1、高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，B=2，3，则ACUB（）A1，2B3，4C1D22函数的定义域是（）A（，1）B（1，+）C（1，1）（1，+）D（，+）3若a0且a1，那么函数y=ax与y=logax的图象关于（）A原点对称B直线y=x对称Cx轴对称Dy轴对称4若直线ax+2y+a1=0与直线2x+3y4=0垂直，则a的值为（）A3B3CD5直线a、b和平面，下面推论错误的是（）A若a，b，则abB若a，ab，则bC若ab，b，则a或aD若a，b，
2、则ab6正方体ABCDA1B1C1D1中与AD1垂直的平面是（）A平面DD1C1CB平面A1DBC平面A1B1C1D1D平面A1DB17已知函数f（2x）=log3（8x2+7），那么f（1）等于（）A2Blog339C1Dlog3158如图，点P、Q分别是正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线AD1、BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为（）A30B45C60D909将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）ABCD10已知函数f（x）的图象如图：则满足f（2x）f（lg（x26x+120）0的x的取值范围是（）A（，1B1，+）C0，+）D（，211若定义在R
3、上的函数f（x）满足：对任意x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）Af（x）为奇函数Bf（x）为偶函数Cf（x）+1为奇函数Df（x）+1为偶函数12设方程5x=|lgx|的两个根分别为x1，x2，则（）Ax1x20Bx1x2=1Cx1x21D0x1x21二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13计算：log3+lg25+lg4+=14一几何体的三视图，如图，它的体积为15已知直线l：kxy+12k=0（kR）过定点P，则点P的坐标为16已知f（x）=，g（x）=x24x4，若f（a）+g（b）=0，则b的取值范围为三、解答题（本
4、大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知三角形三顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：（1）过A点且平行与BC的直线方程； （2）AC边上的高所在的直线方程18已知函数f（x）=2x24x+a，g（x）=logax（a0且a1）（）若函数f（x）在1，2m上不具有单调性，求实数m的取值范围；（）若f（1）=g（1） （）求实数a的值； （）设，t2=g（x），当x（0，1）时，试比较t1，t2，t3的大小19如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，点F为PC的中点（1）求证：PA平面BDF；（2）求证：PCBD20函数f
5、（x）=ax（k1）ax（a0且a1）是定义域为R的奇函数（1）求k的值；（2）若f（1）0，试分析判断y=f（x）的单调性（不需证明），并求使不等式f（x2+tx）+f（4x）0恒成立的t的取值范围21在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，AC=1，BC=（1）证明：面SBC面SAC；（2）求点A到平面SCB的距离；（3）求二面角ASBC的平面角的正弦值22已知函数g（x）=mx22mx+1+n，（n0）在1，2上有最大值1和最小值0设f（x）=（其中e为自然对数的底数）（1）求m，n的值；（2）若不等式f（log2x）2klog2x0在x2，4上有解，求实数k的取值范围；（3）
6、若方程f（|ex1|）+3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，B=2，3，则ACUB（）A1，2B3，4C1D2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】已知集合A=1，2，B=2，3，根据补集的定义，求出CUB，再根据交集的定义，求出ACUB；【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，B=2，3，CUB=1，4，5，ACUB=1，故选C；2函数的定义域是（）A（，1）B（1，+）C（
