1、1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编复数部分2019A 11、称一个复数数列为“有趣的”，若，且对任意正整数，均有，求最大的常数，使得对一切有趣的数列及任意正整数，均有。解析：考虑有趣的复数数列归纳地可知 由条件得（），解得（），因此，故（）进而有记（）则当为偶数时，记，由得。当为奇数时，记，由得，故当时，综上知满足要求。另一方面，当，（），时，易验证得为“有趣的”数列，此时，这表明，综上知。2019B 11. （本题满分20分）设复数数列满足：，且对任意正整数，均有，证明：对任意正整数，均有。证明：归纳地可知 由条件得（），解得（），因此，故（）进而有记（）则当为偶数时，记，由得
2、。当为奇数时，记，由得，故综上知结论获证。2018A 6、设复数满足，使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为 答案：解析：设（，且）则原方程变为，所以，若，则，解得，检验得，即；若，则由知或，检验得：，代入 得，所以；综上满足条件的所有复数之和为2018B 8、已知复数满足，其中是给定的实数，则的实部是 （用含有的式子表示）答案： 解析:记，由复数的模的性质可知：，因此。于是解得。2017A 11、（本题满分20分）设复数满足，且，（其中表示复数的实部）求的最小值；求的最小值。解析：对，设，（），由条件知，因此：又当时，这表明的最小值为。对于，设，（），将对应到平面直角坐标系中的点，记是关于
3、轴的对称点，则，均位于双曲线的右支上。设分别是双曲线的左右焦点，易知。根据双曲线的定义，有,，进而得到: ,等号成立当且仅当位于线段上（例如，当时，恰是的中点）。综上可知，的最小值为。2017B 2、设复数满足，则的值为 答案：解析：设，由条件得，比较两边实虚部可得，解得：，故，进而.2016A 2、设复数，满足，其中是虚数单位，分别表示复数，的共轭复数，则的模为 答案：解析：由运算性质，因为与为实数，故，又，所以，从而因此，的模为2016B 3、已知复数满足（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为 答案：解析：设由知，比较虚、实部得又由知，从而有即，进而于是，满足条件的复数的积为2015A
4、3、已知复数数列满足，其中为虚数单位，表示的共轭复数，则的值为 答案：2015 + 1007i解析：由己知得，对一切正整数n，有,于是2006*8、对一切，复数的模不超过，则实数的取值范围为 答案：解析：依题意，得 （）（对任意实数成立）. 故 的取值范围为。2002*7、已知复数满足,若它们所对应向量的夹角为,则 答案：解析：由余弦定理得,可得 =2001*8、若复数满足，则 答案：解析：由3z1-2z2=可得本题也可设三角形式进行运算2000*6、设，则以为根的方程是( )A. B. C. D. 答案：B解析：由于，故都是方程的根又选B1999*8、已知，那么，复数的辐角主值是_ 答案：解
5、析： 的辐角主值。1999*二、（本题满分50分）给定实数，已知复数满足：，求的值。解析：记，则设，则，根据题设得，则其虚部（利用和差化积公式）即，得或或，所以或或，若，代入原式得，得或，此时。若，同理可得， 若，同理可得，综上所述，值有或或。1998*8、设复数 ()，复数,在复平面上对应的三个点分别是，当不共线时，以线段，为两边的平行四边形的第四个顶点为，则点到原点距离的最大值是_.答案：解析：因为,即即当，即时，取得最大值1998*13、（本题满分20分）已知复数 ()，求的共轭复数的辐角主值。解析：即当时，即1997*9、已知复数满足，则的幅角主值范围是 答案：，（）解析：记，则等价于
6、，这个等式成立等价于关于的二次方程有正根所以，解得。即所以，（） 辐角主值为1997*15、（本题满分20分）设非零复数满足：，其中为实数，。求证：复数在复平面上对应的点位于同一圆周上。证明：设，则由下式得得或，故，或 若，则得即 由已知，有，且令，()则，所以，又，即，所以，故() 再令，()同理可得或 若，则为实数此时此时，或此时，由，知此时， 若，仍有，故此五点在同一圆周上 若即，此时，即此五点在同一圆上综上可知，表示复数在复平面上所对应的点位于同一圆周上1996*8、复平面上非零复数在以为圆心为半径的圆上，的实部为零，的辐角主值为，则_答案：解析：满足；，得，设的辐角为()，则所以，若
7、其实部为0，则，于是，。1995*2、设复平面上单位圆内接正边形的个顶点所对应的复数依次为，则复数所对应的不同的点的个数是( ) A. B. C. D.答案：A解析：设，则，其中显然 共有4个值选A1995*7、设为一对共轭复数，若，且为实数，则_答案：解析：设，()，则 设，则可取，(因为只要求，故不必写出所有可能的角)则，于是1994*一、（本题满分25分）关于的二次方程，其中均是复数，且，设这个方程的两个根为，满足 ，求的最大值和最小值。解析：设 ()则设的平方根为()，即，即，所以，即，即表示复数的点在圆上，该点与原点距离的最大值为，最小值为1993*6、设为非零复数，为虚数单位，则方
8、程与在同一复平面内的图形(为焦点)是( )答案：B解析：方程为椭圆，为双曲线的一支二者的焦点均为，由，故否定A，由于为椭圆的长轴，而C中两个焦点与原点距离(分别表示)均小于椭圆长轴，故否定C由B与D知，椭圆的两个个焦点都在轴负半轴上，由为长轴，知，于是，曲线上一点到距离大，否定D，故选B1993*7、二次方程 (为虚数单位，)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为_答案：解析：即此方程没有实根的条件当时，此方程有两个复数根，若其有实根，则，且相减得当时，此二方程相同，且有两个虚根故在取值范围内当时，代入得即时，原方程有实根故所求范围是1993*9、若，则的值是_ _答案：解析：如图，可知表示复
9、数1992*5、设复数在复平面上对应的点分别为，且，为坐标原点，则的面积为( )A. B. C. D. 答案：A解析：注意到，的夹角为所以选A1992*10、设都是复数，且，则的值是_答案：解析：,即，或 1991*11设复数满足，则 答案：解析：由，得由于，故故1990*5设非零复数满足，则代数式的值是( )A. B. C.1 D.以上答案都不对答案：B解析：记或，其中且若，则得若，则得选B1989*1若是锐角ABC的两个内角，则复数在复平面内所对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案：B解析：由于故，所以，故,即点位于第二象限选B1988*11、（本题满分15分）复平面上动点的轨迹方程为，为定点，另一个动点满足，求点的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置。解析：，故得，即即以为圆心为半径的圆1986*2、 设为复数，那么( ) A B C D答案：B解析：即，即，得或，即为实数选B1985*5、 设为复数，关于的方程有下面四个结论：是这个方程的解； 这个方程只有一解；这个方程有两解； 这个方程有无穷多解则( )A只有、正确 B只有、正确 C只有、正确 D以上A、B、C都不正确 答案：A解析：原式两端取共轭：，乘以再取共轭：，相加，由，得方程有唯一解选A
