1、中考数学 二次函数综合试题及详细答案一、二次函数1已知二次函数的最大值为4，且该抛物线与轴的交点为，顶点为.（1）求该二次函数的解析式及点，的坐标；（2）点是轴上的动点，求的最大值及对应的点的坐标；设是轴上的动点，若线段与函数的图像只有一个公共点，求的取值范围.【答案】（1），点坐标为，顶点的坐标为；（2）最大值是，的坐标为，的取值范围为或或.【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；（3）
2、先把函数中的绝对值化去，可知，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；线段PQ与当函数y=a|x|2-2a|x|+c（x0）时有一个公共点时，求t的值；当线段PQ过点（-3，0），即点P与点（-3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|2-2a|x|+c（x0）时也有一个公共点，则当t-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值【详解】解：（1），的对称轴为.人最大值为4，抛物线过点.得，解得.该二次函数的解析式为.点坐标为，顶
3、点的坐标为.（2），当三点在一条直线上时，取得最大值.连接并延长交轴于点，.的最大值是.易得直线的方程为.把代入，得.此时对应的点的坐标为.的解析式可化为设线段所在直线的方程为，将，的坐标代入，可得线段所在直线的方程为.（1）当线段过点，即点与点重合时，线段与函数的图像只有一个公共点，此时.当时，线段与函数的图像只有一个公共点.（2）当线段过点，即点与点重合时，线段与函数的图像只有一个公共点，此时.当线段过点，即点与点重合时，此时线段与函数的图像有两个公共点.所以当时，线段与函数的图像只有一个公共点.（3）将带入，并整理，得.令，解得.当时，线段与函数的图像只有一个公共点.综上所述，的取值范围
4、为或或.【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解2如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax23x+c的对称轴是x=（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PBx轴于点B，PCy轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF求证：PEPF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的
5、点，点F是y轴上的点，当PEPF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为y=x23x4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（2，6）或（2，6）【解析】【分析】（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=列出关于a、c的方程组求解即可；（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明FPC=EPB，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到，从而可求得点Q的坐标（用含a的式
6、子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可【详解】（1）当y=0时，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，解得，抛物线的解析式为y=x23x4；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，直线m的解析式为y=x点P是直线1上任意一点，设P（3a，a），则PC=3a，PB=a又PE=3PF，FPC=EPBCPE+EPB=90，FPC+CPE=90，FPPE（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6aCF=3BE=183a，OF=203aF（0，203a）PEQF为矩形，Qx+6=0+a，Qy+2=203a+0，Qx=a6，Qy=183a将点
7、Q的坐标代入抛物线的解析式得：183a=（a6）23（a6）4，解得：a=4或a=8（舍去）Q（2，6）如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a6CF=3BE=3a18，OF=3a20F（0，203a）PEQF为矩形，Qx+6=0+a，Qy+2=203a+0，Qx=a6，Qy=183a将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：183a=（a6）23（a6）4，解得：a=8或a=4（舍去）Q（2，6）综上所述，点Q的坐标为（2，6）或（2，6）【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐
8、标是解题的关键3如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上。（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使POB与POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标。【答案】解：（1）；（2）存在，P（，）；（3）Q点坐标为（0，-）或（0，）或（0，1）或（0，3）.【解析】【分析】（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解.（2）首先由
