1、2019届甘肃省兰州市高考一诊数学试题（文）一、单选题1已知集合A=xN|-1x4，则集合A中的元素个数是（）A3B4C5D6【答案】B【解析】先根据集合A的限制条件，确定A中的元素，然后可得元素个数.【详解】集合A=xN|-1x4=0，1，2，3即集合A中的元素个数是4 故选：B【点睛】本题主要考查集合的表示，根据元素的限定条件确定集合的元素，是求解关键.2（-1+i）（2i+1）=（）ABCD【答案】C【解析】利用复数的乘法进行运算，注意.【详解】（1+i）（2i+1）=2i1+2i2+i=3i 故选：C【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，侧重考查数学运算的核心素养.3若双曲线=1（a0，
2、b0）的实轴长为4，离心率为，则其虚轴长为（）ABCD【答案】B【解析】利用实轴长为4，可得a，结合离心率可得c，再根据可得虚轴长.【详解】根据题意，若双曲线=1（a0，b0）的实轴长为4，即2a=4，则a=2，又由双曲线的离心率e=，则有e，则c= a=2，则b=，则该双曲线的虚轴长2b=4；故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的性质，注意到是求解的桥梁，侧重考查数学运算的核心素养.4已知向量，的夹角为，=-3，|=2，则|=（）ABCD3【答案】D【解析】利用数量积的运算公式可求.【详解】的夹角为；故选：D【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，侧重考查数学运算的核心素养.5某区要从参加扶
3、贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是（）ABCD【答案】D【解析】先求基本事件总数，再求A或B被选中的对立事件，从而可得.【详解】某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n=10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，则A或B被选中的概率是P=1故选：D【点睛】本题主要考查古典概型的求解，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6朱世杰是元代著名数学家，他所著算学启蒙是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作算学启蒙中提到一些堆垛问题，如“三角垛果
4、子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1，3，6，10，现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为（）A50B55C100D110【答案】B【解析】根据题意归纳出本质是等差数列求和问题，利用求和公式可得.【详解】由题意可得每层果子数分别为1，3，6，10，即为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，其最底层每边果子数为10，即有该层的果子数为1+2+3+10=1011=55故选：B【点睛】本题主要考查以数学传统文化为背景的数列求和问题，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.7已知函数f（x）=xln，a=f（），b=f（
5、），c=f（），则以下关系成立的是（）ABCD【答案】A【解析】把所比较的值代入函数，化简，结合对数函数的单调性可求.【详解】,；cab故选：A【点睛】本题主要考查对数式大小的比较，构造同系数或者同底数的对数式是求解关键.8如图所示是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n是（）A168B169C336D338【答案】A【解析】结合循环结构找到周期，再求出n的值.【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出1到2019中满足条件sin=1的k的个数n的值，由 =1，又正弦函数的性质可知函数的取值周期为12，且2019=12168+3，可得：n=168故选：A【点睛】本题主要考
6、查利用程序框图的求解输出值，求解策略是“还原现场”，侧重考查逻辑推理的核心素养.9若点P是函数y=图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l斜率的范围是（）ABCD【答案】C【解析】先求导数，结合导数的几何意义可知，导数的范围就是切线的斜率的范围.【详解】 1sin2x1，01+sin2x2，则直线l斜率的范围是1，+）故选：C【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究曲线的切线的斜率问题，侧重考查数学运算的核心素养.10在四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（）ABCD【答案】D【解析】先建立空间直角
7、坐标系，写出点的坐标，求解两个向量的夹角的余弦，再转化为异面直线所成角的余弦.【详解】由题意，建立如图的空间坐标系，底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，PD底面ABCD，点A（1，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（1，1，0），则，异面直线PA与BD所成角的余弦值为故选：D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，利用空间向量能简化推理过程.11已知点F1，F2是椭圆=1（ab0）的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q在射线F1P的延长线上，且|=|，若|的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】C【解析】利用|的最小值为1，最大值为9，可得a,c的值
