1、2019年全国及各省市高考数学试题分类汇编（04导数及其应用）1.（全国文）曲线在点处的切线方程为( )A. B.C. D.答案：C解析：因为，所以曲线在点处的切线斜率为，故曲线在点处的切线方程为.2.（全国文/理）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）A., B.,C., D.,答案：D解析：令，则，得.又，可得.故选D.3.（全国文/理）曲线在点处的切线方程为 .答案：解析：，结合导数的几何意义可知曲线在点处的切线方程的斜率为，切线方程为.4.（北京理）设函数（为常数）.若为奇函数，则 ；若是上的增函数，则的取值范围是 .答案：；解析：是奇函数，解得；是上的增函数，恒成立，即，解得.5.（天
2、津文）曲线在点处的切线方程为 .答案：解析：，当时其值为，故所求的切线方程为，即.6.（江苏）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是 .答案：解析：设，由于，则过点的切线斜率为，故过点切线方程为.由题知该切线过点，则，整理得，设，且，则，令，解得，当时，；当时，则，则在上单调递减，上单调递增，当时，则，故当时，单调递减且均为负，同时因为，且当时，单调递增，则有唯一解，而，所以方程有唯一解，即，故点坐标为，即. 7.（全国文）已知函数，是的导数.（1） 证明：在区间存在唯一零点；（2） 若时，求的取值范围.解析：由题意得令，当时，单调递增，当
3、时，单调递减，的最大值为，又，即，在区间存在唯一零点.（2）由题设知，可得.由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.又，所以，当时，.又当，时，故.因此，的取值范围是.8.（全国理）已知函数,为的导函数.证明：(1)在区间存在唯一极大值点；(2)有且仅有个零点.解析：(1)对进行求导可得，取，则,在内为单调递减函数，且，所以在内存在一个，使得，所以在内，为增函数；在内，为减函数，所以在在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）可知当时，单调增，且，可得则在此区间单调减；当时，单调增，且，则在此区间单调增；又则在上有唯一零点.当时，单调减，且，则存在唯一的，使得
4、，在时，单调增；当时，单调减，且，所以在上无零点；当时，单调减，单调减，则在上单调减, ,所以在上存在一个零点.当时，恒成立，则在上无零点.综上可得，有且仅有个零点.9.（全国文）已知函数.证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.解析：（1），设，则在上递增，所以存在唯一，使得，当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以存在唯一的极值点.（2）由（1）知存在唯一，使得，即，所以函数在上，上分别有一个零点.方法一：设函数在上有，所以是函数在上一个零点，所以有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.方法二：设，则，有，设，当时，恒有，则时，有.10.（全国理）已知函数（
5、1）讨论函数的单调性，并证明函数有且只有两个零点；（2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线。解析：（1）函数的定义域为，又，所以函数在上单调递增，又，所以在区间存在一个零点，且，所以在区间上也存在一个零点，所以函数有且只有2个零点；（2）因为是函数的一个零点，所以有。曲线在处的切线方程为，曲线曲线当切线斜率为时，切点坐标为，切线方程为，化简为，所以曲线在处的切线也是曲线的切线.11.（全国文）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.解析：当时，此时在单调递增.当时，令，解得或，令，解得.此时在单调递增，在单调递减.当时，令，解得或，
6、令，解得.此时在单调递增，在单调递减.综上可得，当时，在单调递增.当时，在单调递增，在单调递减.当时，在单调递增，在单调递减.（2）由（1）中结论可知，当时，在单调递减，在单调递增.此时当时，令，则，在单调递减.又，即.当时，综上，当时，的取值范围是.12.（全国理）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.解析：当时，此时在单调递增.当时，令，解得或，令，解得.此时在单调递增，在单调递减.当时，令，解得或，令，解得.此时在单调递增，在单调递减.综上可得，当时，在单调递增.当时，在单调递增，在单调递减.当时，在单调递
7、增，在单调递减.（1） 由（1）中结论可知，当时，在单调递增，此时，满足题意.当时，若，即，则在单调递减，此时，满足题意.若，即，则在单调递减，在单调递增.此时当时，由可得，与矛盾，故不成立.当时，由可得，与矛盾，故不成立.综上可知，或满足题意.13.（北京文）已知函数.（）求曲线的斜率为的切线方程；（）当时，求证：；（）设，记在区间上的最大值为.当最小时，求的值.解析：（I）由题意得，解得，当时，切点为，当时，切点为，整理得，综上，切线方程为或.（II）要证，即证，设，得到，随的变化情况如下表：其中，当时，即.（III），当时，当时，或，当时，或或，最小值为时，.14.（北京理）已知函数.（
8、）求曲线的斜率为的切线方程；（）当时，求证：；（）设，记在区间上的最大值为.当最小时，求的值.解析：（），令，解得或.又，所求切线方程为和.（）令，.令，得或，随的变化情况如下表：，.在上的最大值为，最小值为.，即.（）由（）知，.当时，由（）知，.当时，.当时，.当时，.综上，当取得最小值时，.15.（天津文）设函数，其中.（1）若，讨论的单调性；（2）若.（i）证明恰有两个零点；（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.解析：（1）由已知的定义域为，且.因此当时，从而，所以在内单调递增.（2）证明：（i）由（1）知，.令，由，可知在内单调递减，又，且，故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨
9、设，则.当时，所以在内单调递增；当时，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，故在内单调递减，从而当时，所以，从而，又因为，所以在内有唯一零点.又在内有唯一零点，从而，在内恰好有两个零点.（ii）由题意，即，从而，即.因为当时，又，故，两边取对数，得，于是，整理得.16.（天津理）设函数，为的导函数.（1）求的单调区间；（2）当时，证明；（3）设为函数在区间内的零点，其中，证明.解析：（1）由已知，有，因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增.所以，的单调递增区间为，的单调递减区间为.（2）记，依题意及（1），有，从而，当时，故.因此在区间上单调递减，进而.所以，当时
10、，.（3）证明：依题意，即.记，则，且.由及（1），得.由（2）知，当时，所以在上为减函数，因此.又由（2）知，故所以，.17.（浙江）已知实数，设函数.（1）当时，求函数单调区间；（2）对任意，恒成立，求的取值范围.解析：（）当时，所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）（）由，得当时，等价于令，则设 ，则（i）当 时，则记，则.故1-0+单调递减极小值单调递增所以， 因此，（ii）当时，令 ，则，故在上单调递增，所以由（i）得所以，因此由（i）（ii）得对任意，即对任意，均有综上所述，所求a的取值范围是18.（江苏）设函数，为的导函数.（1）若，求的值；（2）若，且和的零点均在集合中，求的极小值；（3）若，且的极大值为，求证：.解析：（1）因为，所以.因为，所以，解得.（2）因为，所以，从而.令，得或.因为，都在集合中，且，所以，.此时，.令，得或.列表如下：所以的极小值为.（3）因为，所以，.因为，所以，则有个不同的零点，设为，.由，得，.列表如下：所以的极大值.因此.