7、1，1）（1，+）D（，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据分母不是0，以及对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可【解答】解：由题意得：，解得：x1或x1，故函数的定义域是（1，1）（1，+），故选：C3若a0且a1，那么函数y=ax与y=logax的图象关于（）A原点对称B直线y=x对称Cx轴对称Dy轴对称【考点】反函数【分析】利用互为反函数的图象关于直线y=x对称即可得出【解答】解：a0且a1，那么函数y=ax与y=logax互为反函数，因此其图象关于直线y=x对称故选：B4若直线ax+2y+a1=0与直线2x+3y4=0垂直，则a的值为（）A3B3CD【考点】直线的一般式方
8、程与直线的垂直关系【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出【解答】解：直线ax+2y+a1=0与直线2x+3y4=0垂直，解得a=3故选：B5直线a、b和平面，下面推论错误的是（）A若a，b，则abB若a，ab，则bC若ab，b，则a或aD若a，b，则ab【考点】命题的真假判断与应用【分析】A，由线面垂直的性质定理可判断；B，由线面垂直的判定定理可判断；C，由线面、线线垂直的判定定理可判断；D，若a，b，则ab或异面【解答】解：对于A，若a，b，则ab，由线面垂直的性质定理可判断A正确；对于B，若a，ab，则b，由线面垂直的判定定理可判断B正确；对于C，若ab，b，则a或a，由线面、线
9、线垂直的判定定理可判断C正确对于D，若a，b，则ab或异面，故D错；故选：D6正方体ABCDA1B1C1D1中与AD1垂直的平面是（）A平面DD1C1CB平面A1DBC平面A1B1C1D1D平面A1DB1【考点】直线与平面垂直的判定【分析】由AD1A1D，AD1A1B1，得到AD1平面A1DB1【解答】解：正方体ABCDA1B1C1D1中，在A中，AD1与平面DD1C1C相交但不垂直，故A错误；在B中，AD1与平面A1DB相交但不垂直，故B错误；在C中，AD1与平面A1B1C1D1相交但不垂直，故C错误；在D中，AD1A1D，AD1A1B1，A1DA1B1=A1，AD1平面A1DB1，故D正确
10、故选：D7已知函数f（2x）=log3（8x2+7），那么f（1）等于（）A2Blog339C1Dlog315【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法【分析】先由2x=1，解得x=，然后求f（1）的值【解答】解：因为函数f（2x）=log3（8x2+7），所以f（1）=f（2）=log3（8（）2+7）=log39=2所以f（1）=2故选A8如图，点P、Q分别是正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线AD1、BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为（）A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角【分析】如图所示，连接D1C，则PQD1C，A1BD1C则A1BC1是异面直线PQ和
11、BC1所成的角【解答】解：如图所示，连接D1C，则PQD1C连接A1C1，A1B，则A1C1B是等边三角形，A1BD1C则A1BC1是异面直线PQ和BC1所成的角，为60故选：C9将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）ABCD【考点】球内接多面体【分析】根据已知中，将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，结合正方体和圆的结构特征，就是正方体的内切球，我们可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案【解答】解：将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球时，球的直径等于正方体的棱长2，则球的半径R=1，则球的体积V=R3=故选A10已知函数f（x）的图象如图：则
12、满足f（2x）f（lg（x26x+120）0的x的取值范围是（）A（，1B1，+）C0，+）D（，2【考点】函数的图象【分析】由x26x+120100，可得lg（x26x+120）2，即f（lg（x26x+120）0，故有f（2x）0，2x 2，由此求得 x的范围【解答】解：由f（x）的图象可得，f（x）0，等价于x2；，f（x）0，等价于x2f（2x）f（lg（x26x+120）0，x26x+120=（x3）2+111100，lg（x26x+120）2，f（lg（x26x+120）0，f（2x）0，2x 2，x1，故选：A11若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2R有f（x1+x2