8、，从而可得椭圆的离心率.【详解】因为的最小值为1，最大值为9，|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1，a=5，c=4椭圆的离心率为e=，故选：C【点睛】本题主要考查椭圆的性质，求解椭圆的离心率，主要是寻求a,b,c之间的关系式.12已知函数f（x）=x2+ln（|x|+1），若对于x1，2，f（ax2）f（3）恒成立，则实数a的范围是（）ABCD【答案】A【解析】先根据函数解析式的特点，确定函数的奇偶性和单调性，再利用分离参数法求解.【详解】函数f（x）=x2+ln（|x|+1）的定义域为R，且f（x）=（x）2+ln（|x|+1）=x2+ln（|x|+1）=f（x），所以f（x）
9、为R上的偶函数，且在0，+）上为增函数；所以对于x1，2，f（ax2）f（3）恒成立，等价于|ax2|3在x1，2上恒成立；即|a|在x1，2上恒成立，所以|a|，解得a；所以实数a的范围是故选：A【点睛】本题主要考查函数的性质，利用性质求解不等式问题时，一般是结合单调性处理，侧重考查数学运算的核心素养.二、填空题13已知数列an中，an+1=2an对nN成立，且a3=12，则a1=_【答案】3【解析】利用递推公式an+1=2an，可以逐步得出a1。【详解】12=a3=2a2，a2=6， 6=a2=2a1，a1=3 故答案为：3【点睛】本题主要考查利用数列的递推关系式求解数列中的项，侧重考查逻
10、辑推理的核心素养.14若实数x，y满足约束条件，则z=2xy必有最_值（填“大”或“小”）【答案】大【解析】作出可行域，平移目标函数，观察函数的变化情况可得.【详解】实数x，y满足约束条件的可行域如图：则z=2xy如图中的红色直线，可知目标函数结果A时截距取得最小值，此时在取得最大值，故答案为：大【点睛】本题主要考查线性约束条件下，线性目标函数的最值情况，作出可行域，结合图形可以判断，侧重考查直观想象的核心素养.15已知sin+cos=，sincos，则tan=_【答案】【解析】先利用平方关系和条件解得sin，cos，再利用商关系可得正切.【详解】，即2sincos=又cos2+sin2=1，
11、且sincos，sin=，cos=，tan=故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数同角基本关系式，平方关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16已知函数f（x）=alnx+，当a（）时，函数的零点个数为_【答案】1【解析】先求导数，判断函数的单调性，结合零点存在性定理可得.【详解】函数f（x）=，可得f（x）= x，a（）时，f（x）0，函数是减函数，所以函数函数f（x）=alnx，当a（）时，函数的零点个数为1故答案为：1【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，函数零点问题一般是结合函数的图象变化情况进行判定.三、解答题17已知锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
12、，b+c=10，a=，5bsinAcosC+5csinAcosB=3a（1）求A的余弦值；（2）求b和c【答案】（1）；（2）b=c=5【解析】（1）把条件5bsinAcosC+5csinAcosB=3a中的边化为角，可求A的正弦值，结合平方关系可得A的余弦值;（2）利用余弦定理可求.【详解】（1）5bsinAcosC+5csinAcosB=3a，由正弦定理可得：5sinBsinAcosC+5sinCsinAcosB=3sinA，sinA0，5sinBcosC+5sinCcosB=3，可得：sin（B+C）=，B+C=A，sinA=，A（0，），cosA=；（2）a2=b2+c22bccosA
13、=（b+c）22bc（1+cosA），又b+c=10，a=，解得：bc=25，解得：b=c=5【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，已知条件中进行边角互化是求解的常用策略.18“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑训练天数不
14、大于2天3天或4天不少于5天人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列22列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计附：k2=（n为样本容量）P（k2k0）0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.02
15、46.6357.87910.828【答案】（1）4000；（2）不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关【解析】（1）利用样本数据的频率进行估计总体人数；（2）计算卡方的数值，根据临界值表进行判断.【详解】（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000=4000（2）热烈参与者非热烈参与者合计男35105140女55560合计40160200K2=7.2926.635，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关【点睛】本题主要考查独立性检验，利用样本估计总体，侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.19已知曲
