1、2018年秋人教版九年级上册数学 第21章 一元二次方程 单元测试题一选择题（共10小题）1方程是关于的一元二次方程， 则A B C D 2一元二次方程的二次项系数、一次项系数分别是A3，B3，1C，1D3，63下列方程中有一个根为的方程是A B C D 4关于的方程无实数根， 那么满足的条件是A B C D 5一元二次方程配方后可化为A B C D 6一元二次方程的根是ABCD7一元二次方程的解是A ，B ，C ，D ，8一元二次方程的根的情况是A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法判断9方程和方程中所有的实数根之和是A 2B 4C 6D 810某超市一月份的营
2、业额为 40 万元， 一月、 二月、 三月的营业额共 200 万元， 如果平均每月增长率为，则由题意列方程为A B C D 二填空题（共8小题）11若是关于的一元二次方程， 则的值为12已知是关于的方程的一个根， 则13一元二次方程的两实根是，则，14一个三角形的两边长分别为 3 和 5 ，第三边长是方程的根， 则三角形的周长为15已知关于的一元二次方程有实数根， 则的取值范围是16若关于的一元二次方程有一个根为 0 ，则另一个根为17如图所示， 点阵的层数用表示， 点数总和用表示， 当时， 则18如图， 在长为，宽为的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路， 剩余部分进行绿化， 要使绿化
3、面积为，则道路的宽应为三解答题（共8小题）19解下列方程（1）（2）（3）20已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 求的取值范围 21小强看见九年级的哥哥在做这样一道题“解方程：”，他看了看后，发现可以用整式的乘法知识来去括号，然后转化为一元一次方程来解答试按照小强的思路完成此题的解答22已知方程（1）当为何值时，它是一元二次方程？（2）当为何值时，它是一元一次方程？23小刚在做作业时， 不小心将方程的一次项系数用墨水覆盖住了， 但从题目的答案中， 他知道方程的一个解为，请你帮助小刚求出被覆盖住的数 24已知关于的一元二次方程（1） 若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根；（2） 求
4、证： 不论取何值， 该方程都有两个不相等的实数根 25某天猫店销售某种规格学生软式排球， 成本为每个 30 元 以往销售大数据分析表明： 当每只售价为 40 元时， 平均每月售出 600 个；若售价每上涨 1 元， 其月销售量就减少 20 个， 若售价每下降 1 元， 其月销售量就增加 200 个 （1） 若售价上涨元， 每月能售出个排球 （用的代数式表示） （2） 为迎接“双十一”， 该天猫店在 10 月底备货 1300 个该规格的排球， 并决定整个 11 月份进行降价促销， 问售价定为多少元时， 能使 11 月份这种规格排球获利恰好为 8400 元 26列一元二次方程解应用题某公司今年 1
5、 月份的纯利润是 20 万元， 由于改进技术， 生产成本逐月下降， 3 月份的纯利润是 22.05 万元 假设该公司 2 、 3 、 4 月每个月增长的利润率相同 （1） 求每个月增长的利润率；（2） 请你预测 4 月份该公司的纯利润是多少？2018年秋人教版九年级上册数学 第21章 一元二次方程 单元测试题参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1方程是关于的一元二次方程， 则A B C D 【分析】根据一元二次方程的定义， 得到关于的不等式， 解之即可 【解答】解： 根据题意得：，解得：，故选：【点评】本题考查了一元二次方程的定义， 正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键 2一元二次方程的
6、二次项系数、一次项系数分别是A3，B3，1C，1D3，6【分析】找出所求的二次项系数、一次项系数即可【解答】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数分别是3，故选：【点评】考查了一元二次方程的一般形式：，是常数且特别要注意的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项其中，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项3下列方程中有一个根为的方程是A B C D 【分析】利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断 【解答】解： 当时，所以不是方程的解；当时，所以不是方程的解；当时，所以不是方程的解；当时，所以是方程的解 故选：【点评】本题考查了一元二次方程的解： 能使一
7、元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 4关于的方程无实数根， 那么满足的条件是A B C D 【分析】方程左边是一个式的平方， 根据平方的非负性， 得关于的不等式， 求解不等式即可 【解答】解： 当时， 方程无解 即故选：【点评】本题考查了一元二次方程的直接开平方法， 运用直接开平方法， 等号的另一边必须是非负数 5一元二次方程配方后可化为A B C D 【分析】先表示得到，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边配成完全平方形式即可 【解答】解：，故选：【点评】本题考查了解一元二次方程配方法： 将一元二次方程配成的形式， 再利用直接开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫配方