13、）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）Af（x）为奇函数Bf（x）为偶函数Cf（x）+1为奇函数Df（x）+1为偶函数【考点】函数奇偶性的判断【分析】对任意x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可【解答】解：对任意x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令x1=x2=0，得f（0）=1令x1=x，x2=x，得f（0）=f（x）+f（x）+1，f（x）+1=f（x）1=f（x）+1，f（x）+1为奇函数故选C12设方
14、程5x=|lgx|的两个根分别为x1，x2，则（）Ax1x20Bx1x2=1Cx1x21D0x1x21【考点】函数零点的判定定理【分析】构造f（x）=5x，g（x）=|lgx|，画出图象，判断两个函数零点位置，利用根的存在性定理得出即可【解答】解：f（x）=5x，g（x）=|lgx|的图象为：5x2（5x1）=lgx1+lgx2=lg（x1x2）lg（x1x2）=x1x20，x1x2（0，1），0x1x21故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13计算：log3+lg25+lg4+=4【考点】对数的运算性质【分析】利用对数和指数的运算性质即可得出【解答】解：原式=+lg
15、（254）+2=4故答案为：414一几何体的三视图，如图，它的体积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，根据三视图的数据，求出几何体的体积【解答】解：三视图复原的几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，侧棱垂直底面，所以几何体的体积是：SH=故答案为：15已知直线l：kxy+12k=0（kR）过定点P，则点P的坐标为（2，1）【考点】恒过定点的直线【分析】kxy2k1=0，化为y+1=k（x2），即可得出直线经过的定点【解答】解：kxy2k1=0，化为y+1=k（x2），kR，解得点P的坐标为（2，1）故答案为（2，1）16已知f（x）=，g（x
16、）=x24x4，若f（a）+g（b）=0，则b的取值范围为1，5【考点】分段函数的应用【分析】根据函数的单调性求出f（x）的值域，从而得到g（b）的取值范围，解一元二次不等式即可【解答】解：当x时，f（x）=ln（x+1）递增，可得f（x）ln2；当x，即20时，f（x）=+=（+1）211，0），则f（x） 的值域为1，+），由f（a）+g（b）=0，可得g（b）=f（a），即b24b41，解得1b5，即b的取值范围为1，5故答案为1，5三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知三角形三顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：（1）过
17、A点且平行与BC的直线方程； （2）AC边上的高所在的直线方程【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】（1）利用相互平行的直线斜率之间的关系即可得出（2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出【解答】解：（1）kBC=，与BC的直线的斜率k=故所求的直线为y0=（x4），化为xy4=0（2）kAC=，AC边上的高所在的直线的斜率k=AC边上的高所在的直线方程为，化为2x3y8=018已知函数f（x）=2x24x+a，g（x）=logax（a0且a1）（）若函数f（x）在1，2m上不具有单调性，求实数m的取值范围；（）若f（1）=g（1） （）求实数a
18、的值； （）设，t2=g（x），当x（0，1）时，试比较t1，t2，t3的大小【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）可得抛物线的对称轴为x=1，由题意可得112m；（）（i）由题意可得f（1）=0，即2+a=0；（ii）当x（0，1）时，易求t1，t2，t3的取值范围，由范围可得大小关系；【解答】解：（）抛物线y=2x24x+a开口向上，对称轴为x=1，函数f（x）在（，1单调递减，在1，+）单调递增，函数f（x）在1，2m上不单调，2m1，得，实数m的取值范围为；（）（）f（1）=g（1），2+a=0，实数a的值为2（），t2=g（x）=log2x，当x（0，1）时，t1（0，1），t
