1、等腰三角形一、知识梳理：专题一：等腰三角形概念及性质；等腰三角形的判定.二、考点分类考点一：等腰三角形的概念有两边相等的三角形是等腰三角形。【类型一】 利用等腰三角形的概念求边长或周长【例1】 如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是()A9cm B12cm C15cm或12cm D15cm解析：当腰为3cm时，336，不能构成三角形，因此这种情况不成立当腰为6cm时，63663，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为66315(cm)故选D.方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去考点
2、二：等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） （2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想【类型一】 利用“等边对等角”求角度【例2】 等腰三角形的一个内角是50，则这个三角形的底角的大小是()A65或50 B80或40 C65或80 D50或80解析：当50的角是底角时，三角形的底角就是50；当50的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65.故选A.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一
3、个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论【类型二】 利用方程思想求等腰三角形角的度数【例3】 如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，且BDBCAD，求ABC各角的度数解析：设Ax，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数解：设Ax.ADBD，ABDAx.BDBC，BCDBDCABDA2x.ABAC，ABCBCD2x.在ABC中，AABCACB180，x2x2x180，x36，A36，ABCACB72.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x
4、. 【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明【例4】 如图，已知ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且DBCF，求证：ECDF.解析：先由等腰三角形的性质得出ABCACB，根据角平分线定义得到DBCABC，ECBACB，那么DBCECB，再由DBCF，等量代换得到ECBF，于是根据平行线的判定得出ECDF.证明：ABC为等腰三角形，ABAC，ABCACB.又BD、CE为底角的平分线，DBCABC，ECBACB，DBCECB.DBCF，ECBF，ECDF.方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明【例5】 如图，点D
5、、E在ABC的边BC上，ABAC.(1)若ADAE，求证：BDCE；(2)若BDCE，F为DE的中点，如图，求证：AFBC.解析：(1)过A作AGBC于G，根据等腰三角形的性质得出BGCG，DGEG即可证明；(2)先证BFCF，再根据等腰三角形的性质证明证明：(1)如图，过A作AGBC于G.ABAC，ADAE，BGCG，DGEG，BGDGCGEG，BDCE；(2)BDCE，F为DE的中点，BDDFCEEF，BFCF.ABAC，AFBC.方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线【类型五】 与等腰三角形的性质有关的探究
6、性问题【例6】 如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，BE是ABC的平分线，DEBC，垂足为D.(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由(3)如果BC10，求ABAE的长解析：(1)由ABC是等腰直角三角形，BE为角平分线，可证得ABEDBE，即ABBD，AEDE，所以ABD和ADE均为等腰三角形；由C45，EDDC，可知EDC也符合题意；(2)BE是ABC的平分线，DEBC，根据角平分线定理可知ABE关于BE与DBE对称，可得出BEAD；(3)根据(2)，可知ABE关于BE与DBE对称，且DEC为等腰直角三角形，可推出ABAEBDDCBC10.解
7、：(1)ABC，ABD，ADE，EDC.(2)AD与BE垂直证明：由BE为ABC的平分线，知ABEDBE，BAEBDE90，BEBE，ABEDBE，ABE沿BE折叠，一定与DBE重合，A、D是对称点，ADBE.(3)BE是ABC的平分线，DEBC，EAAB，AEDE.在RtABE和RtDBE中，RtABERtDBE(HL)，ABBD.又ABC是等腰直角三角形，BAC90，C45.又EDBC，DCE为等腰直角三角形，DEDC，ABAEBDDCBC10. 考点三：等腰三角形的判定方法(1)根据定义判定；(2)两个角相等的三角形是等腰三角形【类型一】 确定等腰三角形的个数【例7】 如图，在ABC中，
8、ABAC，A36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()A5个 B4个 C3个 D2个解析：共有5个(1)ABAC，ABC是等腰三角形；(2)BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，EBCABC，ECBBCD.ABC是等腰三角形，EBCECB，BCE是等腰三角形；(3)A36，ABAC，ABCACB(18036)72.又BD是ABC的角平分线，ABDABC36A，ABD是等腰三角形；同理可证CDE和BCD也是等腰三角形故选A.方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数【类型二】 在坐标系中确
9、定三角形的个数【例8】 已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，3)，在y轴上确定点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A3个 B4个 C5个 D6解析：因为AOP为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AOAP(有一个)此时只要以A为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P；(2)AOOP(有两个)此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择；(3)APOP(一个)作AO的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择综上所述，共有4个故选B. 方法总结：解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵
10、活运用以及分类讨论时做到不重不漏【类型三】 判定一个三角形是等腰三角形【例9】 如图，在ABC中，ACB90，CD是AB边上的高，AE是BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：CEF是等腰三角形解析：根据直角三角形两锐角互余求得ABEACD，然后根据三角形外角的性质求得CEFCFE，根据等角对等边求得CECF，从而求得CEF是等腰三角形证明：在ABC中，ACB90，BBAC90.CD是AB边上的高，ACDBAC90，BACD.AE是BAC的角平分线，BAEEAC，BBAEACDEAC，即CEFCFE，CECF，CEF是等腰三角形方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相
11、等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立【类型四】 等腰三角形性质和判定的综合运用【例10】 如图，在ABC中，ABAC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BECF，BDCE.(1)求证：DEF是等腰三角形；(2)当A50时，求DEF的度数解析：(1)根据等边对等角可得BC，利用“边角边”证明BDE和CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DEEF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得BDECEF，然后求出BEDCEFBEDBDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出BDEF.(1)证明：ABAC，BC.在BDE和
12、CEF中，BDECEF(SAS)，DEEF，DEF是等腰三角形；(2)解：BDECEF，BDECEF，BEDCEFBEDBDE.BBDEDEFCEF，BDEF.A50，ABAC，B(18050)65，DEF65.方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段经典例题考点一：等腰三角形的概念【例1】等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为考点二：等腰三角形的性质【例3】已知等腰ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若ACD和ABD都是等腰三角形，求C的度数。考点三：等腰三角形的判定1、如图所示的正方形网格中，网格
13、线的交点称为格点已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（） 2、在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（）A5个 B4个 C3个 D2个3、如图，坐标平面内一点A（2，1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A2 B3 C4 D5 拓展提升1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（0，），点C在坐标平面内若以A，B，C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30，则满足条件的点C有个 2、如图，等腰三
14、角形ABC中，AB=AC，A=44，CDAB于D，则DCB等于（）A44 B68 C46 D223、如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD，CE分别为ABC，ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A5个 B6个 C7个 D8个4、如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A2个 B3个 C4个 D5个5、如图，在RtABC中，ACB=90，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A4个 B5个 C6个 D7个6、已知
15、等腰ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是7、等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为8、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于度等边三角形一、知识梳理：专题一：等边三角形的性质；专题二：等边三角形的判定;专题三：含30角的直角三角形的性质.二、考点分类考点一：等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于【类型一】 利用等边三角形的性质求角度【例1】 如图，ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若ABE40，BEDE，求CED的度数解析：因为ABC三个内角为60
16、，ABE40，求出EBC的度数，因为BEDE，所以得到EBCD，求出D的度数，利用外角性质即可求出CED的度数解：ABC是等边三角形，ABCACB60.ABE40，EBCABCABE604020.BEDE，DEBC20，CEDACBD40.方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等【例2】 如图：已知等边ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CECD，DMBC，垂足为M，求证：BMEM.解析：要证BMEM，根据等腰三角形的性质可知，证明BDE为等腰三角形即可证明：连
17、接BD，在等边ABC中，D是AC的中点，DBCABC6030，ACB60.CECD，CDEE.ACBCDEE，E30，DBCE30，BDED，BDE为等腰三角形又DMBC，BMEM.方法总结：本题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一”的性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法 【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用【例3】如图 ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BMCN，BN与AM相交于Q点，BQM等于多少度？解析：先根据已知条件利用SAS判定ABMBCN，再根据全等三角形的性质求得BQMABC60.解：ABC为正三角形，AB