9、抛物线的解析式求出点C的坐标，在POB和POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：POC=POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件.（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.【详解】解：（1）把A（1，4）代入ykx6，得k2，y2x6，令y0，解得：x3，B的坐标是（3，0）A为顶点，设抛物线的解析为ya（x1）24，把B（3，0）
10、代入得：4a40，解得a1，y（x1）24x22x3 （2）存在OBOC3，OPOP，当POBPOC时，POBPOC，此时PO平分第二象限，即PO的解析式为yx设P（m，m），则mm22m3，解得m（m0，舍），P（，） （3）如图，当Q1AB90时，DAQ1DOB，即=，DQ1，OQ1，即Q1（0，-）；如图，当Q2BA90时，BOQ2DOB，即，OQ2，即Q2（0，）；如图，当AQ3B90时，作AEy轴于E，则BOQ3Q3EA，即OQ324OQ3+30，OQ31或3，即Q3（0，1），Q4（0，3）综上，Q点坐标为（0，-）或（0，）或（0，1）或（0，3）4新春佳节，电子鞭炮因其安全、无
11、污染开始走俏某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y=2x+320（80x160）设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快那么销售单价应定为多少元？【答案】（1）w=2x2+480x25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元【解析】【分析】（1）用每件的利
12、润乘以销售量即可得到每天的销售利润，即 然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式然后根据二次函数的最值问题求解；（3）求所对应的自变量的值，即解方程然后检验即可.【详解】（1） w与x的函数关系式为： （2） 当时，w有最大值w最大值为3200答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）当时， 解得： 想卖得快，不符合题意，应舍去答：销售单价应定为100元5如图1，抛物线C1：y=ax22ax+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C已知点A的坐标为（1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G（1）求出抛物线C1的解析
13、式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A、B，顶点为G，当ABG是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，1）；M2（，0）、N2（1，1）；M3（4，0）、N3（10，1）；M4
14、（4，0）、N4（2，1）【解析】【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=x2+2x+3k，即y=（x1）2+4k，作GDx轴于点D，设BD=m，由等边三角形性质知点B的坐标为（m+1，0），点G的坐标为（1，m），代入所设解析式求解可得；（3）设M（x，0），则P（x，x2+2x+3）、Q（x，x2+2x+2），根据PQ=OA=1且AOQ、PQN均为钝角知AOQPQN，延长PQ交直线y=1于点H，证OQMQNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可【详解】（1）点A的坐标为（1，0），OA
15、=1，OC=3OA，点C的坐标为（0，3），将A、C坐标代入y=ax22ax+c，得：，解得：，抛物线C1的解析式为y=x2+2x+3=（x1）2+4，所以点G的坐标为（1，4）；（2）设抛物线C2的解析式为y=x2+2x+3k，即y=（x1）2+4k，过点G作GDx轴于点D，设BD=m，ABG为等边三角形，GD=BD=m，则点B的坐标为（m+1，0），点G的坐标为（1，m），将点B、G的坐标代入y=（x1）2+4k，得：，解得：（舍），k=1；（3）设M（x，0），则P（x，x2+2x+3）、Q（x，x2+2x+2），PQ=OA=1，AOQ、PQN均为钝角，AOQPQN，如图2，延长PQ交直
16、线y=1于点H，则QHN=OMQ=90，又AOQPQN，OQ=QN，AOQ=PQN，MOQ=HQN，OQMQNH（AAS），OM=QH，即x=x2+2x+2+1，解得：x=（负值舍去），当x=时，HN=QM=x2+2x+2=，点M（，0），点N坐标为（+，1），即（，1）；或（，1），即（1，1）；如图3，同理可得OQMPNH，OM=PH，即x=（x2+2x+2）1，解得：x=1（舍）或x=4，当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=（x2+2x+2）=6，点N的坐标为（4+6，1）即（10，1），或（46，1）即（2，1）；综上点M1（，0）、N1（，1）；M2（，0）、N2（1，1
17、）；M3（4，0）、N3（10，1）；M4（4，0）、N4（2，1）【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.6抛物线（b，c为常数）与x轴交于点和，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点。（）当时，求点A，点E的坐标； （）若顶点E在直线上，当点A位置最高时，求抛物线的解析式；（）若，当满足值最小时，求b的值。【答案】（），；（）；（）.【解析】【分析】（）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b、c的值，确定解析式，从
