1、11.2 与三角形有关的角11.2.1 11.2.1 三角形的内角三角形的内角七楼A座办公家园第1页，共32页。三角形内角和定理的证明0 1 2 3 4 5 6 7 80 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5七楼A座办公家园第2页，共32页。在一个直角三角形里住着三个内角，平在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样你凭什么度数最大，我也要和你一样大！大！”“”“不行啊！不行啊！”老大说：老大说：“这是不可能这
2、是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来的，否则，我们这个家就再也围不起来了了”“”“为什么？为什么？”老二很纳闷。老二很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争内角三兄弟之争七楼A座办公家园第3页，共32页。把三个角拼在一起试试看？把三个角拼在一起试试看？你有什么办法可以验证呢你有什么办法可以验证呢?言必有言必有“据据”:三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.七楼A座办公家园第4页，共32页。如果不实际移动角如果不实际移动角,那么你那么你还有其它方法可以达到同样还有其它方法可以达到同样的效果吗的效果吗?言必有言必有“据据”:你的拼法有哪些呢？
3、你的拼法有哪些呢？说说你这样做理由。说说你这样做理由。七楼A座办公家园第5页，共32页。证法证法1：延长延长BCBC到到CDCD，在，在ABCABC的外部，的外部，以以CACA为一边为一边，CECE为另一边作为另一边作1=A1=A，1=A1=A CEBA CEBA(内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行)B=2 B=2(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)又又1+2+ACB=1801+2+ACB=180 A+B+ACB=180A+B+ACB=18021EDCBA 三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.注意注意:辅助线应该用虚线表示辅助线应该用虚线表示七楼A座办公家园第6
4、页，共32页。证法证法2：延长延长BCBC到到D D，过，过C C作作CEBACEBA，CEBACEBA A=1 A=1(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)B=2 B=2(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)又又1+2+ACB=1801+2+ACB=180 A+B+ACB=180 A+B+ACB=18021EDCBA 三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.七楼A座办公家园第7页，共32页。证法证法3：过过A作作EFBA，EFBAEFBA B=2(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)C=1(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)又又 2+1+BAC=1
5、80 B+C+BAC=180F21ECBA 三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.七楼A座办公家园第8页，共32页。开启 智慧你还有其他方法来证明三你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？角形内角和定理吗？添加辅助线思路：添加辅助线思路：1、构造平角、构造平角2、构造同旁内角、构造同旁内角ABCE图1EABCDF图2ANBCTS图3PQRMANBCTS图4PQRM（ABCEDF（1234（图5）AE）12BCD图6 七楼A座办公家园第9页，共32页。三角形内角和定理三角形内角和定理w三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0.wAB
6、C中中,A+B+C=A+B+C=1800.w三角形内角和定理三角形内角和定理的几种变形的几种变形:wA=A=1800(B+C).(B+C).wB=B=1800(A+C).(A+C).wC=C=1800(A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w这里的结论,以后可以直接运用.ABC七楼A座办公家园第10页，共32页。我是最棒的我是最棒的w直角三角形的两锐角之和是多少度直角三角形的两锐角之和是多少度?w等边三角形的一个内角是多少度等边三角形的一个内角是多少度?w请说明你的结论请说明你的结论.随堂练习随堂练习w
7、结论结论:直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接运用以后可以直接运用.ACBABC七楼A座办公家园第11页，共32页。七楼A座办公家园第12页，共32页。7060 三角形中最大的角是三角形中最大的角是 ，那么这个三角形那么这个三角形 是锐角三角形。（是锐角三角形。（）2 一个三角形中最多只有一个钝角或直角。（一个三角形中最多只有一个钝角或直角。（）3 一个等腰三角形一定是锐角三角形。（一个等腰三角形一定是锐角三角形。（）4 一个三角形最少有一个角不大于一个三角形最少有一个角不大于 。（）动脑筋：动脑筋：七楼A座办公家园第13页，共32页。DCBAE已知已知:如图在如图在