8、法 6一元二次方程的根是ABCD【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况【解答】解：，方程有两个不相等的两个实数根，即故选：【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：；7一元二次方程的解是A ，B ，C ，D ，【分析】先把方程化为一般式， 然后利用因式分解法解方程 【解答】解：，或，所以，故选：【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法： 就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次
9、方程转化为解一元一次方程的问题了 （数 学转化思想） 8一元二次方程的根的情况是A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法判断【分析】根据方程的系数结合根的判别式， 可得出，进而可得出方程有两个不相等的实数根， 此题得解 【解答】解：，方程有两个不相等的实数根 故选：【点评】本题考查了根的判别式， 牢记“当时， 方程有两个不相等的实数根”是解题的关键 9方程和方程中所有的实数根之和是A 2B 4C 6D 8【分析】根据方程的系数结合根的判别式， 可得出两方程均有两个不相等的实数根， 再利用根与系数的关系可求出每个方程的两根之和， 将其相加后即可得出结论 【解答】解：方
10、程的根的判别式，方程有两个不相等的实数根， 两根之和为 2 ；方程的根的判别式，方程有两个不相等的实数根， 两根之和为 4 ，两方程所有的实数根之和是 6 故选：【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系， 牢记两根之和等于是解题的关键 10某超市一月份的营业额为 40 万元， 一月、 二月、 三月的营业额共 200 万元， 如果平均每月增长率为，则由题意列方程为A B C D 【分析】设平均每月增长率为，由一月、 二月、 三月的营业额共 200 万元， 即可得出关于的一元二次方程， 此题得解 【解答】解： 设平均每月增长率为，根据题意得：故选：【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方
11、程， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 二填空题（共8小题）11若是关于的一元二次方程， 则的值为 1 【分析】本题根据一元二次方程的一般形式， 即可得到，即可求得的值 【解答】解： 依题意得：，解得故答案是： 1 【点评】本题利用了一元二次方程的概念 只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程， 一般形式是（且12已知是关于的方程的一个根， 则 10 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：是关于的方程的一个根，故答案为 10 【点评】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
12、值是一元二次方程的解 13一元二次方程的两实根是，则 5 ，【分析】根据根与系数的关系结合方程的两实根是，可求出，的值， 此题得解 【解答】解：一元二次方程的两实根是，故答案为： 5 ；【点评】本题考查了根与系数的关系， 牢记“两根之和等于，两根之和等于”是解题的关键 14一个三角形的两边长分别为 3 和 5 ，第三边长是方程的根， 则三角形的周长为 12 【分析】先利用因式分解法解方程得到，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为 4 ，从而得到计算三角形的周长 【解答】解：，或，所以，而，所以三角形第三边的长为 4 ，所以三角形的周长为故答案为 12 【点评】本题考查了解一元二次方程
13、因式分解法： 就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了 （数 学转化思想） 也考查了配方法解一元二次方程 也考查了三角形三边的关系 15已知关于的一元二次方程有实数根， 则的取值范围是且【分析】由于关于的一元二次方程有实数根， 计算根的判别式， 得关于的不等式， 求解即可 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，则，且解得且故答案为：且【点评】本题考查了根的判别式、 一次不等式的解法及一元二次方程的定义 题目难
14、度不大， 解题过程中容易忽略条件而出错 16若关于的一元二次方程有一个根为 0 ，则另一个根为【分析】先把代入方程得到满足条件的的值为，此时方程化为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得到，然后求出即可 【解答】解： 把代入方程得方程，解得，而，所以，此时方程化为，设方程的另一个根为，则，解得，所以方程的另一个根为故答案为【点评】本题考查了根与系数的关系： 若，是一元二次方程的两根时，17如图所示， 点阵的层数用表示， 点数总和用表示， 当时， 则 11 【分析】由等差数列的求和公式结合，即可得出关于的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论 【解答】解： 根据题意得：，化简得：，解得：，
15、（舍 去） 故答案为： 11 【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 18如图， 在长为，宽为的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路， 剩余部分进行绿化， 要使绿化面积为，则道路的宽应为 2 【分析】设道路的宽为，则剩余部分可合成长为，宽为米的长方形， 根据矩形的面积公式结合绿化面积为，即可得出关于的一元二次方程， 解之取其较小值即可得出结论 【解答】解： 设道路的宽为，则剩余部分可合成长为，宽为米的长方形，根据题意得：，整理得：，故答案为： 2 【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 三
