1、 1 数学数学必会基础题型必会基础题型导数导数 【知识点】【知识点】 1.1.导数导数公式：公式： 0C 1 () nn xnx (sin )cosxx (cos )sinxx () xx ee ()ln xx aaa 1 (ln )x x 1 (log) ln a x xa 2.2.运算法则：运算法则： ()uvuv ()uvuv ()uvuvuv 2 ( ) uuvuv vv 3.3.复合函数复合函数的求导的求导法则：法则： （整体代换）（整体代换）例如：已知 2 ( )3sin (2) 3 f xx ，求 ( ) fx。 解： ( )3 2sin(2) sin(2) 33 fxxx 6s
2、in(2) cos(2)(2) 333 xxx 6sin(2) cos(2) 212sin(2) cos(2) 3333 xxxx 2 6sin(4) 3 x 4.4.导数的物理意导数的物理意义义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。 5 5. .导数的几何意义：导数的几何意义：导数就是切线斜率。 6.6.用导数求单调区间用导数求单调区间、 极值、 最值、 零点个数、 极值、 最值、 零点个数： 对于给定区间 , a b内， 若 ( ) 0fx ， 则( )f x在 , a b内是增函数；若 ( ) 0fx ，则( )f x在 , a b内是减函数。 【题型一题型一】求求函数的导数函数的导数
3、 (1) ln x y x (2)2sin(3) 4 yx (3) 2 (1) x yex (4) 3 235yxx (5) 2 3 1 xx y x (6) 2 2 11 ()yx x xx 【题型二题型二】导数的物理意义的应用导数的物理意义的应用 1.一杯90 C红茶置于25 C的房间里， 它的温度会不断下降， 设温度T与时间t的 关系是函数( )Tf t，则 ( ) f t符号为 。 (3) 2f 的实际意义 是 。 2.已知物体的运动方程为 2 2 3st t （t是时间，s是位移） ， 则物体在时刻2t 时 的速度为 。 【题型三】【题型三】导数与切线方程导数与切线方程（导数的几何意
4、义的应用导数的几何意义的应用） 3.曲线 3 2yxx在点(2,8)A处的切线方程是 。 4.若(1,)Bm是 3 2yxx上的点，则曲线在点B处的切线方程是 。 5.若 3 2yxx在P处的切线平行于直线71yx，则点P的坐标是 。 2 6.若 2 3ln 4 x yx的一条切线垂直于直线20xym，则切点坐标为 。 7.函数1 2 axy的图象与直线xy 相切, 则a 。 8.已知曲线 1 1 x y x 在(3,2)处的切线与0axym垂直，则a 。 9.已知直线yxm与曲线 32 1yxx相切，求切点P的坐标及参数m的值。 10.若曲线)(xhy 在点（, ( )a h a）处切线方程
5、为012 yx，那么（ ） A0)( ah B. 0)( ah C. 0)( ah D. )( ah的符号不定 11.曲线463 23 xxxy的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是 。 12.求曲线 32 31yxx 过点(1,1)和(2,5)的切线方程。 【易错题】 【题型【题型四】导数四】导数与与单调区间单调区间 13.函数13)( 23 xxxf的减区间为 。 14.函数)0, 0( xnexy xn 的单调递增区间为 。 15.判断函数cossinyxxx在下面哪个区间内是增函数（ ） A. 3 (,) 22 B.(,) 2 2 C.( ,2 ) D.(0, ) 16.已知函数 32
6、 321yxx在区间( ,0)m上为减函数, 则m的取值范围是 。 【题型【题型五】导数五】导数与与极值、极值、最值最值 17.函数 3 125yxx在x 时取得极大值 ， 在x 时取得极小值 。 18.函数 32 ( )23f xxx在 1,1上的最大值是 ，与最小值是 。 19.函数)0( xxxy的最大值为 。 20.函数93)( 23 xaxxxf在3x时取得极值, 则a 。 21.已知aaxxxf(62)( 23 为常数)在2 , 2上有最大值是 3, 那么2 , 2在 上的最小值是 。 3 22.已知函数32 2 xxy在区间 ,2a上的最大值为 15 4 , 则a 。 23.函数
7、 2 , 2 ,2sin xxxy 的最大值是 ，最小值是 。 24.若1)2(33)( 23 xaaxxxf既有极大值又有极小值，求a的取值范围。 【题型【题型六】导数与零点六】导数与零点，恒成立问题，恒成立问题 零点定理：零点定理： 若函数( )f x在区间 , a b上满足( )( )0f af b， 则( )f x在区间 , a b上 是至少有一个零点。 （即( )0f x 在区间 , a b上是至少有一个解） 25.判断函数 2 ( )log (2)f xxx在1,3上是否存在零点？ 26.已知 1,3x ，且144 234 xxxa恒成立，则a的最大值为 。 27.证明lnxx (
8、0)x 恒成立。 练习：证明 x ex (0)x 恒成立 28.已知函数 32 1 ( )2 2 f xxxxc， 若对于 1,2x ， 不等式 2 ( )f xc恒成立， 求c的取值范围。 29.若函数 3 ( )3f xxxa有 3 个不同的零点，求实数a的取值范围。 4 30.是否存在实数m， 使得函数 2 ( )8f xxx 与( )6lng xxm的图像有且只有 三个不同的交点？若存在求出m的范围，若不存在说明理由。 【题型七题型七】综合应用题综合应用题 31.已知1x是函数1) 1( 3)( 23 nxxmmxxf (0)m 的一个极值点, (1)求m与n的关系式； (2)求)(xf的单调区间； (3) 当 1,1x 时, 函数)(xfy 的图象上任意一点的切线斜率恒大于m3, 求m的取值范围。 32.已知某工厂生产x件产品的成本为xc20025000 2 40 1 x元， (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？ (2)若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