8、ABC中，中，DEBC,DEBC,A=A=600,C=C=700.求求 ADEADE的度数。的度数。模型应用模型应用解：解：DEBC且且C=70AED=C=70(两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等)在在 ADE中A=60A+ADE+AED=180(三角形内角和定理三角形内角和定理)ADE=18060 7050七楼A座办公家园第14页，共32页。11.2.2 11.2.2 三角形的外角三角形的外角七楼A座办公家园第15页，共32页。温故引新温故引新 1 1、请你从顶点、请你从顶点C C处画出下列各三角形的外角。处画出下列各三角形的外角。ABCABCABC七楼A座办公家园第16页，共32页
9、。2PABCD12 2、观察下图，、观察下图，比一比，看谁说的好比一比，看谁说的好 图(1)（1 1）11是哪个三角形的外角？是哪个三角形的外角？（2 2）22是哪个三角形的外角？是哪个三角形的外角？1是ABD的外角2是PDC的外角七楼A座办公家园第17页，共32页。拼一拼，比谁拼的快，拼的好拼一拼，比谁拼的快，拼的好3 3、同学们！在小学我们已经知道了三角、同学们！在小学我们已经知道了三角形的内角和等于形的内角和等于180180.你还能想起是怎样得到的吗？你还能想起是怎样得到的吗？尽力想一想，你能想出多少种拼法?ABC七楼A座办公家园第18页，共32页。问题：问题：三角形的外角与内角有什么关
10、系？三角形的外角与内角有什么关系？发现：发现：ACD+ACB180ACDA+B（相邻）（相邻）（不相邻）（不相邻）提出问题提出问题 首先，从相等关系出发，观察我们最熟悉的这个三角板1、三角形的一个外角等于与它、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；不相邻的两个内角的和；ABCDABCDABCDABCD七楼A座办公家园第19页，共32页。怎样用数学说理的方法来推导这个结论呢？探索探索1 180 ABCA+C+ABC=180(三角形的内角和为三角形的内角和为180)A+C=_ABC+CBD=180（邻补角）邻补角）CBD=_180 ABC CBD A+CDCAB三角形外角与内三角形外角与内
11、角有怎样的不等角有怎样的不等关系呢？关系呢？2、三角形的一个外角大于任何、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。一个与它不相邻的内角。七楼A座办公家园第20页，共32页。说出下列各图中说出下列各图中1的度数。的度数。初试身手初试身手 13060（1）351120（2）145 50（3）七楼A座办公家园第21页，共32页。如图：如图：D D是是ABCABC的的BCBC边上一点，边上一点，B BBADBAD，ADCADC8080，BACBAC 70 70求：（）求：（）B B的度数；的度数；（）（）C C的度数的度数C CD DB BA A80800 07 70 00 0 试一试试一试 A
12、D平分BAC七楼A座办公家园第22页，共32页。你能用“”表示1、A的关系么？试试看。你还能用你还能用“”表示表示1、2、A的关系的关系么？再试试看。么？再试试看。2PABCD1 再试身手再试身手 七楼A座办公家园第23页，共32页。探索探索2 如图，如图，1+_=180 2+_=180 3+_=1801+2+3+_+_+_=_又又ACB+BAC+ABC=1801+2+3=_ABC BAC ACBABC BACACB360540归纳结论归纳结论：三角形的外角和等于三角形的外角和等于360七楼A座办公家园第24页，共32页。说出下列各图中说出下列各图中1的度数。的度数。大展身手大展身手 ABCD
13、30354012(4)七楼A座办公家园第25页，共32页。ABCD下图是某工厂生产的一种零件，如果三个下图是某工厂生产的一种零件，如果三个锐角的和为锐角的和为135135，则说明该零件合格，工，则说明该零件合格，工人师傅却只测量人师傅却只测量ADCADC的度数就能判断零件的度数就能判断零件是否合格，你能解释其中的道理么是否合格，你能解释其中的道理么?生活中离不开数学生活中离不开数学 E说说 出出 下下 列列 各各 图图 中中 1的的 度度 数数。初初 试试 身身 手手ABCD30354012(4)七楼A座办公家园第26页，共32页。课堂小结课堂小结 这节课你有哪些收获？、三角形的外角性质、三角
14、形的外角和、应用七楼A座办公家园第27页，共32页。1、如图所示，AB/CD，A37,F26，那么C等于（）FABECDA、26B、63C、37D、60 课堂检测课堂检测 七楼A座办公家园第28页，共32页。2、如图所示，AB/CD，A37,C63，那么F等于（）FABECDA、26B、63C、37D、60七楼A座办公家园第29页，共32页。3、如图所示，AB/CD，AD、BC相交于O点，若BAD35，BOD76，则C的度数是（）A、31B、35C、41D、76ABOCD七楼A座办公家园第30页，共32页。课后思考课后思考 如图，求A+B+C+D+E+F的度数。ABCDEF七楼A座办公家园第31页，共32页。谢谢大家！谢谢大家！七楼A座办公家园第32页，共32页。