18、而求出抛物线与y轴交于点A的坐标，运用配方求出顶点E的坐标即可；（）先运用配方求出顶点E的坐标，再根据顶点E在直线上得出吧b与c的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A位置最高，从而确定抛物线的解析式；（）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（）中顶点E的坐标得出E点关于x轴的对称点的坐标，然后根据A、P两点坐标求出直线AP的解析式，再根据点在直线AP上，此时值最小，从而求出b的值.【详解】解：（）把点和代入函数，有。解得（）由，得点E在直线上，当时，点A是最高点此时，（）：抛物线经过点，有E关于x轴的对称点为设过点A，P的直线为.把代入，得把点代入.得，即解得，。舍去.【点
19、睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题7函数的图象记为，函数的图象记为，其中为常数，与合起来的图象记为.（）若过点时，求的值；（）若的顶点在直线上，求的值；（）设在上最高点的纵坐标为，当时，求的取值范围.【答案】（）；（）；（）.【解析】【分析】（）将点C的坐标代入的解析式即可求出m的值；（）先求出抛物线的顶点坐标，再根据顶点在直线上得出关于m的方程，解之即可（）先求出抛物线的顶点坐标，结合（）抛物线的顶点坐标，和x的取值范围，分三种情形讨论求解即可；【详解】解：（）将点代入的解析
20、式，解得（）抛物线的顶点坐标为，令，得，（）抛物线的顶点，抛物线的顶点，当时，最高点是抛物线G1的顶点，解得当时，G1中（2，2m-1）是最高点，2m-12m-1，解得当时，G2中（-4，4m-9）是最高点，4m-94m-9，解得.综上所述，即为所求.【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题8如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，1），且与直线ykx+2相交于B（2，0）和C两点（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）求证：ABC是直角三角形；（3）抛物
21、线上存在点E（点E不与点A重合），使BCEACB，求出点E的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标【答案】（1）yx22x，yx+2；（2）详见解析；（3）E（）；（4）符合条件的点F的坐标（1，）或（1，）或（1，2+）或（1，2）【解析】【分析】（1）将B（2，0）代入设抛物线解析式ya（x1）21，求得a，将B（2，0）代入ykx+2，求得k；（2）分别求出AB2、BC2、AC2，根据勾股定理逆定理即可证明；（3）作BCEACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A，过A作AH垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于
22、点G根据对称与三角形全等，求得A（3，1），然后求出AC解析式，与抛物线解析式联立，求得点E坐标；（4）设F（1，m），分三种情况讨论：当BFBD时，当DFBD时，当BFDF时，m1，然后代入即可【详解】（1）设抛物线解析式ya（x1）21，将B（2，0）代入，0a（21）21，a1，抛物线解析式：y（x1）21x22x，将B（2，0）代入ykx+2，02k+2，k1，直线BC的解析式：yx+2；（2）联立，解得，C（1，3），A（1，1），B（2，0），AB2（12）2+（10）22，AC21（1）2+（13）220，BC22（1）2+（03）218，AB2+BC2AC2，ABC是直角三角形
23、；（3）如图，作BCEACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A，过A作AH垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点GBCEACB，ABC90，点A与A关于直线BC对称，ABAB，可知AFBAHB（AAS），A（1，1），B（2，0）AG1，BGOG1，BH1，AH1，OH3，A（3，1），C（1，3），直线AC：，联立：，解得或，E（，）；（4）抛物线的对称轴：直线x1，设F（1，m），直线BC的解析式：yx+2；D（0，2）B（2，0），BD，当BFBD时，m，F坐标（1，）或（1，）当DFBD时，m2，F坐标（1，2+）或（1，2）当BFDF时，m1，F（1，1），此
24、时B、D、F在同一直线上，不符合题意综上，符合条件的点F的坐标（1，）或（1，）或（1，2+）或（1，2）【点睛】考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键9已知抛物线上有两点M(m+1，a)、N(m，b).(1)当a1，m1时，求抛物线的解析式；(2)用含a、m的代数式表示b和c；(3)当a0时，抛物线满足，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）b=-am，c=-am；（3）【解析】【分析】（1）根据题意得到M(2，1)、N(1，b)，代入抛物线解析式即可求出b、c；（2）将点M(m+1，a)、N(m，b)代入抛物线，可得，化简即可得出；（3）把，代入可得，把，代入可得，然后根据m的
25、取值范围可得a的取值范围.【详解】解：(1)a1，m1，M(2，1)、N(1，b)由题意，得，解，得 (2) 点M(m+1，a)、N(m，b)在抛物线上得， 把代入，得 (3)把，代入得，把，代入得， ，当时，随m的增大而增大 即【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出，是解题关键.10在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，