18、CCBAC60，ABBC.在AMB和BNC中，AMBBNC(SAS)，BAMCBN，BQMABQBAMABQCBNABC60.方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等考点二：等边三角形的判定1、 三个角都相等的三角形是等边三角形；2、 有一个角是的等腰三角形是等边三角形；3、 三边都相等的三角形是等边三角形.【类型一】 等边三角形的判定【例4】 如图等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABPACQ，BPCQ，问APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论解析：先证ABPACQ得APAQ，再证PAQ60，从而得出APQ是等边三角形解：APQ为等
19、边三角形证明：ABC为等边三角形，ABAC.在ABP与ACQ中，ABPACQ(SAS)，APAQ，BAPCAQ.BACBAPPAC60，PAQCAQPAC60，APQ是等边三角形方法总结：判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60.【类型二】 等边三角形的性质和判定的综合运用【例5】 图、图中，点C为线段AB上一点，ACM与CBN都是等边三角形(1)如图，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究CEF的形状，并证明你的结论解析：(1)由等边三角形的性质可以得出A
20、CN，MCB两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等(2)先求MCN60，通过证明ACEMCF得出CECF，根据等边三角形的判定得出CEF的形状解：(1)ANBM.理由：ACM与CBN都是等边三角形，ACMC，CNCB，ACMBCN60.MCN60，ACNMCB.在ACN和MCB中，ACNMCB(SAS)ANBM.(2) CEF是等边三角形证明：ACNMCB，CAECMB.在ACE和MCF中，ACEMCF(ASA)，CECF.CEF是等边三角形方法总结：等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便
21、利条件同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件考点三：含30角的直角三角形的性质性质：在直角三角形中，如果一个锐角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半【类型一】 利用含30角的直角三角形的性质求线段长【例6】 如图，在RtABC中，ACB90，B30，CD是斜边AB上的高，AD3cm，则AB的长度是()A3cm B6cm C9cm D12cm解析：在RtABC中，CD是斜边AB上的高，ADC90，ACDB30.在RtACD中，AC2AD6cm，在RtABC中，AB2AC12cm.AB的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30角的直角三
22、角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用 【例7】 如图，AOPBOP15，PCOA交OB于C，PDOA于D，若PC3，则PD等于()A3 B2 C1.5 D1解析：如图，过点P作PEOB于E，PCOA，AOPCPO，PCEBOPCPOBOPAOPAOB30.又PC3，PEPC31.5.AOPBOP，PDOA，PDPE1.5.故选C.方法总结：含30角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30角的直角三角形【类型三】 利用含30角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系【例8】 如图，在ABC中，C9
23、0，AD是BAC的平分线，过点D作DEAB.DE恰好是ADB的平分线CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由解析：由条件先证AEDBED，得出BADCADB，求得B30，即可得到CDDB.解：CDDB.理由如下：DEAB，AEDBED90.DE是ADB的平分线，ADEBDE.又DEDE，AEDBED(ASA)，ADBD，DAEB.BADCADBAC，BADCADB.BADCADB90，BBADCAD30.在RtACD中，CAD30，CDADBD，即CDDB.方法总结：含30角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质【类型四】 利用
24、含30角的直角三角形解决实际问题【例9】 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC50m，AB40m，BAC150，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BDCA交CA的延长线于点D.在RtABD中，利用30角所对的直角边是斜边的一半求BD，即ABC的高运用三角形面积公式计算面积求解解：如图所示，作BDCA于D点BAC150，DAB30.AB40m，BDAB20m，SABC5020500(m2)已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要500a元方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质推出高BD的长度，
25、正确的计算出ABC的面积经典例题考点一：等边三角形性质【例1】已知：如图，B、C、E三点共线，都是等边三角形，连结AE、BD分别交CD、AC于N、M，连接MN.求证：AEBD，MNBE.考点二：含30的直角三角形【例3】如图所示，A60，CEAB于E，BDAC于D，BD与CE相交于点H，HD1，HE2，试求BD和CE的长 拓展提升1、如图，ABD，ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则BOC= 度 2、如图, ABC中, ACB90, ABC60, AB的中垂线交BC的延长线于D，交AC于E, 已知DE2.则 AC的长为_.3、已知：如图，ABC中，ABAC，ABC60，ADCE，求BPD的度数.4、如图所示，A60，CEAB于E，BDAC于D，BD与CE相交于点H，HD1，HE2，试求BD和CE的长5、如图所示，在等边ABC中，AECD，AD、BE相交于点P，BQAD于Q，求证：BP2PQ6、如图所示，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN试探究线段CN、BM、MN之间的关系，并加以证明