19、2（，0），t3（1，2），t2t1t319如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，点F为PC的中点（1）求证：PA平面BDF；（2）求证：PCBD【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）设BD与AC交于点O，利用三角形的中位线性质可得OFPA，从而证明PA平面BDF（2）由 PA平面ABCD 得PABD，依据菱形的性质可得 BDAC，从而证得 BD平面PAC，进而PCBD【解答】证明：（1）连接AC，BD与AC交于点O，连接OFABCD是菱形，O是AC的中点点F为PC的中点，OFPAOF平面BDF，PA平面BDF，PA平面BDF（2
20、）PA平面ABCD，PABD又底面ABCD是菱形，BDAC又PAAC=A，PA，AC平面PAC，BD平面PAC又PC平面PAC，PCBD20函数f（x）=ax（k1）ax（a0且a1）是定义域为R的奇函数（1）求k的值；（2）若f（1）0，试分析判断y=f（x）的单调性（不需证明），并求使不等式f（x2+tx）+f（4x）0恒成立的t的取值范围【考点】函数恒成立问题【分析】（1）利用奇函数的性质，f（0）=0，求解k即可（2）判断函数的单调性，利用函数的单调性，转化不等式利用函数恒成立，通过判别式求解即可【解答】解：（1）f（x）是定义域为R的奇函数，f（0）=0，1（k1）=0，k=2（2）
21、f（x）=ax（k1）ax（a0且a1），f（1）0，又a0且a1，0a1，y=ax单减，y=ax单增，故f（x）在R上单减，故不等式化为f（x2+tx）f（x4），x2+txx4，即x2+（t1）x+40恒成立，=（t1）2160，解得3t521在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，AC=1，BC=（1）证明：面SBC面SAC；（2）求点A到平面SCB的距离；（3）求二面角ASBC的平面角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【分析】（1）利用SAAB，SAAC，推出SA平面ABC，得到BCSA，结合BCAC，证明BC面SAC，然后说明
22、面SBC面SAC（2）过点A作AESC交SC于点E，推出AE为点A到平面SCB的距离，然后在RTSAC中，求解即可（3）过点C作CMAB交AB于点M，过点M作MNSB交SB于点N，说明CMN为所求二面角的平面角，在RTABC中，求解CM，在RTSBC中，求解CN，然后求解二面角ASBC的平面角的正弦值【解答】（1）证明：SAAB，SAAC，且ABAC=A，SA平面ABC，BC面ABC，BCSA，BCAC，ACAS=A，BC面SAC，面SBC面SAC（2）解：过点A作AESC交SC于点E，面SBC面SAC，且面SBC面SAC=SC，AE面SBC，即AE为点A到平面SCB的距离，在RTSAC中，即
23、点A到平面SCB的距离为（3）解：过点C作CMAB交AB于点M，过点M作MNSB交SB于点N，SA平面ABC，面SAB面ABC，CM面SAB，CMSB，MNCM=M，SB面CMN，CMN为所求二面角的平面角，在RTABC中，在RTSBC中，在RTCMN中，即二面角ASBC的平面角的正弦值22已知函数g（x）=mx22mx+1+n，（n0）在1，2上有最大值1和最小值0设f（x）=（其中e为自然对数的底数）（1）求m，n的值；（2）若不等式f（log2x）2klog2x0在x2，4上有解，求实数k的取值范围；（3）若方程f（|ex1|）+3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围【考点】二次
24、函数的性质【分析】（1）配方可得g（x）=m（x1）2+1+nm，当m0和m0时，由函数的单调性可得m和n的方程组，解方程组可得，当m=0时，g（x）=1+n，无最大值和最小值，不合题意，综合可得；（2）由（1）知，问题等价于即在x2，4上有解，求二次函数区间的最值可得；（3）原方程可化为|ex1|2（3k+2）|ex1|+（2k+1）=0，令|ex1|=t，记h（t）=t2（3k+2）t+2k+1，可得或，解不等式组可得【解答】解：（1）配方可得g（x）=m（x1）2+1+nm，当m0时，g（x）在1，2上是增函数，由题意可得，即，解得；当m=0时，g（x）=1+n，无最大值和最小值，不合题意；当m0时，g（x）在1，2上是减函数，由题意可得，即，解得，n0，故应舍去综上可得m，n的值分别为1，0（2）由（1）知，f（log2x）2klog2x0在x2，4上有解等价于在x2，4上有解即在x2，4上有解令则2kt22t+1，记（t）=t22t+1，k的取值范围为（3）原方程可化为|ex1|2（3k+2）|ex1|+（2k+1）=0令|ex1|=t，则t（0，+），由题意知t2（3k+2）t+2k+1=0有两个不同的实数解t1，t2，其中0t11，t21或0t11，t2=1记h（t）=t2（3k+2）t+2k+1，则或解得k0，实数k的取值范围是（0，+）