26、使得AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）A（3，0），C（0，3），D（1，4）；（2）E（，0）；（3）P（2，5）或（1，0）【解析】试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；（2）作点C关于x轴对称的点C，连接CD交x轴于点E，此时CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C的坐标，根据点C、D的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；（3）根据点A、C的坐标利
27、用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分PAF=90、AFP=90和APF=90三种情况考虑根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论试题解析：（1）当中y=0时，有，解得：=3，=1，A在B的左侧，A（3，0），B（1，0）当中x=0时，则y=3，C（0，3）=，顶点D（1，4）（2）作点C关于x轴对称的点C，连接CD交x轴于点E，此时CDE的周长最小，如图1所示C（0，3），C（0，3）设直线CD的解析式为y=kx+b，则有：，解得：，直线CD的解析
28、式为y=7x3，当y=7x3中y=0时，x=，当CDE的周长最小，点E的坐标为（，0）（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，则有：，解得：，直线AC的解析式为y=x+3假设存在，设点F（m，m+3），AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：当PAF=90时，P（m，m3），点P在抛物线上，解得：m1=3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，5）；当AFP=90时，P（2m+3，0）点P在抛物线上，解得：m3=3（舍去），m4=1，此时点P的坐标为（1，0）；当APF=90时，P（m，0），点P在抛物线上，解得：m5=3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为（1，0）综上可知：在抛物
29、线上存在点P，使得AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，5）或（1，0）考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题11如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，AEF=90,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FNBC（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，ECF的面积为y求y与x的函数关系式；当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.【答案】（1）AE=EF；（2）y=-x2+2x（0x4)，当x=2,y最大值=2.【解析】【分析】（1）在AB上取一点G，
30、使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：AGEECF，则可证得：AE=EF；（2）同（1）可证明AE=EF，利用AAS证明ABEENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题【详解】（1）如图，在AB上取AG=EC，四边形ABCD是正方形，AB=BC，有AG=EC ，BG=BE ，又B=90，AGE=135，又BCD=90，CP平分DCN，ECF=135，BAEAEB=90，AEBFEC=90，BAE=FEC，在AGE和ECF中， ,AGEECF，AE=EF；(2)由（1）证明可知当E
31、不是中点时同理可证AE=EF，BAE=NEF，B=ENF=90，ABEENF，FN=BE=x，SECF= (BC-BE)FN，即y= x(4-x），y=- x2+2x（0x4)，当x=2，y最大值=2.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键12已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点（1）求抛物线的解析式和直线的解析式（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的
32、四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标【答案】（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：；（2）存在，理由见解析；点或或或【解析】【分析】（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；（2）SDAC=2SDCM，则，即可求解；（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）二次函数表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：，则点，将点的坐标代入一次函数表达式并解得：直线的表达式为：；（2）存在，理由：二次函数对称轴为：，则点，过点作轴的平行线交于点，设点，点，则，解得：或5（舍去5），故点；（3）设点、点