16、解答题（共8小题）19解下列方程（1）（2）（3）【分析】（1） 利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；（2） 利用因式分解法解方程；（3） 先变形为，然后利用因式分解法解方程 【解答】解： （1），所以，；（2），或，所以，；（3），或，所以，【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法： 就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了 （数 学转化思想） 也考查了配方法解一元二次方程 20已知关于的一元二次方
17、程有两个不相等的实数根， 求的取值范围 【分析】计算根的判别式， 由题意得到关于的不等式， 求解即可 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即，【点评】本题考查了根的判别式， 题目比较简单 根的判别式21小强看见九年级的哥哥在做这样一道题“解方程：”，他看了看后，发现可以用整式的乘法知识来去括号，然后转化为一元一次方程来解答试按照小强的思路完成此题的解答【分析】将原方程去括号化成方程的一般形式后求解即可【解答】解：去括号得：，移项、合并同类项得：，解得：【点评】本题考查了方程的解法，解题的关键是能够利用完全平方公式和平方差公式化简，难度不大22已知方程（1）当为何值时，它是一元二
18、次方程？（2）当为何值时，它是一元一次方程？【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题；（2）根据一次方程的定义可解答本题【解答】解：（1）方程为一元二次方程，解得：，所以当为或时，方程方程为一元二次方程；（2）方程为一元一次方程，或解得，或，故当为2或时，方程方程为一元一次方程【点评】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，能理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义是解此题的关键，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面23小刚在做作业时， 不小心将方程的一次项系数用墨水覆盖住了， 但从题目的答案中， 他知道方程的一个解为，请你帮助小刚求出被覆盖住的数 【分析】把代入方程，
19、得到关于的一元一次方程， 解之即可 【解答】解： 把代入方程得：，解得：，答： 被覆盖住的数是 14 【点评】本题考查一元二次方程的解， 正确找出等量关系， 列出一元一次方程是解题的关键 24已知关于的一元二次方程（1） 若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根；（2） 求证： 不论取何值， 该方程都有两个不相等的实数根 【分析】（1） 把代入方程可求得的值， 再解方程可求得另一根；（2） 根据方程的系数结合根的判别式， 即可得出，由此可证出不论取何值， 方程必有两个不相等的实数根 【解答】（1） 解： 把代入方程可得，解得，当时， 原方程为，解得，即方程的另一根为 2 ；（2） 证明：，不论
20、取何值， 该方程都有两个不相等的实数根 【点评】本题考查了根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系为：， 也考查了根的判别式 25某天猫店销售某种规格学生软式排球， 成本为每个 30 元 以往销售大数据分析表明： 当每只售价为 40 元时， 平均每月售出 600 个；若售价每上涨 1 元， 其月销售量就减少 20 个， 若售价每下降 1 元， 其月销售量就增加 200 个 （1） 若售价上涨元， 每月能售出个排球 （用的代数式表示） （2） 为迎接“双十一”， 该天猫店在 10 月底备货 1300 个该规格的排球， 并决定整个 11 月份进行降价促销， 问售价定为多少元时， 能使 11 月
21、份这种规格排球获利恰好为 8400 元 【分析】（1） 由销售数量上涨价格， 即可得出结论；（2） 设每个排球降价元， 则 11 月份可售出该种排球个， 根据月利润单件利润月销售数量， 即可得出关于的一元二次方程， 解之取其较小值即可得出结论 【解答】解： （1） 根据题意得：故答案为：（2） 设每个排球降价元， 则 11 月份可售出该种排球个，根据题意得：，解得：，当时， 销量为，适合题意；当时， 销量为，舍去 答： 每个排球的售价为 37 元 【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 26列一元二次方程解应用题某公司今年 1 月份的纯利润是
22、20 万元， 由于改进技术， 生产成本逐月下降， 3 月份的纯利润是 22.05 万元 假设该公司 2 、 3 、 4 月每个月增长的利润率相同 （1） 求每个月增长的利润率；（2） 请你预测 4 月份该公司的纯利润是多少？【分析】（1） 设每个月增长的利润率为，根据 1 月份及 3 月份该公司的纯利润， 即可得出关于的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论；（2） 根据 4 月份该公司的纯利润月份该公司的纯利润增长率） ，即可求出 4 月份该公司的纯利润 【解答】解： （1） 设每个月增长的利润率为，根据题意得：，解得：，（不 合题意， 舍去） 答： 每个月增长的利润率为（2）（万 元） 答： 4 月份该公司的纯利润为 23.1525 万元 【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键