16、线C上的任意一点到直线l：x=的距离与到点F（）的距离相等（1）求曲线C的方程；（2）若过P（1，0）的直线与曲线C相交于A，B两点，Q（1，0）为定点，设直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，直线AB的斜率为k，证明：为定值【答案】（1）y2=2x；（2）见解析【解析】（1）利用抛物线的定义可求抛物线的方程；（2）联立方程得出韦达定理，求出斜率的表达式，代入可得.【详解】（1）由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，p=1抛物线的方程为y2=2x；（2）根据已知，设直线AB的方程为y=k（x1）（k0），由，可得ky22y2k=0设A（），B（），则，y1y2=2，=【点睛】本题主要考查
17、抛物线方程的求解，抛物线中的定值问题，侧重考查数学运算的核心素养.20如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PCD为正三角形，BAD=30，AD=4，AB=2，平面PCD平面ABCD，E为PC中点（1）证明：BEPC；（2）求多面体PABED的体积【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）先证明PC面BDE，再证明BEPC；（2）先求的体积，再求的体积，从而可得多面体PABED的体积【详解】（1）BD2=AB2+AD22ABADcosBAD=4，BD=2，ABD=90，BDCD，面PCD面ABCD，面PCD面ABCD=CD，BD面PCD，BDPC，PCD是正三角形，E
18、为PC的中点，DEPC，PC面BDE，BEPC（2）作PFCD，EGCD，F，G为垂足，面PCD面ABCD，PF面ABCD，EG面ABCD，PCD是正三角形，CD=2，PF=3，EG=，VP-ABCD=4，=，多面体PABED的体积V=VP-ABCD-VE-BCD=4=3【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明和几何体体积的求解，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.21已知函数f（x）=x3（a2+a+2）x2+a2（a+2）x，aR（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）的极值点【答案】（1）递增区间为（-，+）；（2）见解析【解析】（1）先求解导数，利用导数
19、取值的正负可得单调区间；（2）先求解导数，结合导数零点情况判断函数极值点的情况.【详解】（1）当a=1时，=x22x+1=（x1）20，故函数在R内为增函数，单调递增区间为（-，+）（2）=x2（a2+a+2）x+a2（a+2）=（xa2）x（a+2），当a=1或a=2时，a2=a+2，0恒成立，函数为增函数，无极值；当a1或a2时，a2a+2，可得当x（，a+2）时，0，函数为增函数；当x（a+2，a2）时，0，函数为减函数；当x（a2，+）时，0，函数为增函数当x=a+2时，函数有极大值f（a+2），当x=a2时，函数有极小值f（a2）当1a2时，a2a+2可得当x（-，a2）时，0，函数
20、为增函数；当x（a2，a+2）时，0，函数为减函数；当x（a+2，+）时，0，函数为增函数当x=a+2时，函数有极小值f（a+2）；当x=a2时，函数有极大值f（a2）综上可得：当a=1或a=2时，函数无极值点；当a1或a2时，函数有极大值点a+2，函数有极小值点a2；当1a2时，函数有极大值点a2，函数有极小值点a+2.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值点问题，函数的极值点为导数的变号零点，侧重考查数学运算的核心素养.22已知曲线E的极坐标方程为4（2-4）sin2=（16-2）cos2，以极轴为x轴的非负半轴，极点O为坐标原点，建立平面直角坐标系（1）写出曲线E的直角坐标方
21、程；（2）若点P为曲线E上动点，点M为线段OP的中点，直线l的参数方程为（t为参数），求点M到直线l的距离的最大值【答案】（1）x2+4y2=16；（2）【解析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式求解；（2）先求出点M的坐标，再利用点到直线的距离公式可求最值.【详解】（1）由4（24）sin2=（162）cos2得42sin2+2cos2=16，利用互化公式可得x2+4y2=16；所以曲线E的直角坐标方程为：x2+4y2=16（2）直线l的普通方程为：x2y+3=0，设P（4cos，2sin），则M（2cos，sin）点M到直线l的距离d=【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的相互转化及利用
22、参数方程求解最值问题，侧重考查了数学建模和数学运算的核心素养.23已知a0，b0，a+b=4，mR（1）求+的最小值；（2）若|x+m|x2|+对任意的实数x恒成立，求m的范围【答案】（1）1；（2）-3m1【解析】（1）结合条件构造均值定理的结构形式，利用均值定理求解最小值；（2）根据第（1）问可得+的最小值，求|x+m|x2|的最大值小于等于+的最小值.【详解】（1）a0，b0，a+b=4，+=（+）（a+b）=（2+）（2+2）=1，当且仅当a=b=2时取“=”；+的最小值为1；（2）若|x+m|x-2|+对任意的实数x恒成立，则|x+m|x-2|对任意的实数x恒成立，即|x+m|x-2|1对任意的实数x恒成立；|x+m|x-2|（x+m）（x-2）|=|m+2|，即|m+2|1，-1m+21，解得3m1，m的取值范围是3m1【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法和利用均值定理求解最值，侧重考查数学运算的核心素养.