33、，当是平行四边形的一条边时，点向左平移4个单位向下平移16个单位得到，同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点，即：，而，解得：或4，故点或；当是平行四边形的对角线时，由中点公式得：，而，解得：，故点或；综上，点或或或【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏13已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=.如图，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s)，的面积为S(cm)，S与t的函数关系如图所示：(1)直接写出动点M的运动速
34、度为 ，BC的长度为 ;(2)如图，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点N的运动速度为.已知两动点M、N经过时间在线段BC上相遇(不包含点C)，动点M、N相遇后立即停止运动，记此时的面积为.求动点N运动速度的取值范围;试探究是否存在最大值.若存在，求出的最大值并确定运动速度时间的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2，10；(2)；当时，取最大值.【解析】【分析】（1）由题意可知图像中02.5s时，M在AB上运动，求出速度，2.57.5s时，M在BC上运动，求出BC长度；（2）分别求出在C点相遇和
35、在B点相遇时的速度，取中间速度，注意C点相遇时的速度不能取等于；过M点做MHAC，则 得到S1，同时利用=15，得到S2，再得到关于x的二次函数，利用二次函数性质求得最大值【详解】(1)52.5=2；（7.5-2.5）2=10 (2)解：在C点相遇得到方程在B点相遇得到方程 解得 在边BC上相遇，且不包含C点 如下图 =15过M点做MHAC，则 = = 因为，所以当时，取最大值.【点睛】本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x表示出S1和S214如图，已知二次函数y=ax2+bx
36、+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当AMN为直角三角形时，求t的值【答案】（1）；（2）BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当AMN为直角三角形时，t的值为1或4【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD、BD、BC的长，由勾股定理的逆定理可
37、证出BCD为直角三角形；（3）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM2、AN2、MN2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t的无理方程，解之即可得出结论【详解】（1）将、代入，得：，解得：，此二次函数解析式为（2）为直角三角形，理由如下：，顶点的坐标为当时，点的坐标为点的坐标为，为直角三角形（3）设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为，将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，点
38、的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，为直角三角形，分三种情况考虑：当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；当时，有，即，整理，得：，该方程无解（或解均为增解）综上所述：当为直角三角形时，的值为1或4【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分MAN=90、AMN=90及ANM=90三种情况考虑1
39、5一次函数yx的图象如图所示，它与二次函数yax24axc的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D若点D与点C关于x轴对称，且ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；若CDAC，且ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式【答案】（1）点C（2，）；（2）yx2x； yx22x【解析】试题分析：（1）求得二次函数yax24axc对称轴为直线x2，把x2代入yx求得y=，即可得点C的坐标；（2）根据点D与点C关于x轴对称即可得点D的坐标，并且求得CD的长，设A（m，m） ，根据SACD3即可求得m的值，即
40、求得点A的坐标，把A.D的坐标代入yax24axc得方程组，解得a、c的值即可得二次函数的表达式.设A（m，m）（m2），过点A作AECD于E，则AE2m，CEm，根据勾股定理用m表示出AC的长，根据ACD的面积等于10可求得m的值，即可得A点的坐标，分两种情况：第一种情况，若a0，则点D在点C下方，求点D的坐标；第二种情况，若a0，则点D在点C上方，求点D的坐标，分别把A、D的坐标代入yax24axc即可求得函数表达式.试题解析：（1）yax24axca（x2）24ac二次函数图像的对称轴为直线x2当x2时，yx，C（2，）（2）点D与点C关于x轴对称，D（2，），CD3.设A（m，m） （m2），由SACD3，得3（2m）3，解得m0，A（0，0）.由A（0，0）、 D（2，）得解得a，c0.yx2x.设A（m，m）（m2），过点A作AECD于E，则AE2m，CEm，AC（2m），CDAC，CD（2m）.由SACD10得（2m）210，解得m2或m6（舍去），m2A（2，），CD5.若a0，则点D在点C下方，D（2，），由A（2，）、D（2，）得解得yx2x3.若a0，则点D在点C上方，D（2，），由A（2，）、D（2，）得解得yx22x.考点：二次函数与一次函数的综合题.
