，得AE2，OE点E的坐标为（0，）；（3）ACm，AFn，由相交弦定理知1mnAG，即AG；又OC是直径，OE是圆的切线，OE2EGEF，在RtEOA中，AE2，（）2（2）（2+n）即2n2+n2mmn0解得m
